湖南省长沙市2023学年高考考前模拟数学试题含解析.pdf

20232023 年高考数学模拟试卷年高考数学模拟试卷请考生注意：请考生注意：1 1请用请用 2B2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用请用 0 05 5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2 2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。，按规定答题。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 1已知函数已知函数f(x)sin xf(x)f(x)x 下列命题：函数下列命题：函数的图象关于原点对称；函数的图象关于原点对称；函数是周期函数；当是周期函数；当时，时，2x211的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（）xD D函数函数f(x)取最大值；函数取最大值；函数f(x)的图象与函数的图象与函数y A AB BC C2 2设函数设函数fx在在R上可导，其导函数为上可导，其导函数为f x，若函数，若函数fx在在x 1处取得极大值，则函数处取得极大值，则函数y xfx的图象可的图象可能是（能是（）A AB BC CD D3 3某医院拟派某医院拟派 2 2 名内科医生、名内科医生、3 3 名外科医生和名外科医生和 3 3 名护士共名护士共 8 8 人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A A7272 种种B B3636 种种C C2424 种种D D1818 种种4 4已知随机变量已知随机变量X服从正态分布服从正态分布N1,4，PX 20.3，PX 0（）A A0.2B B0.3C C0.7D D0.85 5已知等边已知等边ABCABC 内接于圆内接于圆：x x2 2+y y2 2=1=1，且，且 P P 是圆是圆 上一点，则上一点，则PA(PB PC)的最大值是（的最大值是（）A A2B B1 1mxC C3D D2 26 6已知函数已知函数f(x)meA A,ln x，当，当x 0时，时，f(x)0恒成立，则恒成立，则m的取值范围为（的取值范围为（）1eC C1,)D D(,e)1eB B,e7 7如图，如图，ABC中中A 2B 60，点，点D D 在在 BCBC 上，上，BAD 30，将，将ABD沿沿 ADAD 旋转得到三棱锥旋转得到三棱锥B ADC，分别记分别记BA，BD与平面与平面 ADCADC 所成角为所成角为，则，则，的大小关系是（的大小关系是（）A A 2B B23C C 2，23两种情况都存在两种情况都存在 D D存在某一位置使得存在某一位置使得3a8 8现有甲、乙、丙、丁现有甲、乙、丙、丁4 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为的概率为A A12B B13C C16D D1129 9在边长为在边长为 1 1 的等边三角形的等边三角形ABC中，点中，点 E E 是是AC中点，点中点，点 F F 是是BE中点，则中点，则AF AB（）A A54B B34C C583D D81010已知某超市已知某超市 20182018 年年 1212 个月的收入与支出数据的折线图如图所示：个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（根据该折线图可知，下列说法错误的是（）A A该超市该超市 20182018 年的年的 1212 个月中的个月中的 7 7 月份的收益最高月份的收益最高B B该超市该超市 20182018 年的年的 1212 个月中的个月中的 4 4 月份的收益最低月份的收益最低C C该超市该超市 20182018 年年 1-61-6 月份的总收益低于月份的总收益低于 20182018 年年 7-127-12 月份的总收益月份的总收益D D该超市该超市 20182018 年年 7-127-12 月份的总收益比月份的总收益比 20182018 年年 1-61-6 月份的总收益增长了月份的总收益增长了 9090 万元万元1111函数函数fx cosx2与与gx kxk在在6,8上最多有上最多有 n n 个交点，交点分别为个交点，交点分别为x,y（i 1，n n），则，则xi1ni yi（）B B8 82A A7 7C C9 9D D10101212抛物线抛物线y 4x的焦点为的焦点为 F F，点，点P(x,y)为该抛物线上的动点，若点为该抛物线上的动点，若点A(1,0)，则，则PF的最小值为（的最小值为（）PAA A12B B22C C32D D2 23二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。elnx,x 021313设设f(x)x（其中（其中e为自然对数的底数）为自然对数的底数），g(x)f(x)(2m1)f(x)2，若函数若函数g(x)恰有恰有 4 42019x,x 0个不同的零点，则实数个不同的零点，则实数m的取值范围为的取值范围为_._.14142x 1的展开式中的展开式中x2的系数为的系数为_（用具体数据作答）（用具体数据作答）.1515已知已知a，b，e是平面向量，是平面向量，e是单位向量是单位向量.若若ae 2，be 3，且，且ab 0，则，则ab的取值范围是的取值范围是_._.1616已知数列已知数列an满足满足an1 3an,且且a a2 2 a a4 4 a a6 6 9 9,则则log1a5a7a9_._.36三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1717（1212 分）己知等差数列分）己知等差数列an的公差的公差d 0，a1 25，且，且a1，a11，a13成等比数列成等比数列.（1 1）求使不等式）求使不等式an 0成立的最大自然数成立的最大自然数 n n；11312.（2 2）记数列）记数列的前的前 n n 项和为项和为Tn，求证：，求证：Tna a2525nn11818（1212 分）如图分）如图,四棱锥四棱锥P ABCD,侧面侧面PAD是边长为是边长为 2 2 的正三角形的正三角形,且与底面垂直且与底面垂直,底面底面ABCD是是ABC 60的的菱形菱形,M为棱为棱PC上的动点上的动点,且且PM(0，1).PC2 5.5(I)(I)求证：求证：PBC为直角三角形；为直角三角形；(II)(II)试确定试确定的值，使得二面角的值，使得二面角P ADM的平面角余弦值为的平面角余弦值为1919（1212 分）如图，在正四棱锥分）如图，在正四棱锥P ABCD中，中，AB 2，APC 3，M为为PB上的四等分点，即上的四等分点，即BM 1BP4（1 1）证明：平面）证明：平面AMC 平面平面PBC；（2 2）求平面）求平面PDC与平面与平面AMC所成锐二面角的余弦值所成锐二面角的余弦值2020（1212 分）分）已知数列已知数列an，其前其前n项和为项和为Sn，若对于任意若对于任意m，nN*，且且m n，都有都有（1 1）求证：数列）求证：数列an是等差数列是等差数列（2 2）若数列）若数列cn满足满足cn an1an2annN22Smna a amanmn.mnmn*，存在正整数，存在正整数p,q，使得，使得a，且等差数列，且等差数列a的公差为的公差为13npcq，求，求a1的最小值的最小值.2121（1212 分）为践行分）为践行“绿水青山就是金山银山绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组护兴趣小组.该年级理科班有男生该年级理科班有男生 400400 人，女生人，女生200200 人；文科班有男生人；文科班有男生100100 人，女生人，女生300300 人人.现按男、女用分层抽样从理现按男、女用分层抽样从理科生中抽取科生中抽取 6 6 人，按男、女分层抽样从文科生中抽取人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4 4 人，组成环境保护兴趣小组，再从这人，组成环境保护兴趣小组，再从这1010 人的兴趣小组中抽出人的兴趣小组中抽出 4 4人参加学校的环保知识竞赛人参加学校的环保知识竞赛.（1 1）设事件）设事件A为为“选出的这选出的这 4 4 个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件，求事件A发发生的概率；生的概率；（2 2）用）用X表示抽取的表示抽取的 4 4 人中文科女生的人数，求人中文科女生的人数，求X的分布列和数学期望的分布列和数学期望.1142222（1010 分）在分）在A5 B3，B5 35这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.a1a2B2已知等差数列已知等差数列an的公差为的公差为d(d 0)，等差数列，等差数列bn的公差为的公差为2d.设设An,Bn分别是数列分别是数列an,bn的前的前n项和，且项和，且b1 3,A2 3，（1 1）求数列）求数列an,bn的通项公式；的通项公式；n（2 2）设）设cn 2a3，求数列，求数列cn的前的前n项和项和Sn.bnbn1参考答案参考答案一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 1A A【解析】【解析】根据奇偶性的定义可判断出正确；由周期函数特点知错误；函数定义域为根据奇偶性的定义可判断出正确；由周期函数特点知错误；函数定义域为R，最值点即为极值点，由，最值点即为极值点，由f 知错误；令知错误；令gx fx【详解】【详解】由题意得：由题意得：fx定义域为定义域为R，021，在，在x 0和和x 0两种情况下知两种情况下知gx均无零点，知正确均无零点，知正确.xfxsinxx21 sin x fx，fx为奇函数，图象关于原点对称，正确；为奇函数，图象关于原点对称，正确；x21y sin x为周期函数，为周期函数，y x21不是周期函数，不是周期函数，fx不是周期函数，错误；不是周期函数，错误；f xx21cosx2xsin xx212，f 0，2f不是最值，错误；不是最值，错误；21sin x12xx 1xx2111当当x 0时，时，sinx x，0，gx 0，此时，此时fx与与y 无交点；无交点；xx11当当x 0时，时，sinx x，0，gx0，此时，此时fx与与y 无交点；无交点；xx令令gx fxsin x x1x，综上所述：综上所述：fx与与y 故选：故选：A.1无交点，正确无交点，正确.x【点睛】【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.2 2B B【解析】【解析】由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间,0,0,1,1,和和x 0,x 1处函数的特征即可处函数的特征即可确定函数图像确定函数图像.【详解】【详解】函数函数fx在在R上可导，其导函数为上可导，其导函数为f x，且函数，且函数fx在在x 1处取得极大值，处取得极大值，当当x 1时，时，f x 0；当；当x 1时，时，f x 0；当；当x 1时，时，f x 0.x 0时，时，y xfx0，0 x 1时，时，y xfx0，当当x 0或或x 1时，时，y xfx0；当；当x 1时，时，xfx0.故选：故选：B【点睛】【点睛】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度图像问题常见方法，有一定难度.3 3B B【解析】【解析】根据条件根据条件 2 2 名内科医生，每个村一名，名内科医生，每个村一名，3 3 名外科医生和名外科医生和 3 3 名护士，平均分成两组，则分名护士，平均分成两组，则分1 1 名外科，名外科，2 2 名护士和名护士和 2 2 名外科名外科医生和医生和 1 1 名护士，根据排列组合进行计算即可名护士，根据排列组合进行计算即可【详解】【详解】2 2 名内科医生，每个村一名，有名内科医生，每个村一名，有 2 2 种方法，种方法，3 3 名外科医生和名外科医生和 3 3 名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1 1 名外科，名外科，2 2 名护士和名护士和 2 2 名外科医生和名外科医生和 1 1名护士，名护士，若甲村有若甲村有 1 1 外科外科,2,2 名护士名护士,则有则有若甲村有若甲村有 2 2 外科外科,1,1 名护士名护士,则有则有(9+9)=2(9+9)=218=3618=36 种，种，则总共的分配方案为则总共的分配方案为 22故选：故选：B.B.【点睛】【点睛】，其余的分到乙村，其余的分到乙村，其余的分到乙村，其余的分到乙村，本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.4 4B B【解析】【解析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出利用正态分布密度曲线的对称性可得出PX 0 PX 2，进而可得出结果，进而可得出结果.【详解】【详解】XN1,4，所以，所以，PX 0 PX 20.3.故选：故选：B.B.【点睛】【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.5 5D D【解析】【解析】如图所示建立直角坐标系，设如图所示建立直角坐标系，设Pcos,sin，则，则PA(PB PC)1cos，计算得到答案，计算得到答案.【详解】【详解】1313B,C,如图所示建立直角坐标系，则如图所示建立直角坐标系，则A 1,0，22，2，设，设Pcos,sin，2则则PA(PB PC)(1cos,sin)(12cos,2sin)(1cos)(12cos)2sin2 2cos2cos12sin21cos 2.当当，即，即P1,0时等号成立时等号成立.故选：故选：D.【点睛】【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.6 6A A【解析】【解析】分析可得分析可得m 0,显然显然memxln x 0在在0,1上恒成立上恒成立,只需讨论只需讨论x 1时的情况即时的情况即x可可,f(x)0 memx ln xmxemx elnxln x,然后构造函数然后构造函数g(x)xe(x 0),结合结合g(x)的单调性的单调性,不等式等价于不等式等价于mxlnx,进而求得进而求得m的取值范围即可的取值范围即可.【详解】【详解】由题意由题意,若若m 0,显然显然f(x)不是恒大于零不是恒大于零,故故m 0.m 0,则则memxln x 0在在0,1上恒成立上恒成立;当当x 1时时,f(x)0等价于等价于memx ln x,因为因为x 1,所以所以mxemx elnxln x.设设g(x)xe(x 0),由由g(x)ex(1 x),显然显然g(x)在在(0,)上单调递增上单调递增,x因为因为mx 0,ln x 0,所以所以mxemx elnxln x等价于等价于g(mx)g(ln x),即即mx lnx,则则m 设设h(x)ln x.xlnx1ln x(x 0).(x 0),则则h(x)2xx令令h(x)0,解得解得xe,易得易得h(x)在在(0,e)上单调递增上单调递增,在在(e,)上单调递减上单调递减,从而从而h(x)max h(e)故选故选:A.:A.【点睛】【点睛】本题考查了不等式恒成立问题本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力考查了学生的推理能力,属于基础题属于基础题.7 7A A【解析】【解析】根据题意作出垂线段，表示出所要求得根据题意作出垂线段，表示出所要求得、角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案答案【详解】【详解】11，故，故m.ee由题可得过点由题可得过点B作作BE AD交交AD于点于点E，过，过B作作CD的垂线，垂足为的垂线，垂足为O，则易得，则易得 BAO，BDO设设CD 1，则有，则有BD AD 2，DE 1，BE 3，可得可得AB AB 2 3，BD BD 2sinOBOB,sin，ABDBsin3sin sin，；1OB0,3，sin0,；2sin2 2sincos 2sin1 sin2，2 1 sin2 3,2，sin23sin sin，2 综上可得，综上可得，2故选：故选：A【点睛】【点睛】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平平8 8B B【解析】【解析】22C4C22222C2A2 2,A2 6，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为m C2求得基本事件的总数为求得基本事件的总数为n 2A2利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】【详解】由题意，现有甲乙丙丁由题意，现有甲乙丙丁 4 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，22C4C22 A2 6，基本事件的总数为基本事件的总数为n 2A2222其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为m C2C2A2 2,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为p【点睛】【点睛】m1，故选，故选 B.B.n3本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题了运算与求解能力，属于基础题.9 9C C【解析】【解析】根据平面向量基本定理，用根据平面向量基本定理，用AB,AC来表示来表示AF，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果.【详解】【详解】由题可知：点由题可知：点 E E 是是AC中点，点中点，点 F F 是是BE中点中点11AB AE，AE AC2211所以所以AF ABAC24AF 又又AB AC AB AC cosA 11所以所以AF AB 则则AF AB 故选：故选：C C【点睛】【点睛】11221 1ABAC AB422115AB AC AB 248本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题.1010D D【解析】【解析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.【详解】【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元）用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：，如下表所示：月份月份1 12 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212收益收益202030302020101030303030606040403030303050503030所以所以7月收益最高，月收益最高，A A 选项说法正确；选项说法正确；4月收益最低，月收益最低，B B 选项说法正确；选项说法正确；16月总收益月总收益140万元，万元，712月总收益月总收益240万元，所以前万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，个月收益低于后六个月收益，C C 选项说法正确，后选项说法正确，后6个月收益比前个月收益比前6个月收益增长个月收益增长240140100万万元，所以元，所以 D D 选项说法错误选项说法错误.故选故选 D.D.【点睛】【点睛】本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.1111C C【解析】【解析】根据直线根据直线gx过定点过定点1,0，采用数形结合，可得最多交点个数，采用数形结合，可得最多交点个数，然后利用对称性，可得结果然后利用对称性，可得结果.【详解】【详解】由题可知：直线由题可知：直线gx kxk过定点过定点1,0且且fx cos如图如图x2在在6,8是关于是关于1,0对称对称通过图像可知：直线通过图像可知：直线gx与与fx最多有最多有 9 9 个交点个交点同时点同时点1,0左、右边各四个交点关于左、右边各四个交点关于1,0对称对称所以所以x y 241 9iii19故选：故选：C C【点睛】【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数y cosx的性质，属难题的性质，属难题.1212B B【解析】【解析】通过抛物线的定义，转化通过抛物线的定义，转化PF PN，要使，要使|PF|有最小值，只需有最小值，只需APN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最最大即可，作出切线方程即可求出比值的最|PA|小值小值【详解】【详解】解：由题意可知，抛物线解：由题意可知，抛物线y 4x的准线方程为的准线方程为x 1，A(1,0)，2过过P作作PN垂直直线垂直直线x 1于于N，由抛物线的定义可知由抛物线的定义可知PF PN，连结连结PA，当当PA是抛物线的切线时，是抛物线的切线时，大，就是直线大，就是直线PA的斜率最大，的斜率最大，设在设在PA的方程为：的方程为：y k(x1)，所以，所以解得：解得：k2 2|PF|有最小值，有最小值，则则APN最大，最大，即即PAF最最|PA|y k(x1)，2y 4xx(2k24)xk20，224所以所以 (2k 4)4k 0，解得，解得k 1，所以所以NPA 45，|PF|2 cosNPA|PA|2故选：故选：B【点睛】【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。1313m 2【解析】【解析】求函数求函数f(x)，研究函数的单调性和极值，作出函数，研究函数的单调性和极值，作出函数f(x)的图象，设的图象，设t f(x)，若函数，若函数g(x)恰有恰有 4 4 个零点，则等价为个零点，则等价为函数函数h(t)t2(2m1)t 2有两个零点，满足有两个零点，满足t 1或或0t 1，利用一元二次函数根的分布进行求解即可，利用一元二次函数根的分布进行求解即可【详解】【详解】当当x 0时，时，f(x)e(1lnx)，x2由由f(x)0得：得：1lnx 0，解得，解得0 x e，由由f(x)0得：得：1lnx 0，解得，解得x e，即当即当x e时，函数时，函数f(x)取得极大值，同时也是最大值，取得极大值，同时也是最大值，f（e e）1，当当x，f(x)0，当当x 0，f(x)，作出函数作出函数f(x)的图象如图，的图象如图，设设t f(x)，由图象知，当由图象知，当t 1或或t 0，方程，方程t f(x)有一个根，有一个根，当当t 0或或t 1时，方程时，方程t f(x)有有 2 2 个根，个根，当当0t 1时，方程时，方程t f(x)有有 3 3 个根，个根，2则则g(x)f(x)(2m1)f(x)2，等价为，等价为h(t)t2(2m1)t 2，当当t 0时，时，h(0)2 0，若函数若函数g(x)恰有恰有 4 4 个零点，个零点，则等价为函数则等价为函数h(t)t2(2m1)t 2有两个零点，满足有两个零点，满足t 1或或0t 1，则则h(0)2 0，h(1)0即即h（1 1）12m1 2 42m 0解得：解得：m 2，故答案为：故答案为：m 2【点睛】【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及求的导数，研究函数的本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及求的导数，研究函数的f(x)的单的单调性和极值是解决本题的关键，属于难题调性和极值是解决本题的关键，属于难题141460【解析】【解析】利用二项展开式的通项公式可求利用二项展开式的通项公式可求x2的系数的系数.【详解】【详解】2x 16r的展开式的通项公式为的展开式的通项公式为Tr1 C62x46r1r，4令令6r 2，故，故r 4，故，故x2的系数为的系数为1C622 60.故答案为：故答案为：60.【点睛】【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题.15155,)【解析】【解析】先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解【详解】【详解】由由e是单位向量若是单位向量若a e 2，b e 3，设设e (1,0)，则则a (2,m)，b (3,n)，又又a b 0，则则mn6，则则a b (5,m n)，则则|a b|25(mn)2，又又(m n)20，所以所以|a b|5，（当（当m 6,n 6或或m 6,n 6时取等）时取等）即即|a b|的取值范围是的取值范围是5，)，故答案为：故答案为：5，)【点睛】【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平16165【解析】【解析】数列数列an满足满足an1 3an知，知，数列以数列以 3 3 为公比的等比数列，为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得再由已知结合等比数列的性质求得可可.【详解】【详解】an1 3an，log1(a5 a7 a9)的值即的值即3数列数列an是以是以 3 3 为公比的等比数列，为公比的等比数列，又又a a2 2 a a4 4 a a6 6 9 9，a5a7a993335，log1(a5 a7 a9)log335 53故答案为：故答案为：5【点睛】【点睛】本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1717（1 1）n 13；（2 2）证明见解析）证明见解析【解析】【解析】2（1 1）根据）根据a1，a11，a13成等比数列，有成等比数列，有a11 a1a13，结合公差，结合公差d 0，a1 25，求得通项，再解不等式，求得通项，再解不等式an 0.11111（2 2）根据（）根据（1 1），用裂项相消法求和，然后研究其单调，用裂项相消法求和，然后研究其单调anan12n272n2522n272n25性即可性即可.【详解】【详解】（1 1）由题意，可知）由题意，可知a11 a1a13，即即a110d a1a112d，d2a125d0.又又a1 25，d 0，d 2，an 2n 27.2n270，22n 13.5，故满足题意的最大自然数为故满足题意的最大自然数为n 13.（2 2）11111，anan12n272n2522n272n25111a1a2a2a3a3a41.anan1Tn1 11 11 22523232111.2n272n251 1111 .2252n2550504n从而当从而当n 12时，时，Tn 11单调递增，且单调递增，且Tn 0，50504n当当n 13时，时，Tn 所以所以T13TnT12，由由T1211单调递增，且单调递增，且Tn 0，50504n1213，T13 知不等式成立知不等式成立.2525【点睛】【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.1818（1 1）见解析；）见解析；(II)(II)【解析】【解析】试题分析：试题分析：（1 1）取）取AD中点中点O,连结连结OP,OC,以以O为原点，为原点，OC为为x轴，轴，OD为为y轴，轴，OP为为z轴，建立空间直角坐标轴，建立空间直角坐标系，系，利用向量法能证明利用向量法能证明PBC为直角三角形；为直角三角形；（2 2）设设Ma,b,c，由由1.3PM0,1，得得MPC3,0,3 3，求出平面求出平面AMD的法向量和平面的法向量和平面PAD的法向量，的法向量，根据空间向量夹角余弦公式能求出结果，根据空间向量夹角余弦公式能求出结果.(I)(I)取取AD中点中点O,连结连结OP,OC,AC，试题解析：试题解析：依题意可知依题意可知PAD,ACD均为正三角形，均为正三角形，所以所以OC AD,OP AD,又又OCOPO，OC 平面平面POC,OP 平面平面POC，所以所以AD平面平面POC，又又PC 平面平面POC，所以，所以AD PC,因为因为BC/AD,所以所以BC PC，即，即PCB 90,从而从而PBC为直角三角形为直角三角形.(II)(II)法一：由法一：由(I)(I)可知可知PO AD,又平面又平面PAD 平面平面ABCD,平面平面PAD平面平面ABCD AD,PO平面平面PAD，所以，所以PO平面平面ABCD.以以O为原点，建立空间直角坐标系为原点，建立空间直角坐标系O xyz如图所示如图所示,则则P 0，0，3,A0，1，0,D0，1，0,C由由PM PC 所以所以AM 3,0，0,PC 3,0 33,0,3可得点可得点M的坐标的坐标3,0,3 33,1，3 3,DM 3,1，3 3,nAM 0n x,y,z,设平面设平面MAD的法向量为的法向量为，则，则nDM 03x y即即 3x y3 3z 03 1zx 解得解得，3z 0y 0令令z，得，得n 1,0,，显然平面显然平面PAD的一个法向量为的一个法向量为OC 3,0，0,2 5，5依题意依题意cos(n,OC)nOCn|OC3121 321或或 1（舍去）（舍去），312 5.所以，当所以，当时，二面角时，二面角P ADM的余弦值为的余弦值为53解得解得法二：由法二：由(I)(I)可知可知AD平面平面POC,所以所以AD OM,AD OP,所以所以POM为二面角为二面角P ADM的平面角，的平面角，即即cosPOM 2 5,55,PO 3,OPM,54在在POM中，中，sinPOM 所以所以sinPMO sinPOM 4 sinPOMcos4cosPOMsin43 10，10PMPO由正弦定理可得由正弦定理可得，即，即sinPOMsinPMOPM353 10510解得解得PM 又又PC 6，322PO OC 6,所以所以PM1,PC3所以，当所以，当12 5.时，二面角时，二面角P ADM的余弦值为的余弦值为532171919（1 1）答案见解析）答案见解析（2 2）【解析】【解析】（1 1）根据题意可得）根据题意可得PB PD PA PC 2 2，在，在PAM中，利用余弦定理可得中，利用余弦定理可得AM PB，然后同理可得，然后同理可得CM PB，利用面面垂直的判定定理即可求解，利用面面垂直的判定定理即可求解.（2 2）以）以D为原点建立直角坐标系，求出面为原点建立直角坐标系，求出面PDC的法向量为的法向量为n1，AMC的法向量为的法向量为n2，利用空间向量的数量积即可，利用空间向量的数量积即可求解求解.【详解】【详解】（1 1）由）由AB 2 AC 2 2由由APC 3 PA PC AC 2 2因为是正四棱锥，故因为是正四棱锥，故PB PD PA PC 2 2于是于是BM 322，PM 22由余弦定理，在由余弦定理，在PAB中，设中，设APBPA2 PB2 AB23cos2PAPB4再用余弦定理，在再用余弦定理，在PAM中，中，AM PA PM 2PAPM cos22272AM2 MB271 4 AB222AMB是直角，是直角，AM PB同理同理CM PB，而，而PB在平面在平面PBC上，上，平面平面AMC 平面平面PBC（2 2）以）以D为原点建立直角坐标系，如图：为原点建立直角坐标系，如图：则则D(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),P(1,1,6),B(2,2,0)设面设面PDC的法向量为的法向量为n1，AMC的法向量为的法向量为n2则则n1 PDDC (0,2 6,2)n2PB，取，取n2 PB (1,1,6)于是，二面角于是，二面角的余弦值为：的余弦值为：cos【点睛】【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理、空间向量法求二面角，属于基础题本题考查了面面垂直的判定定理、空间向量法求二面角，属于基础题.2020（1 1）证明见解析；）证明见解析；（2 2）【解析】【解析】（1 1）用数学归纳法证明即可；）用数学归纳法证明即可；n1n2217|n1|n2|1.182（2 2）根据条件可得根据条件可得cn an，然后将然后将apcq用用a1，p，q表示出来，表示出来，根据根据18a1 3(3m p q 1)1是一个整数，是一个整数，9可得结果可得结果【详解】【详解】解：解：（1 1）令）令m 2，n 1，则，则2S3 2a2，3即即a1a2a3 a2，3a1a3 2a2，a1,a2,a3成等差数列，成等差数列，下面用数学归纳法证明数列下面用数学归纳法证明数列an是等差数列，是等差数列，假设假设a1,a2,ak成等差数列，其中成等差数列，其中k 3，公差为，公差为d，令令m k，n 12Sk1(k 1)2Sk1 aka1d，k 1aka1d kaka1ak(k 1)d 2Sk a1 ak(k 1)d，2Sk1 a1 ak(k 1)d 2a1 kd，即即ak1 a1 kd，a1,a2,ak,ak1成等差数列，成等差数列，数列数列a