线性代数五矩阵的特征值和特征向量.ppt

第5章 矩阵的特征值和特征向量（方阵）一、特征值和特征向量的定义二、特征值和特征向量的计算三、特征值和特征向量的性质四、矩阵的相似对角化问题一、特征值和特征向量的定义若存在常数 和非零列向量 ，使得阶矩阵（对应于）特征向量 特征向量一定是属于某个特征值的。则称的一个特征值；的属于特征值 的特征向量。（对应于）二、特征值和特征向量的计算阶矩阵 解方程：则此方程的根即为 的特征值。若 满足：，则 就是 的 阶矩阵应有 个特征值.一个特征值。例是 的特征值.是 的特征值.对角矩阵、上（下）三角矩阵的特征值为其主对角线上的元素。设 的特征多项式：的特征方程：对每个特征值 ，齐次线性方程组：的非零解，即为 的属于特征值 的特征向量。（即基础解系的非零线性组合）对每个特征值 ，一定有特征向量！对应于 的线性无关的特征向量的个数为：（后面矩阵可对角化时有用！）反之，若 是 属于 的特征向量，则满足此方程。例 设 ，则 的对应于特征值 的（P70 第8题）一个特征向量是（）.（05年）A.B.C.D.D解法一 验证！（验证有技巧）即只需验证第三个方程法二按 验证！A.不正确。B.不正确。三、特征值和特征向量的性质1.设 阶矩阵 的 个特征值为则 （的迹）（）（P63 定理3）2.阶矩阵 可逆的 个特征值均不为0.（P63 定理4）例 矩阵 ，若 的（P71 第9题）特征值和 的特征值对应相等，则其中（）.（06年）A.B.C.D.B解由题知即排除C,D.代入 选B.设矩阵 ,则 的三个特征值为补A.B.C.D.（）.A解（用特征值的性质验证）不要直接求！排除C,D.又排除B.故 选A.3.a.与 有相同的特征值。b.与 的特征值互为倒数。（）c.设 的特征值，则 的特征值；的特征值。例 设 是 的一个特征值，求：的一个特征值。解例 已知四阶矩阵 的特征值为 ，（P69 第3题）则 （）.DA.B.C.D.解（用特征值的性质）关键求出 的特征值。设 是 的特征值，则 是 的特征值由题知，的特征值为：例 设 是 的伴随矩阵，则 的一个（P71 第11题）特征值为（）.（08年）AA.B.C.D.解的特征值是：（其中：是 的特征值）由题知，且 的特征值是：的特征值是：例 若三阶矩阵 的特征值 ，则矩阵的特征值为（）.CA.B.C.D.以上都不对。（P69 第2题）解从而，的特征值为：的特征值是：故的特征值是：4.与 的特征向量相同，但属于对应的特征值。（设 是 属于特征值 的特征向量，则 是 属于特征值 的特征向量）（P63 例5）例 已知 是 的逆矩阵 的 特征向量，求 值和 的特征值.解由题知，也是 的特征向量。设此特征向量对应特征值则即解之，故的特征值为：这是 的两个特征值又5.若 是 的 重特征值，则 属于 的线性无关 的特征向量的个数不超过 个。特别：（单根），则 属于 的线性无关的特征向量只有1个。6.若 是 的属于 的特征向量，则也是 的属于 的特征向量。（，为任意实数，且 ）7.若 的各行元素之和均为 ，则 是 的一个特征值。且 是 属于 的一个特征向量。（P63 定理2）（列也可以）是三阶可逆矩阵,且各列元素之和均为 ，补A.必有特征值 B.必有特征值C.则（）.A必有特征值 D.必有特征值解由题知,的各行元素之和均为是 的一个特征值，又由特征值的性质知，与 的特征值相同故也是 的特征值。四阶矩阵 的元素均为 ，则 的特征值为（）.补A.B.C.D.D解法一由题知,的各行元素之和均为是 的一个特征值。选 D.法二（用特征值的性质验证！）排除B,C.再排除A.四、矩阵的相似对角化问题1.相似矩阵的定义设 、均为 阶矩阵若存在可逆矩阵 ，使 则称矩阵 与 相似。记作：2.相似矩阵的性质基本性质：反身性：对称性：若 ，则 传递性：若 ，则（P64）定理若 ，则有：（即 相似矩阵的特征多项式相同）与 的特征值相同。但逆命题不成立！例但单位矩阵只与单位矩阵相似。补若 ，则有：（P65 例2）例 已知 ，求 和解由题知，设则即 例 若矩阵 ，是 的相似矩阵，则矩阵 （是单位矩阵）的秩是（）.（09年）A.B.C.D.B解而由题知则存在可逆矩阵 ，使3.矩阵可对角化的条件 可对角化：若则称 可对角化。（即 若存在可逆矩阵 ，使，则称 可对角化）（此时，为 的特征值）,可对角化的条件（4个定理）定理1阶矩阵 可对角化有 个线性无关的特征向量（若 ，且线性无关。令则有 可逆矩阵 不惟一；对角矩阵 不惟一；的列与 的元素的对应关系。）定理2 矩阵 的属于不同特征值的特征向量是 线性无关的。由此得到 可对角化的一个充分条件：定理3若 阶矩阵 有 个不同的特征值则 可对角化。且（其中，是由相应 的特征向量为列向量所构成）若 有相同的特征值，情况又如何呢？定理4阶矩阵 可对角化的每个特征值的重数都等于这个特征值所对应的线性无关的特征向量的个数。（即 的基础解系所含向量的个数）即特别：当 是单根时，它必定对应一个线性无关的特征向量。例 例 与 是矩阵 的特征值，则 P71 第10题当 （）时，矩阵 可对角化.（07年）BA.B.C.D.解由特征值的性质知，的另一个特征值为（二重）由题知即（）故 例 若 与 相似，则 （）.（2011年）DA.B.C.D.解由题知可对角化，且其特征值为：由定理4 得（二重）设 ,且 有3个线性无关的特征补A.B.C.D.向量，是二重特征值，则 和 为（）.B解由题知,可对角化。又是二重特征值只求出 即可！若 共有两个线性无关的特征向量，补A.B.C.D.则（）.D解由题知,不能对角化。（二重）例 三阶矩阵 的特征值为 （P70 第5题）它们对应的特征向量分别为 ，令A.B.C.D.，则 （）.解由题知,可对角化。是 属于特征值 的特征向量，A例 已知三阶矩阵 的特征值为 P70 第6题它们所对应的特征向量分别为：A.B.C.D.则 （）.（03年）D解由题知,可对角化。令（观察 的特点）则有：故 选D.例 下列矩阵中，不能与对角矩阵相似的是（）。A.B.C.D.（2010年）解即 选不可对角化的矩阵。A.可对角化。（它有三个不同的特征值）B.B故 选B.从而，此矩阵不能对角化。（二重）（重数）