《高等数学B》_第一章_函数_第5节_函数关系的建立 (2).ppt

5 函数关系的建立函数关系的建立 为了解决应用问题为了解决应用问题,先要给问题建立先要给问题建立数学模型数学模型,即建即建 立函数关系立函数关系.为此需明确问题中的因变量与自变量为此需明确问题中的因变量与自变量,再再 根据题意建立等式根据题意建立等式,从而得出函数关系从而得出函数关系,然后确定函数然后确定函数 定义域定义域.应用问题中的函数的定义域应用问题中的函数的定义域,除函数的解析式除函数的解析式 外还要考虑变量在实际问题中的含义外还要考虑变量在实际问题中的含义.下面下面,我们通过几个实例来介绍如何建立函数关系我们通过几个实例来介绍如何建立函数关系,为以后运用微积分方法解决实际问题打一些基础为以后运用微积分方法解决实际问题打一些基础.例例1 设有一块边长为设有一块边长为 a 的正方形薄板的正方形薄板,将它的四角将它的四角 剪去边长相等的小正方形制作一只无盖盒子剪去边长相等的小正方形制作一只无盖盒子,试将盒试将盒 子的体积表示成小正方形边长的函数子的体积表示成小正方形边长的函数(如下图如下图).解解 设剪去的小正方形的边长为设剪去的小正方形的边长为 x,盒子的体积为盒子的体积为V,则盒子的底面积为则盒子的底面积为 高为高为 x,因此所求的函数因此所求的函数 关系为关系为 例例2 2 某工厂生产某产品某工厂生产某产品,每日最多生产每日最多生产100 个单位个单位.它的日固定成本为它的日固定成本为130 元元,生产一个单位产品的可变成生产一个单位产品的可变成 本为本为 6 元元.求该厂日总成本函数及平均单位成本函数求该厂日总成本函数及平均单位成本函数.解解 设日总成本为设日总成本为 C,平均单位成本为平均单位成本为 由于日总成本为固定成本与可成本之和由于日总成本为固定成本与可成本之和.根据题意根据题意,日总成本函数为日总成本函数为 平均单位成本函数为平均单位成本函数为 例例3 3 某工厂生产某型号车床某工厂生产某型号车床,年产量为年产量为 a 台台,分若干分若干 批进行生产批进行生产,每批生产准备费为每批生产准备费为 6 元元.设产品均匀投入设产品均匀投入 市场市场,且上一批用完后立即生产下一批且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量即平均库存量 为批量的一半为批量的一半.设每年每台库存费为设每年每台库存费为 c 元元.显然显然,生产批生产批 量大则库存费高量大则库存费高;生产批量少则批数增多生产批量少则批数增多,因而生产准因而生产准 备费高备费高,为了选择最优批量为了选择最优批量,试求出一年内库存费与生试求出一年内库存费与生 产准备费的和与批量的函数关系产准备费的和与批量的函数关系.解解 设批量为设批量为 x,库存费与生产准备费的和为库存费与生产准备费的和为P(x),因年产量为因年产量为 a,所以每年生产的批数为所以每年生产的批数为 (设其为整设其为整 数数),则生产准备费为则生产准备费为 因库存量为因库存量为 ,故库存费为故库存费为 因此可得因此可得 定义域为定义域为(0,a ,因本题中的因本题中的 x 为车床的台数为车床的台数,批数批数 为为 整数，所以整数，所以 x 只应取只应取(0,a 中中 a 的正整数因子的正整数因子.例例4 4 某人从美国到加拿大某人从美国到加拿大去度假去度假,他把美元兑换成他把美元兑换成 加元时币面数值增加加元时币面数值增加12%,回国后他发现把加元兑换回国后他发现把加元兑换 成美元时成美元时,币面数值减少币面数值减少 12%,把两次兑换的方式用把两次兑换的方式用 函数表示出来函数表示出来,这样一来一回的兑换产生的两个函数这样一来一回的兑换产生的两个函数 是否互为反函数是否互为反函数?解解 设设 f(x)为将为将 x 美元兑换成的加元数美元兑换成的加元数,g(x)为将为将 x 加元兑换成的美元数加元兑换成的美元数,故故 f(x)与与 g(x)不互为反函数不互为反函数.g f(x)=0.88 f(x)=0.88 1.12 x =0.9856 x x,则则