(精品)直升机动力学基础(无限自由度系统-2011-11).ppt

无限自由度系统的振动 弹性梁的弯曲振动弹性梁的弯曲振动1 1.概述概述(2)(2)如如果果梁梁各各截截面面的的中中心心主主轴轴在在同同一一平平面面内内，外外载载荷荷也也作作用用于于该该平平面面内内，则则梁梁的的主主要要变变形形是是弯弯曲曲变变形形，梁梁在该平面内的横向振动称作在该平面内的横向振动称作弯曲振动弯曲振动。(3)(3)对对于于细细长长梁梁的的低低频频振振动动，可可以以忽忽略略梁梁的的剪剪切切变变形形以以及及截截面面绕绕中中性性轴轴转转动动惯惯量量的的影影响响，这这种种梁梁模模型型称称为为Bernoulli-Euler梁梁。计计及及这这两两种种因因素素的的梁梁模模型型称称为为Timoshenko梁梁。本本节节只只讨讨论论Bernoulli-Euler梁梁的的弯弯曲振动曲振动。(1)(1)以弯曲为主要变形的杆件称为梁以弯曲为主要变形的杆件称为梁.2.振动微分方程振动微分方程 设设有有长长度度为为 l 的的直直梁梁，取取其其轴轴线线作作为为 x 轴轴，建建立立图图示示的的坐坐标标系系。今今后后只只要要不不另另行行说说明明，x 轴轴原原点点均均取取在在梁梁的的左左端端点点。记记梁梁在在 x 处处的的横横截截面面积积为为A(x)，材材料料弹弹性性模模量量为为E(x)，密密度度为为(x)，截截面面关关于于中中性性轴轴的的惯惯性性矩矩为为I(x)。用用 w(x,t)表表示示坐坐标标为为 x 的的截截面面中中性性轴轴在在时时刻刻 t 的的横横向向位位移移，f(x,t)和和 m(x,t)分分别别表表示示单单位位长长度度梁梁上分布的横向外力和外力矩上分布的横向外力和外力矩。取取长长为为dx的的微微段段作作为为分分离离体体，其其受受力力分分析析如如图图示示。其其中中Q(x,t)和和M(x,t)分分别别是是截截面面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩，梁梁微微段的惯性力为段的惯性力为单元体受力分析单元体受力分析:图中所有力和力矩均图中所有力和力矩均按正方向画出按正方向画出 根根据据Newton第第二二定定律律，梁梁微微段段的的横横向向运动满足运动满足 忽忽略略截截面面绕绕中中性性轴轴的的转转动惯量动惯量 Bernoulli-Euler 梁的弯曲振动微分方程梁的弯曲振动微分方程:对对于于均均匀匀材材料料等截面直梁等截面直梁:为常数为常数 主要讨论均匀材料等截面直梁的振动主要讨论均匀材料等截面直梁的振动 2.1 自由振动自由振动（1）固有振动的形式）固有振动的形式两两端端必必同同时时等等于于一一常常数数。可可以以证证明明，该常数非负该常数非负.分离变量法分离变量法:其中其中 描述了梁横向振动幅值沿描述了梁横向振动幅值沿梁长的分布，并含有待定梁长的分布，并含有待定的固有频率。梁横向振动的固有频率。梁横向振动幅值在梁的两端必须满足幅值在梁的两端必须满足给定的边界条件，由此可给定的边界条件，由此可确定确定 及其比值。及其比值。描描述述了了梁梁振振动动随随时时间间简简谐谐变变化化，常常数数 由由梁梁的的初初始始条条件件来来确确定。定。（2）固有振动的确定）固有振动的确定 简单边界条件简单边界条件-固定固定、铰支、自由、铰支、自由.a.将限制挠度、转角的边界条件称作将限制挠度、转角的边界条件称作几何边界条件几何边界条件;b.将限制弯矩、剪力的边界条件称作将限制弯矩、剪力的边界条件称作动力边界条件动力边界条件。固定边界条件：固定边界条件：固定端挠度固定端挠度转角转角 铰支边界条件：铰支边界条件：铰支端处挠度铰支端处挠度弯矩弯矩 自由边界条件：自由边界条件：自由端上弯矩自由端上弯矩剪力剪力 例例1.确定两端铰支均匀材料等截面直梁的固有频率和固有振型。确定两端铰支均匀材料等截面直梁的固有频率和固有振型。因铰支梁不会产生刚体运动，故因铰支梁不会产生刚体运动，故 解：解：铰支梁两端的边界条件分别为铰支梁两端的边界条件分别为 固有频率方程：固有频率方程：固有频率固有频率：固有振型函数：固有振型函数：设在空中飞行的火箭可简化为一根自由设在空中飞行的火箭可简化为一根自由-自由梁，其边界条件为自由梁，其边界条件为由由 x=0 的边界条件可得的边界条件可得振型的微分方程：振型的微分方程：由由 x=l 的边界条件可得的边界条件可得特征方程特征方程前前6个特征值为：个特征值为：零特征值对应于两个刚体运动模态：零特征值对应于两个刚体运动模态：横向平移和俯仰运动横向平移和俯仰运动Krylov函函数数的的导导数数按按 次次序序循循环环，每一函数的导数都由它前面一个函数表示每一函数的导数都由它前面一个函数表示.Krylov函数函数例例2.确定均匀材料等截面悬臂梁的固有频率和固有振型确定均匀材料等截面悬臂梁的固有频率和固有振型.解：解：悬臂梁的边界条件为悬臂梁的边界条件为梁的运动要求常数梁的运动要求常数 和和 不能同时为零不能同时为零 固有频率方程固有频率方程 该该方方程程的的根根可可由由图图解解法法大大致致确确定定后后再再用用MATLAB精精确化，其由小到大依次为确化，其由小到大依次为 固有频率固有频率:固有振型函数固有振型函数:固有振型函固有振型函数可取为数可取为:不同边界条件下梁的固有振型不同边界条件下梁的固有振型不同边界条件下梁的固有振型不同边界条件下梁的固有振型如如果果把把对对应应零零固固有有频频率率的的刚刚体体运运动动振振型型包包括括在在内内，简简单单边边界条件下梁的第界条件下梁的第 阶固有振型均有阶固有振型均有 个节点。个节点。固定边界条件：固定边界条件：铰支边界条件：铰支边界条件：自由边界条件：自由边界条件：（3）固有振型的正交性）固有振型的正交性 简简单单边边界界（固固定定端端、铰铰支支端端、自自由由端端）条件条件 等式右端前两项总为零等式右端前两项总为零.除了两端自由梁的除了两端自由梁的两个零固有频率两个零固有频率均均 匀匀 材材 料料等等 截截 面面 直直梁梁 的的 固固 有有振振 型型 正正 交交性条件性条件:非均匀材料、不等截面的直梁，非均匀材料、不等截面的直梁，固有振型的正交性条件固有振型的正交性条件:它它们们的的大大小小取取决决于于如如何何对对固固有有振振型型函函数数归归一一化化，但但其比值总满足其比值总满足:当当 时，定义梁的第时，定义梁的第r阶阶模态质量模态质量和和模态刚度模态刚度为为（4）自由振动）自由振动 当当梁梁的的固固有有频频率率和和固固有有振振型型函函数数确确定定后后，根根据据线线性性系系统统的的叠叠加加原原理理，其其自自由由振振动动是是各各阶阶固固有有振振动动的的线线性组合性组合:梁梁弯弯曲曲振振动动的的初初始始条条件件是是初初瞬瞬时时梁梁上上各各点点的的挠挠度度及速度，即及速度，即 其中常数其中常数 和和 由初始条件确定。由初始条件确定。例例3.试试求求两两端端铰铰支支的的均均匀匀材材料料等等截截面面直直梁梁在在下下列列两两种种扰扰动动下下的自由振动。的自由振动。b.梁在初瞬时处于平衡状态，在梁在初瞬时处于平衡状态，在 处的微段处的微段 内内受脉冲力作用，引起在受脉冲力作用，引起在 处的初速度为处的初速度为 。a.解：解：铰支梁的固有频率及固有振型函数为铰支梁的固有频率及固有振型函数为a.梁弯曲自由梁弯曲自由振动振动:这这说说明明:若若初初始始条条件件与与梁梁的的第第一一阶阶固固有有振振型型成成比比例例，响应中仅含第一阶固有振动响应中仅含第一阶固有振动.b.梁的弯曲梁的弯曲自由振动自由振动:固有振型固有振型正交性正交性 当当 时时，梁的自由振动，梁的自由振动:对对于于一一般般初初始始扰扰动动，梁梁的的自自由由振振动动响响应应含含有有各阶固有振动成分各阶固有振动成分。由由于于初初始始条条件件具具有有对对称称性性，响响应应中中只只含含具具有有对称振型的各阶固有振动对称振型的各阶固有振动。3.受迫振动受迫振动（1）分布载荷下的受迫振动）分布载荷下的受迫振动-基于振型叠加法分析基于振型叠加法分析 初始条件初始条件:引入模态坐标变换引入模态坐标变换利用固利用固有振型有振型正交性正交性 单单自自由由度度无无阻阻尼尼系系统统的的受受迫迫振振动动问问题题 强迫振动解强迫振动解第第r 阶模态力阶模态力（2）集中载荷下的受迫振动）集中载荷下的受迫振动 第第r阶模态力阶模态力计算梁的受迫振动计算梁的受迫振动 关于集中力的连续表达法关于集中力的连续表达法空间空间Dirac函数函数:例例4.一一阶阶跃跃力力 突突然然作作用用于于均均匀匀材材料料等等截截面面两两端端铰铰支支直梁的中央，求梁的受迫振动位移。直梁的中央，求梁的受迫振动位移。解解：该该梁梁的的固固有有频频率率和和固有振型固有振型:模态质量、模态刚度模态质量、模态刚度:外载荷作用在梁的中央，响应中仅含具有对称振型的各阶固有振动。外载荷作用在梁的中央，响应中仅含具有对称振型的各阶固有振动。（3）简谐激励下的稳态响应）简谐激励下的稳态响应a.a.设稳态振动为设稳态振动为 解耦广义运动方程解耦广义运动方程方程方程通解通解:b.b.设稳态振动为设稳态振动为 例例5 均匀材料的等截面直梁两端铰支，受分布简谐力均匀材料的等截面直梁两端铰支，受分布简谐力 作用，求其稳态响应。作用，求其稳态响应。特解特解 通解通解:解：解：梁的稳态响应振幅函数梁的稳态响应振幅函数 满足满足梁的左端边界条件梁的左端边界条件:梁右端边界条件梁右端边界条件:梁的稳态振动梁的稳态振动:练习练习3.3.一直升机旋翼桨叶可近似认为是一直升机旋翼桨叶可近似认为是根部铰支的均质梁，其长度为根部铰支的均质梁，其长度为5m5m，挥舞，挥舞方向的抗弯刚度为方向的抗弯刚度为5210Nm5210Nm2 2，桨叶单位，桨叶单位长度质量为长度质量为4.9kg/m4.9kg/m。试求该桨叶不旋。试求该桨叶不旋转时前五阶挥舞固有频率。转时前五阶挥舞固有频率。