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第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算关于结构动力计算第1页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算12-1 12-1 概述概述12-2 12-2 运动方程的建立运动方程的建立12-3 12-3 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动12-4 12-4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响12-5 12-5 简谐荷载作用下无阻尼单自由度体简谐荷载作用下无阻尼单自由度体 系的受迫振动系的受迫振动12-6 12-6 多自由度体系的自振频率和振型计算多自由度体系的自振频率和振型计算第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算第2页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算一、动荷载及其分类一、动荷载及其分类 动荷载动荷载是指其大小、方向和作用位置随时间变化的荷是指其大小、方向和作用位置随时间变化的荷载。由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。载。由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。因此，考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。静荷载只与作用位置有关，而动荷载是坐标和时间的函数。静荷载只与作用位置有关，而动荷载是坐标和时间的函数。12-1 12-1 概述概述第3页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算动荷载按其随时间的变化规律进行分类：动荷载按其随时间的变化规律进行分类：第4页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算二、结构动力计算的目的二、结构动力计算的目的 研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载作用研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载作用下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性设下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性设计提供依据。计提供依据。三、动力反应的特点三、动力反应的特点 在在动动荷荷载载作作用用下下，结结构构的的动动力力反反应应（动动内内力力、动动位位移移等等）都都随随时时间间变变化化，它它除除了了与与动动荷荷载载的的变变化化规规律律有有关关外外，还与结构的固有特性（还与结构的固有特性（自振频率、振型和阻尼自振频率、振型和阻尼）有关。）有关。不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动荷载下的反应，故称之为性能确定动荷载下的反应，故称之为结构的动力特性。结构的动力特性。第5页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 强强迫迫振振动动：结结构构在在动动荷荷载载作作用用下下产产生生的的振振动动。研研究究强强迫迫振动，可得到结构的动力反应。振动，可得到结构的动力反应。四、自由振动和强迫振动四、自由振动和强迫振动 自由振动自由振动：结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的振动。移所引起的振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。尼参数。结构在强迫振动时各截面的最大内力、位移都与结构的结构在强迫振动时各截面的最大内力、位移都与结构的自由振动的频率自由振动的频率密切有关。密切有关。第6页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 确定体系运动过程中任一时刻全部质点位置所需的独立确定体系运动过程中任一时刻全部质点位置所需的独立几何参数数目，称为体系的几何参数数目，称为体系的自由度自由度。根据自由度的数目，结构可分为根据自由度的数目，结构可分为单自由度体系，多自由度体单自由度体系，多自由度体系和无限自由度体系系和无限自由度体系。五、动力分析中的自由度五、动力分析中的自由度1 1自由度的定义自由度的定义 将将连连续续分分布布的的结结构构质质量量按按一一定定的的力力学学原原则则集集中中到到若若干干几几何何点点上上，使使结结构构只只在在这这些些点点上上有有质质量量。从从而而把把一一个个无无限限自自由由度度问问题简化为有限自由度问题。题简化为有限自由度问题。2.2.实际结构自由度的简化方法实际结构自由度的简化方法 为分析计算方便，往往将具有无限自由度体系的实际结构简化为分析计算方便，往往将具有无限自由度体系的实际结构简化为有限自由度。常用的简化方法有：为有限自由度。常用的简化方法有：（1 1）集中质量法）集中质量法第7页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算不计轴向变形不计轴向变形:W=1:W=1平面平面:计轴向变形计轴向变形:W=2:W=2第8页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算3.3.确定体系振动自由度的方法确定体系振动自由度的方法4 4个自由度个自由度2 2个自由度个自由度方法一方法一:可以运用附加链杆法，使质量不发生可以运用附加链杆法，使质量不发生线位移线位移所施所施加的附加链杆数即为体系的计算自由度。加的附加链杆数即为体系的计算自由度。方法二方法二:当当忽略杆件的轴向变形忽略杆件的轴向变形时，可以运用几何构造分析中的时，可以运用几何构造分析中的铰接链杆法铰接链杆法将所有质点和刚结点变为铰结点后，使铰接链将所有质点和刚结点变为铰结点后，使铰接链杆体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为自由度数。杆体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为自由度数。第9页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算不计轴向变形：不计轴向变形：W=1W=1W=2W=2第10页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算W=3W=3W=1W=1第11页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算结论：结论：结构自由度数目与质点的个数无关结构自由度数目与质点的个数无关结构自由度数目与超静定次数无关结构自由度数目与超静定次数无关考虑轴向变形后各计算简图的动力自由度数是多考虑轴向变形后各计算简图的动力自由度数是多少？少？思考：思考：第12页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 描述体系振动时质点描述体系振动时质点动位移动位移的数学表达式，称为的数学表达式，称为动动力体系的运动方程力体系的运动方程（亦称振动方程）。（亦称振动方程）。单自由度体系的动力分析能反映出振动的基本特单自由度体系的动力分析能反映出振动的基本特性，是多个自由度体系分析的基础。本章只介绍微幅性，是多个自由度体系分析的基础。本章只介绍微幅振动（线性振动）。振动（线性振动）。根据达朗贝尔原理建立运动方程的方法称为动静法（或根据达朗贝尔原理建立运动方程的方法称为动静法（或惯性力法）。具体作法有两种：惯性力法）。具体作法有两种：刚度法刚度法和和柔度法。柔度法。12-2 12-2 运动方程的建立运动方程的建立第13页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算刚度法：刚度法：将力写成位移的函数，将力写成位移的函数，按平衡条件按平衡条件列出外力（包列出外力（包括假想作用在质量上的惯性力和阻尼力）与结构抗力括假想作用在质量上的惯性力和阻尼力）与结构抗力（弹性恢复力）的动力平衡方程（刚度方程），类似（弹性恢复力）的动力平衡方程（刚度方程），类似于位移法。于位移法。柔度法：柔度法：将位移写成力的函数，将位移写成力的函数，按位移协调条件按位移协调条件列出位列出位移方程（柔度方程），类似于力法。移方程（柔度方程），类似于力法。第14页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算质量质量m所产生的水平位移，可视为由动力荷载所产生的水平位移，可视为由动力荷载P P(t t)和惯和惯性力性力 共同作用在悬臂梁顶端所产生的。根据叠加原共同作用在悬臂梁顶端所产生的。根据叠加原理，得理，得一、按位移协调条件建立运动方程一、按位移协调条件建立运动方程柔度法柔度法 第15页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算1111柔度系数。柔度系数。表示在质量的运动方表示在质量的运动方向施加单位力时，在该运动方向所产生的向施加单位力时，在该运动方向所产生的静力位移。静力位移。式（式（B B）可改写为：）可改写为：第16页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算1 1、单自由度体系的振动模型、单自由度体系的振动模型 二、二、按平衡条件建立运动方程按平衡条件建立运动方程 刚度法刚度法（1 1）动力荷载：）动力荷载：（2 2）弹性恢复力：）弹性恢复力：（3 3）惯性力：）惯性力：2 2、取质量、取质量m m为隔离体，其上作用有：为隔离体，其上作用有：第17页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算3 3、建立运动方程、建立运动方程根据达朗贝尔原理，由根据达朗贝尔原理，由X X0 0，得，得代入，即得代入，即得 K K1111刚度系数。刚度系数。表示在质量的运动方向产生单位位移所表示在质量的运动方向产生单位位移所需施加的力。需施加的力。刚度系数与柔度系数互为倒数：刚度系数与柔度系数互为倒数：第18页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例1 1：试用刚度法建立图示刚架受动力荷载：试用刚度法建立图示刚架受动力荷载P P(t t)作用的运动方作用的运动方程。程。解：解：1)1)确定自由度确定自由度（建模）：（建模）：结构的质量结构的质量m分布于刚性横梁，分布于刚性横梁，只能产生水平位移，属单自由度体系。只能产生水平位移，属单自由度体系。2)2)确定位移参数确定位移参数：设刚梁在任一时刻的位移为：设刚梁在任一时刻的位移为y(t)，向右为正向右为正 。第19页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算3)3)绘隔离体受力图绘隔离体受力图：取出隔离体。图中给出了惯性力、弹性恢：取出隔离体。图中给出了惯性力、弹性恢复力。各力均设沿坐标正向为正。复力。各力均设沿坐标正向为正。4)4)列运动方程列运动方程：按动静法列动力平衡方程，可得：按动静法列动力平衡方程，可得 第20页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算式中：式中：代入整理，可得运动方程：代入整理，可得运动方程：式中，刚度系数式中，刚度系数 k k又称为楼层刚度，系指上下楼面发生单位相对位移（又称为楼层刚度，系指上下楼面发生单位相对位移（1 1）时，楼层中各柱剪力之和，如图所示）。）时，楼层中各柱剪力之和，如图所示）。第21页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例3:3:试用柔度法建立图示静定刚架受动力荷载作用的运动方程。试用柔度法建立图示静定刚架受动力荷载作用的运动方程。解：本题为单自由度体系的振动。取质量解：本题为单自由度体系的振动。取质量m水平方向水平方向的位移的位移y y为坐标为坐标 。运动方程为运动方程为:第22页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算绘出绘出 、图如图所示。由图乘法得图如图所示。由图乘法得得运动方程得运动方程 图图图图第23页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算也可写作也可写作 为等效动力荷载为等效动力荷载 第24页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算四、建立运动方程小结四、建立运动方程小结1)1)判断动力自由度数目，标出质量未知位移正向。判断动力自由度数目，标出质量未知位移正向。2)2)沿所设位移正向加惯性力、阻尼力和弹性恢复力，并冠以沿所设位移正向加惯性力、阻尼力和弹性恢复力，并冠以负号。负号。3)3)根据是求柔度系数方便还是求刚度系数方便，确定是写柔根据是求柔度系数方便还是求刚度系数方便，确定是写柔度方程还是写刚度方程。度方程还是写刚度方程。4)4)刚度方程几种写法的选择：刚度方程几种写法的选择：当结构给质体的反力亦即弹性恢复力当结构给质体的反力亦即弹性恢复力F FS S容易求时，宜以容易求时，宜以质体为隔离体建立方程（方法二）；否则以结构为对象列方程质体为隔离体建立方程（方法二）；否则以结构为对象列方程（方法一）。（方法一）。当用上述方法一和方法二有困难时，则宜用添加附加当用上述方法一和方法二有困难时，则宜用添加附加约束的方法列方程（方法三）。约束的方法列方程（方法三）。第25页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算1 1、刚度法：、刚度法：质点在惯性力与弹簧的恢复力作用下将处于一种虚质点在惯性力与弹簧的恢复力作用下将处于一种虚拟平衡。拟平衡。一、运动方程：一、运动方程：体系在没有外部动力荷载作用，而由初始位移体系在没有外部动力荷载作用，而由初始位移y y0 0和初始速度和初始速度u u0 0 引起的振动，叫做自由振动引起的振动，叫做自由振动12-3 12-3 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动(不计阻尼不计阻尼)第26页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算2 2、柔度法：、柔度法：当质点振动时，把当质点振动时，把惯性力看作是一个静力荷载惯性力看作是一个静力荷载，则质点，则质点在其作用下结构在质点处的在其作用下结构在质点处的位移位移y(t)y(t)应等于：应等于：第27页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算二、运动方程的解：二、运动方程的解：初始条件定积分常数初始条件定积分常数 当当t=0t=0时时则运动方程为：则运动方程为：设初始时刻有初位移设初始时刻有初位移y y0 0和初速度和初速度v v0 0第28页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算三、自由振动解的分析三、自由振动解的分析1 1质点的运动规律质点的运动规律简谐振动，质点简谐振动，质点作作直线往复运动直线往复运动。Tyt0-AA质点离平衡位置的位移随时间质点离平衡位置的位移随时间t t变化的函数图变化的函数图 振幅振幅:初相位初相位:第29页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算初相角初相角a a：标志着标志着t=0t=0时的位置。时的位置。频率频率f f：每每1 1秒间振动次数，秒间振动次数，圆频率（简称频率）圆频率（简称频率）：表示表示22秒内的振动次数。秒内的振动次数。振幅振幅A A：振动过程中的质点的最大的位移。振动过程中的质点的最大的位移。周期周期T T：Tyt0-AA第30页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算2 2自由振动中速度的改变规律自由振动中速度的改变规律最大速度等于振幅最大速度等于振幅A A与频率与频率w w的乘积的乘积。最大加速度等于振幅最大加速度等于振幅A A与频率与频率w w平方的乘积平方的乘积3 3自振中加速度和惯性力的变化规律：自振中加速度和惯性力的变化规律：惯性力幅值等于质量、振幅与频率平方的乘积惯性力幅值等于质量、振幅与频率平方的乘积第31页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 由于阻尼的作用，自振在几秒乃至百分之几秒内消失。由于阻尼的作用，自振在几秒乃至百分之几秒内消失。但阻尼对自振频率的影响很小。但阻尼对自振频率的影响很小。4 4自振的衰减自振的衰减四、求自振频率的方法：四、求自振频率的方法：1 1用于柔度系数好求的体系。用于柔度系数好求的体系。2 2用于刚度系数好求的体系用于刚度系数好求的体系。用于单质点的用于单质点的单自由度体系单自由度体系第32页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算3 3能量法求自振频率。能量法求自振频率。（用于多质点的单用于多质点的单自由度体系自由度体系、复、复杂体系）杂体系）4 4幅值方程求自振频率。幅值方程求自振频率。两者按同一规律两者按同一规律 改变。改变。由式（由式（12-3212-32）：）：第33页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算在达到振幅时，惯性力在达到振幅时，惯性力Z(t)Z(t)达到其幅值达到其幅值 ，惯性力与位移方向一致，位移惯性力与位移方向一致，位移A A是惯性力幅值是惯性力幅值 产生的。产生的。故：故：由柔度方程由柔度方程：由刚度方程：由刚度方程：幅值方程求自振频率幅值方程求自振频率第34页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例12-812-8：图示钢制悬臂梁，梁端部有一个质量为：图示钢制悬臂梁，梁端部有一个质量为123kg123kg的电的电机。已知机。已知梁跨梁跨为为1m1m，弹性模量：，弹性模量：,截面截面惯性矩惯性矩I I=78cm=78cm4 4。不计梁的自重，求自振频率和周期。不计梁的自重，求自振频率和周期。第35页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算解：图示体系为解：图示体系为单质点的单自由度单质点的单自由度体系体系1 1）画单位力作用下的单位弯矩图。）画单位力作用下的单位弯矩图。2 2）图乘法计算柔度系数。）图乘法计算柔度系数。3 3）求自振频率）求自振频率 lP=1第36页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例12-912-9图示排架的横梁为刚性杆，质量为图示排架的横梁为刚性杆，质量为m m，柱质量不计，柱质量不计,求其自振频率。求其自振频率。解解:第37页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 不考虑轴向变形，故为一单不考虑轴向变形，故为一单自由度体系。作自由度体系。作 图，求出刚图，求出刚度系数度系数:自振频率自振频率 例例12-912-9图示排架的横梁为刚性杆，质量为图示排架的横梁为刚性杆，质量为m m，柱质量不计，柱质量不计,求求其自振频率。其自振频率。第38页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例3 3：求图示刚架的自振频率。各杆：求图示刚架的自振频率。各杆EIEI为常数。为常数。1 10.6l0.6lMi图图解解:1:1）作出单位力引起的弯矩图，）作出单位力引起的弯矩图，第39页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算10.6l0.6l1 1）作出单位力引起的弯矩图，）作出单位力引起的弯矩图，3 3）求自振频率：）求自振频率：2 2）按图乘法求出柔度系数为：）按图乘法求出柔度系数为：Mi图图第40页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例4 4：求图示刚架的自振频率。各杆：求图示刚架的自振频率。各杆EIEI为常数。为常数。11ll分析：分析：图示体系有两个振质，均无竖向位移，仅有水平位移且相图示体系有两个振质，均无竖向位移，仅有水平位移且相同，故是同，故是单自由度体系单自由度体系。由于。由于两个质点上的惯性力共线两个质点上的惯性力共线，列方程，列方程时可以合并，所以时可以合并，所以可按一个质点的情况考虑可按一个质点的情况考虑。解解:（1 1）作出）作出虚设位移方向的单位力虚设位移方向的单位力引起的弯矩图引起的弯矩图第41页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算（1 1）作出单位力引起的弯矩图，）作出单位力引起的弯矩图，（3 3）求自振频率：）求自振频率：（2 2）按图乘法求出柔度系数为：）按图乘法求出柔度系数为：11ll0第42页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例5 5：求图刚架水平振动的自振频率，不计横梁的变形。：求图刚架水平振动的自振频率，不计横梁的变形。k11k11解：图示体系为单自由度体解：图示体系为单自由度体系系:1)1)在质量上沿位移方向加链杆，并令链杆沿位移方向发生单在质量上沿位移方向加链杆，并令链杆沿位移方向发生单位位移，作出单位弯矩图。位位移，作出单位弯矩图。第43页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算2 2）求链杆反力，即为刚度系）求链杆反力，即为刚度系数数3 3）求自振频率：）求自振频率：k11k11EI例例5 5：求图刚架水平振动的自振频率，不计横梁的变形。：求图刚架水平振动的自振频率，不计横梁的变形。第44页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例例6 6：求图示体系的自振频率。已知杆的刚度为无穷大，不计：求图示体系的自振频率。已知杆的刚度为无穷大，不计杆的质量，弹簧刚度系数为杆的质量，弹簧刚度系数为K K。解：图示体系为单自由度体系。由于两个解：图示体系为单自由度体系。由于两个质点的惯性力不质点的惯性力不共线，所以不能将质量合并共线，所以不能将质量合并。利用幅值方程求解。利用幅值方程求解。第45页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算方法一：方法一：利用幅值方程。利用幅值方程。以质点以质点C C 的位移作基本位移参数，的位移作基本位移参数，其最大位移设为其最大位移设为A A，以，以A A点为矩心点为矩心列力矩方程，有列力矩方程，有 第46页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算方法二：能量法方法二：能量法 求体系的最大动能和最大势求体系的最大动能和最大势能。能。振子的最大动能：振子的最大动能：弹性势能：弹性势能：令令第47页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算思考：思考：图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量一集中质量m m。当不考虑的自重，试比较三者的自振频率。当不考虑的自重，试比较三者的自振频率。第48页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算P=1思考：思考：图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量一集中质量m m。当不考虑的自重，试比较三者的自振频率。当不考虑的自重，试比较三者的自振频率。第49页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算mgP=1MP图Mi图图stst表示重力所产表示重力所产生的静位移生的静位移思考：思考：图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量有一集中质量m m。当不考虑梁的自重，试比较三者的自振频率。当不考虑梁的自重，试比较三者的自振频率。第50页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算MP图mgP=1Mi图图思考：思考：图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量一集中质量m m。当不考虑梁的自重，试比较三者的自振频率。当不考虑梁的自重，试比较三者的自振频率。第51页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 结构的自振频率只取决于它本身的质量、刚度，随着结构刚结构的自振频率只取决于它本身的质量、刚度，随着结构刚度的加大，其自振频率也相应增高。度的加大，其自振频率也相应增高。思考：思考：图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量有一集中质量m m。当不考虑梁的自重，试比较三者的自振频率。当不考虑梁的自重，试比较三者的自振频率。第52页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算作业：作业：教材教材12-1512-15、1616总结：总结：1 1、质点的运动规律、质点的运动规律简谐振动。简谐振动。2 2、自由振动中速度、加速度、惯性力的改变规律、自由振动中速度、加速度、惯性力的改变规律 3 3、求自振频率的方法：、求自振频率的方法：柔度法柔度法刚度法刚度法能量法能量法幅值法幅值法单质点、单自由度体系单质点、单自由度体系多质点单自由度体系、多质点单自由度体系、复杂体系复杂体系第53页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算12-5 12-5 简谐荷载作用下无阻尼单自由度体系的受迫振动简谐荷载作用下无阻尼单自由度体系的受迫振动强迫振动强迫振动结构在动荷载作用下的振动结构在动荷载作用下的振动 单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示图示:弹性力弹性力惯性力惯性力 平衡方程平衡方程 第54页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算不同的动荷载作用，体系的动力反应不同。不同的动荷载作用，体系的动力反应不同。常见的几种动荷载作用下体系的动力反应：常见的几种动荷载作用下体系的动力反应：或或 式中式中 结构的自振频率结构的自振频率 单自由度体系强迫振动单自由度体系强迫振动方程方程 第55页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算一、简谐荷载一、简谐荷载 荷载幅值荷载幅值 荷载的圆频率荷载的圆频率(扰频扰频)1 1、运动方程及其解、运动方程及其解 二阶线性非齐次常微分方程二阶线性非齐次常微分方程 通解：通解：齐次解：齐次解：设特解：设特解：第56页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算运动方程的通解为：运动方程的通解为：由初始条件确定由初始条件确定故特解为：故特解为：代入方程，求得代入方程，求得式（式（12-6112-61）第三项按扰频）第三项按扰频 振动，称为纯受迫振动。前两项消振动，称为纯受迫振动。前两项消逝后，只考虑稳态，即：逝后，只考虑稳态，即：第57页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算式（式（12-6212-62）中振幅）中振幅A A等于：等于：其中：其中：由此可得：由此可得：叫静位移。是将扰力叫静位移。是将扰力 的幅值的幅值P P作为静力加上作为静力加上去时产生的位移去时产生的位移令：令：得振幅的表达式：得振幅的表达式：动力系数动力系数第58页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算得振幅的表达式：得振幅的表达式：求动位移、动内力最大值的计算步骤：求动位移、动内力最大值的计算步骤：1 1）在扰力幅值）在扰力幅值P P作用下求静位移作用下求静位移 及静内力；及静内力；2 2）求动力系数）求动力系数 ；3 3）将静位移、静内力乘以动力系数即得动位移、动内力的幅）将静位移、静内力乘以动力系数即得动位移、动内力的幅值；值；思考题思考题:P70:P70 例题例题12-1512-15第59页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算动力系数动力系数 是频率比是频率比 的函数的函数 2 2、算式分析、算式分析它反映了干扰力它反映了干扰力对结构的动力作用。对结构的动力作用。振幅算式：振幅算式：动力系数：动力系数：当当 时，时，即动位移与干即动位移与干扰力指向一致；扰力指向一致；当当 时，时，即动位移与干扰力指向相反。即动位移与干扰力指向相反。第60页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算1 1）时，时，干扰力产生的动力作用不明显，干扰力产生的动力作用不明显，因此可当作静荷载因此可当作静荷载处理；处理；极限情况，即极限情况，即 或或 ，则，则 。意味。意味着结构为刚体或荷载不随时间变化，因此不存在振动问着结构为刚体或荷载不随时间变化，因此不存在振动问题。题。当当 时，时，为增函数。为增函数。2 2、算式分析、算式分析振幅算式：振幅算式：动力系数：动力系数：第61页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算2 2）当）当 时，时，共振，共振,为避开共振，可改变为避开共振，可改变干扰力频率干扰力频率 或改变结构的自振频率或改变结构的自振频率 使使 或或 。3 3）当）当 时，时，为减函数为减函数当当 时，时，体系处于静止状态。，体系处于静止状态。2 2、算式分析、算式分析振幅算式：振幅算式：动力系数：动力系数：第62页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩.已知：已知：第63页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算解解:(1)(1)计算动力系数计算动力系数梁的自振频率：梁的自振频率：荷载频率：荷载频率：动力系数：动力系数：例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩.第64页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(2)(2)动荷载幅值作为静荷载作用时的动荷载幅值作为静荷载作用时的位移和内力位移和内力 (3)(3)振幅和动弯矩幅值振幅和动弯矩幅值 振幅振幅 动弯矩幅值动弯矩幅值 例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩.第65页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(4)(4)最大位移和最大弯矩最大位移和最大弯矩 简支梁的最大位移和最大弯矩均在简支梁的最大位移和最大弯矩均在梁跨中点梁跨中点 跨中重量跨中重量G G产生的静位移产生的静位移:跨中的最大位移跨中的最大位移:跨中重量跨中重量G G产生的静弯矩产生的静弯矩:跨中的最大弯矩跨中的最大弯矩:例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩.第66页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算4.4.动荷载不作用在质点上时的动计算动荷载不作用在质点上时的动计算 振动方程振动方程 令令(a)(b)第67页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算则则稳态解稳态解 同式同式(12-62)(12-62)(c)(d)(e)第68页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算 （1 1）、振幅）、振幅 结论结论:仍是位移的动力系数仍是位移的动力系数.第69页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算（2 2）、动内力幅值）、动内力幅值 三者同时达到幅值。三者同时达到幅值。、作同频同步运动，作同频同步运动，根据稳态振动的振幅，算出惯性力。然后，将惯性力幅根据稳态振动的振幅，算出惯性力。然后，将惯性力幅值和干扰力幅值同时作用在体系上，按静力学计算方法便可值和干扰力幅值同时作用在体系上，按静力学计算方法便可求得动内力幅值。求得动内力幅值。第70页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图。已知已知：(a)(b)解解(1)(1)计算动力系数计算动力系数(2)(2)简支梁的振幅简支梁的振幅(c)第71页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(d)(e)(3)(3)作动弯矩的幅值图作动弯矩的幅值图惯性力幅值惯性力幅值动弯矩幅值图动弯矩幅值图(f)将动荷载幅值将动荷载幅值 F F 和惯性力幅和惯性力幅值值 I I 作用在梁上，按静力学方法作用在梁上，按静力学方法作出弯矩图作出弯矩图-动弯矩幅值图。动弯矩幅值图。例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图。已知已知：第72页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算结结 论论 对于对于单自由度体系单自由度体系，当干扰力作用在质量上时，位移的动力，当干扰力作用在质量上时，位移的动力系数和内力的动力系数是相同的；当干扰力不作用在质量上时，位系数和内力的动力系数是相同的；当干扰力不作用在质量上时，位移和内力各自的动力系数通常是不同的。移和内力各自的动力系数通常是不同的。对于位移和内力动力系数相同的情况，求结构的最大对于位移和内力动力系数相同的情况，求结构的最大动力反应时，可将动力反应时，可将干扰力幅值当作静荷载作用计算结构的位移和干扰力幅值当作静荷载作用计算结构的位移和内力内力，然后再，然后再乘以动力系数乘以动力系数，便可得到稳态振动时结构的最大动位，便可得到稳态振动时结构的最大动位移和最大动内力。移和最大动内力。对于位移和内力动力系数不同的情况，则要从体系的运对于位移和内力动力系数不同的情况，则要从体系的运动方程出发，先求出稳态振动的位移幅值，再算出惯性力。最动方程出发，先求出稳态振动的位移幅值，再算出惯性力。最后，按静力计算方法求出结构在干扰力幅值和惯性力幅值共同后，按静力计算方法求出结构在干扰力幅值和惯性力幅值共同作用下的内力，此即结构的最大动内力。作用下的内力，此即结构的最大动内力。第73页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算工程实例工程实例1)1)多层房屋的侧向振动，多层房屋的侧向振动，2)2)不等高排架的振动，不等高排架的振动，3)3)块式基块式基础的水平回转振动，础的水平回转振动，4)4)高耸结构高耸结构(如烟囱如烟囱)在地震作用下的振在地震作用下的振动，动，5)5)桥梁的振动，桥梁的振动，6)6)拱坝和水闸的振动等，一般均化为拱坝和水闸的振动等，一般均化为多自由度体系计算。多自由度体系计算。目的目的1)1)计算自振频率，即计算自振频率，即 ，。2)2)确定振型（振动形式），即确定振型（振动形式），即 ，或振型常数或振型常数r r1 1，r r2 2（仅适用于两个自由度体系）。并讨（仅适用于两个自由度体系）。并讨论振型的特性论振型的特性主振型的正交性。主振型的正交性。12-7 12-7 多自由度体系的自振频率和振型计算多自由度体系的自振频率和振型计算第74页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算方法方法1)1)刚度法刚度法根据力的平衡条件建立运动微分方程。根据力的平衡条件建立运动微分方程。2)2)柔度法柔度法根据位移协调条件建立运动微分方程。根据位移协调条件建立运动微分方程。对于多自由度体系自由振动分析一般不考虑阻尼。对于多自由度体系自由振动分析一般不考虑阻尼。第75页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算一、一、两个自由度体系的自由振动两个自由度体系的自由振动1.1.刚度法刚度法(1)(1)运动方程的建立运动方程的建立若不考虑阻尼，取质量若不考虑阻尼，取质量m1和和m2作隔离体，质点上作用惯性作隔离体，质点上作用惯性力和弹性恢复力，根据达朗伯力和弹性恢复力，根据达朗伯原理，可列出平衡方程原理，可列出平衡方程第76页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算结构所受的力结构所受的力 、与结构的位移与结构的位移 、之间应满足刚度方程之间应满足刚度方程是结构的是结构的刚度系数刚度系数 第77页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算可得运动方程可得运动方程 也可用矩阵表示为也可用矩阵表示为或缩写为或缩写为式中，式中，为质量矩阵；为质量矩阵；为加速度列阵；为加速度列阵；为刚度矩阵；为刚度矩阵；为位移列阵。为位移列阵。第78页，讲稿共114张，创作于星期三第十二章第十二章 结构动力计算结构动力计算(2)(2)运动方程的求解运动方程的求解设设 1)1)在振动过程中，两个质点同频率（在振动过程中，两个质点同频率（w w）、同相位（）、同相位（a a）。）。上式所表明的运动具有以下特点：上