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关于直梁的弯曲1第1页，讲稿共78张，创作于星期二2第第3 3章章 直梁的弯曲直梁的弯曲 3.1 梁的弯曲实例与概念梁的弯曲实例与概念3.2 梁横截面上的内力梁横截面上的内力剪力与弯矩剪力与弯矩3.3 弯矩方程与弯矩图弯矩方程与弯矩图3.4 弯曲时横截面上的正应力及其分布规律弯曲时横截面上的正应力及其分布规律3.5 梁弯曲时的强度条件梁弯曲时的强度条件3.6 梁截面合理形状的选择梁截面合理形状的选择3.7 梁的弯曲变形梁的弯曲变形梁的弯曲是材料力学最重要的内容。梁的弯曲是材料力学最重要的内容。第2页，讲稿共78张，创作于星期二33.1 梁的弯曲实例与概念梁的弯曲实例与概念以以弯曲弯曲弯曲弯曲变形为主的杆件在工程上统称为变形为主的杆件在工程上统称为梁梁。受力特点受力特点：力垂直于构件的轴线：力垂直于构件的轴线(力偶在轴线平面力偶在轴线平面)；变形特点变形特点：弯曲变形。：弯曲变形。第3页，讲稿共78张，创作于星期二4桥式吊车桥式吊车桥式吊车桥式吊车第4页，讲稿共78张，创作于星期二5火车轮轴火车轮轴第5页，讲稿共78张，创作于星期二6车削工件车削工件车削工件车削工件第6页，讲稿共78张，创作于星期二7梁有纵向对称面；梁有纵向对称面；梁有纵向对称面；梁有纵向对称面；载荷均作用在纵向对称面内，各个力垂直梁轴线；载荷均作用在纵向对称面内，各个力垂直梁轴线；载荷均作用在纵向对称面内，各个力垂直梁轴线；载荷均作用在纵向对称面内，各个力垂直梁轴线；变形后梁的轴线在变形后梁的轴线在纵向对称面内纵向对称面内纵向对称面内纵向对称面内弯成平面曲线。弯成平面曲线。平面弯曲的概念平面弯曲的概念平平平平面面面面弯弯弯弯曲曲曲曲是是工工程程中中最最常常见见也也是是最最简简单单的的一一种种弯弯曲曲。本本章章讨讨论平面弯曲。论平面弯曲。RARBPqM第7页，讲稿共78张，创作于星期二8梁的分类梁的分类悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁P Pq q外伸梁外伸梁P PMMP P简支梁、外伸梁两个支座之间的距离称为梁的简支梁、外伸梁两个支座之间的距离称为梁的跨度跨度。第8页，讲稿共78张，创作于星期二93.2 梁横截面上的内力梁横截面上的内力剪力和弯矩剪力和弯矩一、截面法求内力一、截面法求内力剪力与弯矩剪力与弯矩梁横截面上的内力仍用梁横截面上的内力仍用截面法截面法截面法截面法求。求。【例例】有一简支梁有一简支梁AB，梁上有集中载荷，梁上有集中载荷P，求截面上，求截面上1-1与与2-2的内力。的内力。第9页，讲稿共78张，创作于星期二10（1）以梁为研究对象，先）以梁为研究对象，先求支座反力求支座反力RA、RB第10页，讲稿共78张，创作于星期二11（2）用截面法求）用截面法求1-1上的内力。上的内力。内力内力Q1剪力剪力（平行横截面）（平行横截面）第11页，讲稿共78张，创作于星期二12内内力力偶偶矩矩M1弯弯矩矩(在在纵纵向向对对称称面面内，作用在横截面上内，作用在横截面上)O 横截面的形心横截面的形心（3）用截面法求）用截面法求2-2上的内力。上的内力。此处书上有错误此处书上有错误截面截面2-2上也有剪力弯矩上也有剪力弯矩第12页，讲稿共78张，创作于星期二13a思考思考思考思考：如果取右半段如何？如果取右半段如何？数值相同，方向相反数值相同，方向相反注意这里注意这里Q2为负为负第13页，讲稿共78张，创作于星期二14二、弯矩正负号规定二、弯矩正负号规定MM使梁上凹下使梁上凹下凸凸为正，为正，反之反之为负。为负。MM正正负负剪力对细长梁的变形和破坏影响很小，以下不再讨论。剪力对细长梁的变形和破坏影响很小，以下不再讨论。第14页，讲稿共78张，创作于星期二15弯矩的快捷计算弯矩的快捷计算梁内任一横截面上的弯矩，在数值上等于该截面任一侧梁内任一横截面上的弯矩，在数值上等于该截面任一侧梁上所有外力对截面中心的力矩的代数和。力矩梁上所有外力对截面中心的力矩的代数和。力矩左顺右左顺右逆为正逆为正（无论左右侧，向上外力为正无论左右侧，向上外力为正）。M=MO(F)一般形式一般形式注意外力偶注意外力偶第15页，讲稿共78张，创作于星期二16【例例】用简便方法求梁截面用简便方法求梁截面1-1、2-2处的弯矩。处的弯矩。（1）求）求1-1截面弯矩。截面弯矩。截开取左侧，弯矩截开取左侧，弯矩一律按正向画一律按正向画解解解解（2）求）求2-2截面弯矩。截面弯矩。q(xq(x2 2-a)-a)(x(x2 2-a)/2-a)/2第16页，讲稿共78张，创作于星期二173.3 弯矩方程与弯矩图弯矩方程与弯矩图一、弯矩方程一、弯矩方程画弯矩图时，先要建立弯矩方程，再根据弯矩方程画画弯矩图时，先要建立弯矩方程，再根据弯矩方程画弯矩图。弯矩图。M=f(x)弯弯矩矩一一般般随随着着梁梁的的截截面面位位置置x而而变变化化，M是是x函函数数，用用函函数关系式表示：数关系式表示：弯矩方程弯矩方程第17页，讲稿共78张，创作于星期二18二、弯矩图二、弯矩图在在机机械械工工程程中中习习惯惯将将：正正弯弯矩矩画画在在x轴轴上上面面，负负弯弯矩矩画在画在x轴下面。轴下面。以横坐标以横坐标x表示梁的表示梁的截面位置，纵坐标表截面位置，纵坐标表示弯矩所做图形成为示弯矩所做图形成为弯矩图弯矩图。第18页，讲稿共78张，创作于星期二19【例例3-1】简简支支梁梁在在C处处受受集集中中载载荷荷P作作用用，试试画画出出它它的的弯弯矩矩图。图。解：解：求支座反力求支座反力建立弯矩方程建立弯矩方程集中力作用在集中力作用在C，C点两侧弯矩方程不同，应分点两侧弯矩方程不同，应分2段考虑。段考虑。第19页，讲稿共78张，创作于星期二20AC段：段：CB段：段：第20页，讲稿共78张，创作于星期二21画弯矩图画弯矩图A点弯矩：点弯矩：C点弯矩：点弯矩：B点弯矩：点弯矩：最大弯矩产生在最大弯矩产生在C截面上，截面截面上，截面C是是危险截面危险截面危险截面危险截面。找最大弯矩找最大弯矩若若a=b,Mmax=Pl/4第21页，讲稿共78张，创作于星期二24【例例3-3】一简支梁一简支梁AB长长l，受均布载荷，受均布载荷q作用。试画弯矩图。作用。试画弯矩图。解：解：求支座反力求支座反力载载荷荷均均布布，支支座座对对称称布布置置，两两支座反力相等。支座反力相等。列弯矩方程列弯矩方程可见可见M是是x的二次抛物线，弯矩图是抛物线。的二次抛物线，弯矩图是抛物线。第24页，讲稿共78张，创作于星期二25画弯矩图画弯矩图画二次抛物线，确定几个特征点。画二次抛物线，确定几个特征点。00Ml3l/4l/2l/40 x故有：故有：找最大弯矩找最大弯矩第25页，讲稿共78张，创作于星期二26【例例3-4】一一简简支支梁梁AB，中中部部C点点受受力力偶偶m作作用用，跨跨度度为为l。力力偶偶离离左左端端A点点距距离离为为a，离离右右端端B点点距距离离为为b，试试画画出出梁梁的的弯弯矩图。矩图。解：解：解：解：求支座反力求支座反力载载荷荷是是力力偶偶，两两支支座座反反力力组组成成力偶。力偶。列弯矩方程列弯矩方程AC段：段：第26页，讲稿共78张，创作于星期二27BC段：段：画弯矩图画弯矩图集中力偶作用处，弯矩集中力偶作用处，弯矩发生突变。发生突变。突变大小突变大小=力偶矩力偶矩第27页，讲稿共78张，创作于星期二28最大弯矩在力偶作用的截最大弯矩在力偶作用的截面上。面上。当当ab时时当当ba时时找最大弯矩找最大弯矩第28页，讲稿共78张，创作于星期二29画弯矩图总结归纳画弯矩图总结归纳 梁梁梁梁受受受受集集集集中中中中力力力力作作作作用用用用时时时时，弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图必必必必为为为为直直直直线线线线，并并并并且且且且在在在在集集集集中中中中力力力力作用处，弯矩发生转折。作用处，弯矩发生转折。作用处，弯矩发生转折。作用处，弯矩发生转折。梁梁梁梁受受受受力力力力偶偶偶偶作作作作用用用用时时时时，弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图也也也也是是是是直直直直线线线线，但但但但在在在在力力力力偶偶偶偶作作作作用用用用处处处处，弯弯弯弯矩发生突变，突变的大小等于力偶矩。矩发生突变，突变的大小等于力偶矩。矩发生突变，突变的大小等于力偶矩。矩发生突变，突变的大小等于力偶矩。梁梁梁梁受受受受均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用时时时时，弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图必必必必为为为为抛抛抛抛物物物物线线线线，如如如如均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷向向向向下下下下，则则则则抛抛抛抛物物物物线线线线开开开开口口口口向向向向下下下下，均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷向向向向上上上上，则则则则抛抛抛抛物物物物线线线线开口向上。开口向上。开口向上。开口向上。第29页，讲稿共78张，创作于星期二30第30页，讲稿共78张，创作于星期二31【例例3-6】用简捷方法画出悬臂梁的弯矩图。用简捷方法画出悬臂梁的弯矩图。第31页，讲稿共78张，创作于星期二32【例例3-7】外外伸伸梁梁受受载载荷荷如如图图所所示示，已已知知q和和a值值，画画出出此此梁梁的弯矩图。的弯矩图。解解求支座反力求支座反力第32页，讲稿共78张，创作于星期二33求求ABCD点的弯矩点的弯矩在弯矩图上定出在弯矩图上定出A CB D各点，直接画弯矩图各点，直接画弯矩图AC、CB段：直线段：直线BD段：开口向下的抛物线，多取几点画之。段：开口向下的抛物线，多取几点画之。ACBD找危险截面找危险截面B，|Mmax|=1/2qa2第33页，讲稿共78张，创作于星期二34第34页，讲稿共78张，创作于星期二353.4 弯曲时横截面上的正应力及其分布规律弯曲时横截面上的正应力及其分布规律CD：截面只有弯矩：截面只有弯矩M，而无剪力，而无剪力Q，称为，称为纯弯曲纯弯曲一般：截面上同时有弯矩一般：截面上同时有弯矩M和剪力和剪力Q，称为，称为横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲。Q QQ Q=0=0P PMMM=M=PaPaPPa aa a纯弯曲纯弯曲ABCD第35页，讲稿共78张，创作于星期二36现在研究纯弯曲时梁的变形规律现在研究纯弯曲时梁的变形规律mmnnaabbMMmmn nn nmmaab bb bd d MM变形后变形后变形后变形后横向线横向线横向线横向线mm-mm、n-n n仍保持直线，但仍保持直线，但相对转过一个角度相对转过一个角度d d 。纵向线变为弧线，纵向线变为弧线，a-a 缩短，缩短，b-b伸长，伸长，但仍与但仍与但仍与但仍与mm-mm、n-n线正交线正交线正交线正交。弯曲变形的平面假设弯曲变形的平面假设横截面在弯曲变形后仍保持为平面，横截面在弯曲变形后仍保持为平面，只是绕截面内只是绕截面内某一轴某一轴转动了一个角转动了一个角度。度。一、纯弯曲时的弯曲变形特征一、纯弯曲时的弯曲变形特征纯弯曲变形实验纯弯曲变形实验表面现象表面现象推论推论第36页，讲稿共78张，创作于星期二37重要推论重要推论想像梁由许多纵向纤维组成，变形后想像梁由许多纵向纤维组成，变形后上面纤维缩短，下面纤维伸长，中间上面纤维缩短，下面纤维伸长，中间必有一层纤维既不伸长又不缩短，此必有一层纤维既不伸长又不缩短，此层称为层称为中性层中性层中性层中性层。平面假设平面假设平面假设平面假设AABBaabbMMMM中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴。梁弯曲时各个截面绕着中性轴转动梁弯曲时各个截面绕着中性轴转动。中性轴通过截面形心。中性轴通过截面形心。A AB BB BA Aaab bb bd d MM变形后变形后变形后变形后有有中性层中性层存在存在横截面在纯横截面在纯横截面在纯横截面在纯弯曲弯曲变形后仍保持为平变形后仍保持为平变形后仍保持为平变形后仍保持为平面，只是绕截面内面，只是绕截面内面，只是绕截面内面，只是绕截面内某一轴某一轴某一轴某一轴转动了一转动了一个角度。个角度。第37页，讲稿共78张，创作于星期二38二、梁弯曲时横截面上的正应力及其分布规律二、梁弯曲时横截面上的正应力及其分布规律变形几何关系变形几何关系变形几何关系变形几何关系除中性层外，上面纤维除中性层外，上面纤维aa 缩短，下面纤维缩短，下面纤维bb伸长，很伸长，很显然，显然，各层纤维的绝对变形量各层纤维的绝对变形量各层纤维的绝对变形量各层纤维的绝对变形量L与该层到中性层的距与该层到中性层的距与该层到中性层的距与该层到中性层的距离离离离y成正比。即：成正比。即：成正比。即：成正比。即：L y梁梁纯纯弯弯曲曲时时，横横截截面面上上只只有有正正应应力力，为为研研究究其其分分布布规规律律，必须从几何、物理、静力平衡三方面进行分析。必须从几何、物理、静力平衡三方面进行分析。第38页，讲稿共78张，创作于星期二39L y各各层层纤纤维维的的绝绝对对变变形形量量L与与该该层层到到中中性性层层的的距距离离y成正比。成正比。纯纯纯纯弯弯弯弯曲曲曲曲时时时时，各各各各层层层层纤纤纤纤维维维维的的的的应应应应变变变变与与与与该该该该层层层层到到到到中中中中性性性性层层层层的的的的距距距距离离离离y y成成成成正正正正比。比。比。比。第39页，讲稿共78张，创作于星期二40物理关系（应力与变形关系）物理关系（应力与变形关系）物理关系（应力与变形关系）物理关系（应力与变形关系）横横截截面面上上各各点点的的正正应应力力 的的大大小小与与该该点点到到中中性性轴轴的的距距离离 y 成正比。成正比。纯弯曲时正应力分布规律：纯弯曲时正应力分布规律：纯弯曲时正应力分布规律：纯弯曲时正应力分布规律：离离离离中中中中性性性性轴轴轴轴越越越越远远远远，应应应应力力力力越越越越大大大大，中中中中性轴上应力为性轴上应力为性轴上应力为性轴上应力为0。中性层的一侧为拉应力，另一侧为压应力。中性层的一侧为拉应力，另一侧为压应力。中性层的一侧为拉应力，另一侧为压应力。中性层的一侧为拉应力，另一侧为压应力。MMyymma ax xmaxmax第40页，讲稿共78张，创作于星期二41距距中中性性轴轴为为y处处的的正正应应力力与与距距中中性性轴轴为为ymax的的最最大大应应力力max有如下的关系：有如下的关系：故应力分布规律可以写成故应力分布规律可以写成MMyymma ax xmaxmax横截面上最大正应力发生离中横截面上最大正应力发生离中性轴最远处性轴最远处,即截面的上下边缘即截面的上下边缘处。处。M以下推导应力计算公式。以下推导应力计算公式。第41页，讲稿共78张，创作于星期二42在横截面上距中性轴距离为在横截面上距中性轴距离为y处，取微面积处，取微面积dA。作用在微面积作用在微面积dA上的应力为上的应力为，均匀分布。均匀分布。作用在微面积作用在微面积dA上的微内力为上的微内力为 dA。微内力微内力dA 对中性轴的微力矩为对中性轴的微力矩为ydA。横横截截面面上上所所有有微微力力矩矩的的总总和和就就是是横横截截面面上上的的弯弯矩矩M。即：即：MMyymma ax xdAZ Z：中性轴：中性轴z静力平衡关系（应力与弯矩的关系）静力平衡关系（应力与弯矩的关系）静力平衡关系（应力与弯矩的关系）静力平衡关系（应力与弯矩的关系）第42页，讲稿共78张，创作于星期二43MMyymma ax xdA中性轴中性轴J Jz 称称为为横横截截面面对对中中性性轴轴z 的的轴轴轴轴惯惯惯惯性性性性矩矩矩矩，取取决决于于截截面面尺尺寸寸和和形状，单位形状，单位m4。令：令：则有则有：第43页，讲稿共78张，创作于星期二44令：令：称称为为抗抗抗抗弯弯弯弯截截截截面面面面模模模模量量量量，单单位位为为m3，也取决于截面尺寸和形状也取决于截面尺寸和形状MMyymma ax xmaxmax梁弯曲时横截面上最大正应力公式：梁弯曲时横截面上最大正应力公式：梁弯曲时横截面上最大正应力公式：梁弯曲时横截面上最大正应力公式：第44页，讲稿共78张，创作于星期二45横截面上最大正应力该截面弯矩该截面抗弯截面模量试试验验和和理理论论分分析析表表明明，对对于于细细长长梁梁（跨跨度度与与横横截截面面高高度度之之比比l/h5）,用用此此公公式式计计算算横横力力弯弯曲曲时时的正应力也是足够精确的。的正应力也是足够精确的。第45页，讲稿共78张，创作于星期二46轴惯性矩和抗弯截面模量轴惯性矩和抗弯截面模量轴惯性矩和抗弯截面模量轴惯性矩和抗弯截面模量矩形截面矩形截面矩形截面矩形截面第46页，讲稿共78张，创作于星期二47实心圆截面实心圆截面Zd圆环截面圆环截面圆环截面圆环截面工字钢截面的惯性矩和抗弯截面模量查教材附表工字钢截面的惯性矩和抗弯截面模量查教材附表8 8第47页，讲稿共78张，创作于星期二483.5 梁弯曲时的强度条件梁弯曲时的强度条件一、梁的最大正应力一、梁的最大正应力梁的危险截面梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部危险截面位于梁根部梁的最大正应力梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危险梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处截面上离中性轴最远处第48页，讲稿共78张，创作于星期二49二、梁的强度条件二、梁的强度条件Mmax梁内最大弯矩梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量危险截面抗弯截面模量材料的许用应力材料的许用应力利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷。许可载荷。第49页，讲稿共78张，创作于星期二50【例例3-7】有有一一型型号号为为16的的工工字字钢钢截截面面简简支支梁梁，如如图图所所示示。已已知知P=27.5KN。钢钢材材弯弯曲曲许许用用应应力力=120MPa，试试校校核核梁梁的的强度。强度。解：解：解：解：最最大大弯弯矩矩发发生生在在集集中中力力P作作用用处，即梁的中点。处，即梁的中点。查附表查附表8，16号工字钢号工字钢WZ=141cm3=141000mm3。故钢梁的最大正应力为故钢梁的最大正应力为此梁此梁安全安全第50页，讲稿共78张，创作于星期二51【例例3-9】悬悬臂臂梁梁由由两两根根工工字字钢钢组组成成，设设备备总总重重P（包包括括物物料料重重）为为10kN，设设备备中中心心到到固固定定端端的的距距离离a=1.5m，L=2.2m，如如图图所所示示。钢钢材材弯弯曲曲许许用用应应力力=140MPa。试试按按强强度度要要求求选择工字钢尺寸选择工字钢尺寸(型号型号)。解：解：查附表查附表8，选择，选择12.6号工字钢，号工字钢，Wz=77.5cm3，符合要求。，符合要求。每一根梁每一根梁第51页，讲稿共78张，创作于星期二52【例例3-10】有有一一型型号号为为40a的的工工字字钢钢简简支支梁梁，跨跨度度L=8m，弯弯曲许用应力曲许用应力=140MPa，求梁能承受的均布载荷，求梁能承受的均布载荷q。解：解：解：解：最大弯矩发生在梁的中点，最大弯矩发生在梁的中点，查附表查附表8，40a工字钢的工字钢的Wz=1090cm3，代入强度条件得：，代入强度条件得：第52页，讲稿共78张，创作于星期二53【例例3-11】接接上上例例，型型号号40a工工字字钢钢的的截截面面积积约约为为86.1cm2，如如果果换换成成矩矩形形截截面面梁梁，截截面面高高宽宽比比h/b=2，要要求求也也能能承承受受q=19075N/m均布载荷，试求矩形截面面积。均布载荷，试求矩形截面面积。解：解：矩形截面梁：矩形截面梁：要要求求也也能能承承受受q=19075N/m均均布布载载荷荷，矩矩形形截截面面梁梁的的WZ也应为也应为1090cm3。承受相同载荷，矩形梁的截面面积是工字钢梁的承受相同载荷，矩形梁的截面面积是工字钢梁的3.24倍。倍。第53页，讲稿共78张，创作于星期二543.6 梁截面合理形状的选择梁截面合理形状的选择承承受受相相同同载载荷荷，工工字字型型截截面面比比矩矩形形截截面面更更节节省省材材料料。因因此此，在在承承受受相相同同载载荷荷情情况况下下，合合理理选选择择梁梁的的截截面面形形状状，可可以以大大大节省材料。大节省材料。根据弯曲强度条件根据弯曲强度条件同样载荷条件下，同样载荷条件下，WZ，梁强度，梁强度合理截面合理截面因因此此，在在不不增增加加材材料料面面积积A情情况况下下，WZ越越大大越越好好。即即：WWZ/A应尽可能大。应尽可能大。应尽可能大。应尽可能大。这样的截面称这样的截面称合理截面。合理截面。合理截面。合理截面。第54页，讲稿共78张，创作于星期二55三种截面合理性比较三种截面合理性比较三种截面合理性比较三种截面合理性比较第55页，讲稿共78张，创作于星期二56上下边缘处应力最大靠近中性轴处，应力较小，材料没有充分利用从弯曲应力分布解释截面合理性从弯曲应力分布解释截面合理性要要使使材材料料充充分分发发挥挥作作用用，就就应应该该把把材材料料用用到到应应力力较较大大的的地方，即地方，即将材料放到离中性轴较远的地方将材料放到离中性轴较远的地方。MM第56页，讲稿共78张，创作于星期二57根据材料性能选择截面根据材料性能选择截面材材料料拉拉压压性性能能不不同同时时，还还应应使使截截面面两两边边的的最最大大拉拉应应力力和和最大压应力同时达到许用应力。最大压应力同时达到许用应力。塑性材料：塑性材料：拉拉=压压，对中性轴对称截面（如工字型截面），对中性轴对称截面（如工字型截面）脆脆脆脆性性性性材材材材料料料料：拉拉压压，中中性性轴轴偏偏向向受受拉拉一一边边（如如T字字型型截面）截面）第57页，讲稿共78张，创作于星期二58等强度梁等强度梁按梁按梁危险截面危险截面上的最大弯矩上的最大弯矩来计算的。来计算的。对等截面梁：危险截面max=时其它截面max等截面梁不能充分等截面梁不能充分发挥材料作用发挥材料作用等截面梁等截面梁第58页，讲稿共78张，创作于星期二59为节省材料，应使梁内各个截面上的最大应力都达到或接为节省材料，应使梁内各个截面上的最大应力都达到或接近许用应力，这样的梁称为近许用应力，这样的梁称为等强度梁等强度梁等强度梁等强度梁。等强度梁等强度梁各个截面并不相同，属于各个截面并不相同，属于变截面梁变截面梁。摇臂钻的横臂摇臂钻的横臂支架支架阶梯轴阶梯轴第59页，讲稿共78张，创作于星期二603.7 梁的弯曲变形梁的弯曲变形工工程程问问题题中中，有有些些梁梁除除了了要要满满足足强强度度要要求求外外，还还往往往往要要求求变变形形不不能能过过大大，即即还还有有刚刚度度要要求求。因因此此需需要要研研究究梁的弯曲变形。梁的弯曲变形。第60页，讲稿共78张，创作于星期二61 齿轮轴即使有足够的强度，但若弯曲变形过大，将使轴上的齿轮啮合不良，引起噪声，造成齿轮与齿轮间或轴与轴承间的不均匀磨损。齿轮轴弯曲变形实例弯曲变形实例第61页，讲稿共78张，创作于星期二62 如如果果工工件件的的弯弯曲曲变变形形过过大大，甚甚至至会会加加工工出出废废品品；钻钻床床的的变变形形过过大大，就就会会影影响响加加工精度。工精度。切削中的工件与钻床第62页，讲稿共78张，创作于星期二63梁梁的的变变形形可可用用变变形形后后轴轴线线的的形形状状来来说说明明，各各处处的的变变形形状况用状况用挠度和转角挠度和转角挠度和转角挠度和转角来表示。来表示。一、梁的挠度和转角的概念一、梁的挠度和转角的概念梁任意截面形心梁任意截面形心O1变形变形后移至后移至O1，其垂直位移，其垂直位移 f 称为该截面的称为该截面的挠度挠度，向，向下为正，单位是下为正，单位是mm。梁梁弯弯曲曲变变形形后后的的轴轴线线称称为为弹弹性曲线性曲线或或挠曲线挠曲线。挠度挠度f fx xO1O1第63页，讲稿共78张，创作于星期二64转角转角梁任一横截面绕其梁任一横截面绕其中性轴中性轴转动的角度称为该截面的转动的角度称为该截面的转角转角转角转角，用，用表示，逆时针转为正，单位是表示，逆时针转为正，单位是rad。截面的转角截面的转角等于该截面处弹性曲线的切线与梁轴线的夹角。等于该截面处弹性曲线的切线与梁轴线的夹角。f fx xO1O1第64页，讲稿共78张，创作于星期二65悬臂梁的自由端悬臂梁的自由端挠度挠度挠度挠度最大，转角也最大。最大，转角也最大。梁的变形与梁的变形与EJZ成反比，成反比，EJZ Z称抗弯刚度。称抗弯刚度。简简单单载载荷荷下下各各种种梁梁的的最最大大挠挠度度和和转转角角计计算算公公式式见见教教材材基基本本变形表变形表3-3。第65页，讲稿共78张，创作于星期二66用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形叠叠加加法法 当当梁梁上上同同时时作作用用几几个个载载荷荷时时，梁梁的的总总变变形形为为各个载荷单独作用下梁的变形的代数和。各个载荷单独作用下梁的变形的代数和。在在弹弹性性范范围围内内，梁梁的的挠挠度度和和转转角角都都和和载载荷荷是是成成正正比比的的，可用可用叠加法叠加法叠加法叠加法来求几种载荷同时作用下梁的变形：来求几种载荷同时作用下梁的变形：第66页，讲稿共78张，创作于星期二67二、弯曲的刚度条件二、弯曲的刚度条件梁的刚度条件梁的刚度条件:一一般般是是控控制制挠挠度度，工工程程中中梁梁的的变变形形许许可可值值常常取取 f/l 如如 吊吊 车车 梁梁 f/l=1/750-1/250.第67页，讲稿共78张，创作于星期二68【例例3-12】例例3-9的的悬悬臂臂梁梁（E=2.1105MPa），选选择择12.6号号工工字字钢钢，强强度度是是满满足足的的，现现在在还还需需要要刚刚度度校校核核，规规定定最最大挠度应小于大挠度应小于L/250。B BP/2P/2A Aa aL L c cC Cf fc c书上有错误书上有错误解：解：第68页，讲稿共78张，创作于星期二69根据刚度条件根据刚度条件:由由附附表表6查查出出12.6号号工工字字钢钢的的JZ=488cm4，因因此此刚刚度度不不够，需要够，需要14号工字钢，其号工字钢，其JZ=712cm4。第69页，讲稿共78张，创作于星期二70【例例3-13】一一简简支支梁梁受受均均布布载载荷荷作作用用，q=4600N/m（含含梁梁的的自自重重）。该该梁梁为为工工字字钢钢，跨跨度度l=10m，材材质质Q235-A，工工作作温温度度240，梁梁的的许许用用挠挠度度 f=10000/720，试试选选择择工工字字钢钢的的型型号。号。解：解：由由表表3-33-3知知，最最大大挠挠度度在在梁的中点，最大挠度为梁的中点，最大挠度为刚刚 度度 条条件为件为:由附表由附表5查得查得250 时时Q235-A的的E=1.83105MPa，第70页，讲稿共78张，创作于星期二71由上式得：由上式得：由由附附表表6查查出出40c号号工工字字钢钢的的JZ=23900cm4，最最接接近近13566cm4，因此选型号，因此选型号40c号工字钢可以满足刚度条件。号工字钢可以满足刚度条件。书上还进行强度校核，请同学自己看书。书上还进行强度校核，请同学自己看书。第71页，讲稿共78张，创作于星期二72作 业习题习题习题习题P94：19（强度）（强度）P95：23（变形）（变形）第72页，讲稿共78张，创作于星期二73第73页，讲稿共78张，创作于星期二74【习习题题17(m)】试试列列出出图图示示各各梁梁的的弯弯矩矩方方程程，并并画画弯弯矩矩图图，求出求出MmaxN NB BN NC Ca a2a2a（1）求支座反力）求支座反力解：解：解：解：第74页，讲稿共78张，创作于星期二75取取A点点为为原点原点（2）列弯矩方程式）列弯矩方程式AC段：段：BC段：段：N NB BN NC Ca a2a2ax2第75页，讲稿共78张，创作于星期二76（3）求特征点弯矩）求特征点弯矩 N NB BN NC Ca a2a2a代入第代入第2方程方程得得CB段的最大弯矩段的最大弯矩第76页，讲稿共78张，创作于星期二77（4）画弯矩）画弯矩图图N NB BN NC Ca a2a2aqaqa2 2qaqa2 2（5）最大弯矩）最大弯矩弯弯矩矩图图一一定定要要画画在在受受力力图图的的正正下方，否则画了也是白画。下方，否则画了也是白画。第77页，讲稿共78张，创作于星期二04.04.2023感谢大家观看第78页，讲稿共78张，创作于星期二