高数例题第八章空间解析几何与向量代数课件.ppt

高数例题课件第八章空间解析几何与向量代数第1页，此课件共133页哦（二）自由向量：与起点无关的向量。对于自由向量，如果两个向量的大小相等，且方向相同，我们就说向量 是相等的，记做 经过平行移动后能完全重合的向量是相等的。第2页，此课件共133页哦（三）向量的模：向量的大小叫做向量的模。向量 的模依次记作 模等于1的向量叫做单位向量，模等于0的向量叫做零向量，记作 ，零向量的起点和终点重合，它的方向可以看做是任意的。第3页，此课件共133页哦（四）两相量的夹角、向量与一轴的夹角，空间两轴的夹角。两向量的夹角 设有两个非零向量 ，任取空间一点O，作 ，规定不超过 称为向量的夹角，记作 即 。若向量 中有一个是零向量，规定它们的夹角可在 之间任意取值，包括第4页，此课件共133页哦向量与一轴、空间两轴的夹角 过空间一点O，作向量 ,作轴 的平行线 ，则 与轴 的正向所夹的不超过 的角叫做向量与一轴的夹角。第5页，此课件共133页哦（五）向量 平行 两个非零向量如果它们的方向相同或者相反，就称这两个向量平行，记做 ，由于零向量的方向可以看作是任意的，因此可以认为零向量与任何向量都平行。第6页，此课件共133页哦（六）两向量共线：当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上，因此，两向量平行又称两向量共线。第7页，此课件共133页哦（七）向量共面：设有 个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果 个终点和公共起点在一个平面上，就称这 个向量共面。（八）负向量：设 为一个向量，与 的模相同而方向相反的向量叫做 的负向量，记做第8页，此课件共133页哦二、向量的线性运算（一）向量的加法1、向量加法的规定（1）三角形法则：设有两个向量 ，任取一点A,作 ,再以B为起点，作 ，连接AC，那么向量 称为向量的和，记做 ，即 。第9页，此课件共133页哦（2）平行四边形法则 当向量 不平行时，作 ，以AB、AD为边作一平行四边形ABCD，连接对角线AC，则即为 的和。第10页，此课件共133页哦例1已知的夹角为 ，求 第11页，此课件共133页哦2.加法的运算律(1).交换律：(2).结合律：第12页，此课件共133页哦 3.n个向量 相加 使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继做向量 ，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点做一向量，即为这 n个向量的和第13页，此课件共133页哦(二)向量的减法规定：第14页，此课件共133页哦（三）向量与数的乘法1、向量与数的乘法的规定 向量 与实数 的乘积记做 ，规定向量 是一个向量，它的模 它的方向，当 的方向相同，当 的方向相反。第15页，此课件共133页哦 特别地，当 ，即 是零向量，这时它的方向可以是任意的；第16页，此课件共133页哦2、运算律（1）结合律 （2）分配律 第17页，此课件共133页哦例2在平行四边形 中，设 ，试用 表示向量 。第18页，此课件共133页哦（四）两向量平行定理定理1：设向量 ，那么，向量的充分必要条件是：存在唯一的实数 ，使 。第19页，此课件共133页哦三、空间直角坐标系（一）空间点的直角坐标1、在空间取定一点 和三个两两互相垂直的单位向量 就确定了三条都以 为原点的两两垂直的数轴，依次记为 统称为坐标轴。它们构成一个空间直角坐标系，称为 坐标系 或 坐标系 ，第20页，此课件共133页哦2、坐标面 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面称为坐标面，分别叫做xoy面、yoz面、zox 面。3、卦限 三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。第21页，此课件共133页哦4.向量 的坐标分解式其中 称为向量 沿三个坐标轴方向的分向量，有序数 称为向量 的坐标，有序数 也称为点M的坐标第22页，此课件共133页哦四、利用坐标做向量的线性运算 1.设 则第23页，此课件共133页哦2.两向量平行的充要条件 设则 其中 第24页，此课件共133页哦例3求解以向量为未知元的线性方 程组 其中 第25页，此课件共133页哦例4已知两点以及实数 ，在直线上求点 ,使 。第26页，此课件共133页哦五、向量的模、方向角、投影1、向量的模与两点间的距离公式 设 则 另设点A B则点A与点B的距离为第27页，此课件共133页哦例7求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。第28页，此课件共133页哦例8在 轴上求与两点等距离的点。第29页，此课件共133页哦例9已知两点 求与 方向相同的单位 向量 。第30页，此课件共133页哦2、方向角与方向余弦（1）非零向量 的方向角，方向余弦:非零向量 与三条坐标轴的夹角称为非零向量 的方向角。把方向角的余弦 叫做向量的方向余弦。第31页，此课件共133页哦（2）关系式 设 为向量 的方向角，则有其中 是与 同方向的单位向量第32页，此课件共133页哦例10设已知两点 计算向量 的模，方向 余弦和方向角。第33页，此课件共133页哦例12设点 位于第 卦 限，向径 与 轴、轴夹角依次为 ，且 ，求点 的坐标。第34页，此课件共133页哦3.向量在轴上的投影（1）空间一点及向量在 轴上的投影点的投影 设已知空间一点M以及一轴 ，通过 作轴 的垂直平面 ，那么平面与轴 的交点 叫做点 在轴 上的投影。第35页，此课件共133页哦向量 在轴 上的投影 一般地，设点 及单位向量确定 轴，任给向量 再过点 作与 轴垂直的平面交 轴于点则向量 称为向量 在轴 上的分向量，设 则数 称为向量 在轴 上的投影，记作 第36页，此课件共133页哦（2）向量的投影的性质性质1：性质2：性质3：第37页，此课件共133页哦例14设立方体一条对角线为 一条棱为 ，且 ，求 方向上的投影 。第38页，此课件共133页哦7-2 数量积 向量积 混合积一、两向量的数量积（一）数量积的定义 对两个向量 做这样的运算，运算的结果是一个数，它等于 及它们的夹角 的余弦的乘积，把它叫做向量 的数量积，记为 第39页，此课件共133页哦（二）数量积的性质1.2.3.若 则从而有第40页，此课件共133页哦4.若 则从而有第41页，此课件共133页哦（三）数量积的运算规律1、交换律：2、分配律：3、结合律：为常数 第42页，此课件共133页哦例1试用向量证明三角形的 余弦定理。第43页，此课件共133页哦（四）两向量数量积的坐标表示式 设则（五）两向量互相垂直的充要条件第44页，此课件共133页哦（五）两向量夹角余弦的坐标表示 设 为向量 的夹角，则 第45页，此课件共133页哦例2在 坐标面上，求出与 向量 垂直的单位 向量。第46页，此课件共133页哦例3设质量为100kg的物体从点 沿直线移动到点 ，计算重力所作的 功（长度单位m）第47页，此课件共133页哦例4已知三点 ，求 。第48页，此课件共133页哦二、两向量的向量积（一）向量 的向量积（定义）由下列三个条件所确定的向量，叫做向量 的向量积，记作：1、的模 ，其中 之间的夹角。第49页，此课件共133页哦2、向量 垂直于 所确定的平面3、向量 的方向满足右手规则即当右手的四个手指从 以不超过的角转向 握拳时，大拇指的指向就是 的方向。第50页，此课件共133页哦（二）向量积的几何意义 两向量的向量积的模 等于以 为边构成的平行四边形的面积，等于以 为边组成的三角形面积的二倍。第51页，此课件共133页哦（三）向量积的性质1.2.第52页，此课件共133页哦（四）向量积的运算律1、（不满足交换律）2、数乘结合律3、分配律：第53页，此课件共133页哦（五）向量积的坐标表示 设则第54页，此课件共133页哦例5设 ，计算 。第55页，此课件共133页哦例6已知 的顶点分别为求三角形 的面积。第56页，此课件共133页哦三、向量的混合积（一）定义：设已知三个向量如果先作向量 的向量积 ，把所得到的向量与第三个向量 ，再作数量积 ，这样得到的数量叫做三向量混合积，记作第57页，此课件共133页哦（二）混合积的坐标表示则第58页，此课件共133页哦（三）向量的混合积的几何意义 向量的混合积的 是一个数，它的绝对值表示以向量 为棱的平行六面体的体积，如果 组成右手系（即 的指向按右手规则从 来确定），那么混合积的符号是正的，如果 组成左手系（即 的指向按左手规则从来确定），那么混合积的符号是负的。第59页，此课件共133页哦（四）混合积的其它性质1、2、三向量 共面的充要 条件是第60页，此课件共133页哦7-3 曲面及其方程一、曲面方程的概念（一）定义：如果曲面 与三元方程 ，有下述关系（1）曲面S上任一点的坐标都满足 方程 。第61页，此课件共133页哦（2）坐标满足方程的点都在曲面上，（或不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 ）那么方程 就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 的图形。第62页，此课件共133页哦 例1建立球心在点 半径为R的球面方程。第63页，此课件共133页哦例2设点 和 ，求线段 的垂直平分面的方程。第64页，此课件共133页哦例3方程表示怎样的曲面。第65页，此课件共133页哦二、旋转曲面方程的求法（一）定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线，旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条直线叫做旋转曲线的的轴。旋转曲线叫做旋转曲面的母线第66页，此课件共133页哦（二）旋转曲面方程的规律性1、在oyz平面上的曲线绕 轴旋转所成的旋转曲面方程为，在方程 中以 以 而得到的方程 ，即为旋转曲面方程。绕Z轴旋转所成的旋转曲面方程为，第67页，此课件共133页哦在方程 中，以 ，以 ，而得到旋转曲面的方程2、在oxz平面,oxy平面上的曲线绕坐标轴旋转也有相同的规律性。第68页，此课件共133页哦（三）圆锥面：直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得的旋转曲面叫做圆锥面，两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角 叫做圆锥面的半顶角。第69页，此课件共133页哦例4试建立顶点在坐标原点O旋转轴为Z轴，半顶角为 的圆锥面的方程。第70页，此课件共133页哦例5将xoz坐标面上的双曲线 分别绕 轴和Z轴 旋转一周，求所生成的旋转曲面的 方程。第71页，此课件共133页哦三、柱面例6方程 表示怎样的曲面？第72页，此课件共133页哦（二）柱面、准线、母线的定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线 叫做柱面的母线。（三）柱面方程的特点 1.对于一个柱面来说，当柱面的母线平行于坐标轴时，柱面的方程不含对应的坐标，反之，一个不包含某个坐标的方程表示母线平行于对应坐标轴的柱面。第73页，此课件共133页哦2.只含 而缺 的方程 在空间直角坐标系中表示母线平行于 轴的柱面，其准线是 面上的曲线第74页，此课件共133页哦例7画出方程 所表示的曲面 第75页，此课件共133页哦例8说明下列旋转曲面是怎样形 成的？第76页，此课件共133页哦四、二次曲面（1）椭圆锥面 第77页，此课件共133页哦平面 与曲面 的交线称为截痕，通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法第78页，此课件共133页哦（2）椭球面第79页，此课件共133页哦（3）单叶双曲面 第80页，此课件共133页哦（4）双叶双曲面第81页，此课件共133页哦（5）椭圆抛物面 第82页，此课件共133页哦（6）双曲抛物面第83页，此课件共133页哦（7）还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面 依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。第84页，此课件共133页哦7-4 空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程（一）定义：同时属于两个曲面的点的轨迹叫做空间曲线，空间曲线是两个曲面的交线。第85页，此课件共133页哦（二）空间曲线的一般方程 是两个已知曲面的方程，坐标满足方程组：的点的轨迹是一条空间曲线，我们把方程组（1）叫做空间曲线的一般方程。第86页，此课件共133页哦例1方程组 表示怎样的曲线。第87页，此课件共133页哦例2方程组表示怎样的曲线。第88页，此课件共133页哦二、空间曲线的参数方程（一）定义：如果把曲线C看作是动点的轨迹，动点的坐标又是参数t的函数 当给定 时，就得到C上的点 ，随着t的变动便可得到曲线C上的全部点，该方程组叫做空间曲线的参数方程。第89页，此课件共133页哦（二）通过曲面 的曲面束方程 设曲线 的方程为 ，则对任意实数 即为通过曲面 的曲面束方程，其中 不全为零第90页，此课件共133页哦（三）空间曲线 与曲面的交点 设曲线 的方程为 及曲面 ，则曲线与曲面的交点坐标为方程组 的解 第91页，此课件共133页哦例4如果空间一点M在圆柱面 上以角速度 绕Z轴旋转，同时又以线速度 沿平行于Z轴的正方向上升（其中 都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线，试建立其参数方程。第92页，此课件共133页哦三、空间曲线在坐标面上的投影（一）定义：设有空间曲线C的一般方程为 以曲线C为准线，母线平行于z轴 的柱面叫做曲线C关于 的投影柱面，投影柱面与 的交线叫空间曲线C在的投影曲线，简称投影。第93页，此课件共133页哦例6已知两球面的方程为 （1）和 （2）求它们的交线C在 面上 的投影方程。第94页，此课件共133页哦例7设一个立体由上半球面 和锥面 所围成，求它 在 面上的投影。第95页，此课件共133页哦例8求旋转抛物面在三坐标面上的投影。第96页，此课件共133页哦例5将曲线 化成参数方程。第97页，此课件共133页哦例9求上半球与圆柱体的公共部分在 面和 面上的投影。第98页，此课件共133页哦7-5 平面及其方程一、平面的点法式方程（一）平面的法线向量 如果一非零向量垂直于一平面，这个向量叫做该平面的法线向量。第99页，此课件共133页哦（二）平面的点法式方程 已知平面的法向量 及平面上一点 把由平面上一点及平面的法向量所确定的平面方程；叫做平面的点法式方程。第100页，此课件共133页哦例1已知一个平面通过点 并且垂直于 与点 的连线，求平面方程。第101页，此课件共133页哦例2求过三点的平面的方程。第102页，此课件共133页哦二、平面的一般方程平面和三元一次方程的关系 每个平面的方程都是三元一次方程，而每个三元一次方程又都确定一个平面.第103页，此课件共133页哦（二）平面的一般方程及法向量 把方程 叫做平面的一般式方程，它的法向 量第104页，此课件共133页哦例3一个平面过两点且垂直于平面 ，求此平面方程。第105页，此课件共133页哦几种特殊的平面方程1.当 时,方程为 ,它表示一个通过原点的平面。2.当 时,方程为 ,它表示法线向量 垂直于轴,方程表示一个平行于 轴的平面。3.当 时,方程 ,它表示一个法线向量 垂直于轴,方程表示一个平行于 面的平面。第106页，此课件共133页哦例4求通过 轴和点 的平面的方程。第107页，此课件共133页哦例5一平面通过原点，而且与平面都垂直，求此平面方程。第108页，此课件共133页哦平面的截距式方程平面的截距式方程 例6.设一平面与 轴的交点依次为 三点求此平面的方程 。第109页，此课件共133页哦三、两平面的夹角（一）定义：两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角。第110页，此课件共133页哦(二)两平面的夹角公式的求法 设两平面的法向量分别为则两平面的夹角 可由 来确定。第111页，此课件共133页哦例7求两平面的夹角。第112页，此课件共133页哦两平面互相垂直、平行与重合的充要条件两平面互相垂直、平行与重合的充要条件 设两个平面的法向量为 1.两平面互相垂直2.两个平面平行3.两个平面重合第113页，此课件共133页哦例8证明：（1）与平面 平行。（2）平面 垂直。第114页，此课件共133页哦点到平面的距离例9设 是平面 外一点，求 到这平面的 距离。第115页，此课件共133页哦例10试求平行平面 间的距离。第116页，此课件共133页哦一、空间直线的一般方程（一）空间直线的一般方程把方程组叫做空间直线的一般方程。7-6 空间直线及其方程第117页，此课件共133页哦二、空间直线的对称式方程与参数方程（一）相关定义：1、直线的方向向量：如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量。2、直线的一组方向数：直线的任一方向向量 的坐标 叫做这直线的一组方向数。第118页，此课件共133页哦（二）直线的对称式方程或点向式方程 设直线L的方向向量为 ，直线L过点 把 叫做直线的对称式方程或点向式方程。第119页，此课件共133页哦（三）直线的参数方程 直线的对称式方程为 该方程组叫做直线的参数方程。第120页，此课件共133页哦例1用对称式方程及参数方程 表示直线 。第121页，此课件共133页哦例2 试求通过点且平行平面又与直线 相交的直线方程。第122页，此课件共133页哦例3已知质点M以 为起点，以21米秒的速度，在向量 的方向上作直线运动，试求质点M的运动方程。第123页，此课件共133页哦三、两直线夹角（一）两直线的夹角：两直线的方向向量的夹角（通常指锐角），叫做两直线的夹角。特别的当两直线互相垂直或平行时，夹角分别是第124页，此课件共133页哦（二）两直线的夹角公式 设直线 的方向向量依次为则两直线的夹角 可由来确定第125页，此课件共133页哦(三)两直线平行或垂直的充要条件 设直线 的方向向量依次为1.两直线互相垂直2.两直线互相平行或重合第126页，此课件共133页哦例4求直线 和 的夹角第127页，此课件共133页哦例5试证下列两条直线 和 重合。第128页，此课件共133页哦四、直线与平面的夹角（一）定义：当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角。当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为 。第129页，此课件共133页哦直线与平面的夹角公式的求法 设直线的方向向量为平面的法线向量为则直线与平面的夹角 可由 来确定第130页，此课件共133页哦 直线与平面平行、重合或垂直的充要条件 设直线的方向向量为平面的法线向量为1.直线与平面平行或直线在平面上2.直线与平面垂直第131页，此课件共133页哦例6求过点 且与平面 垂直的直线方程。第132页，此课件共133页哦例7求与两平面的交线平行且过点的直线的方程第133页，此课件共133页哦