高等数学幂级数课件.ppt

高等数学幂级数高等数学幂级数第1页，此课件共26页哦一、一、函数项级数的概念函数项级数的概念设设为定义在区间为定义在区间 I I上的上的函数项级数函数项级数.对对若常数项级数若常数项级数收敛点收敛点,所有收敛点的全体称为其所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域;若常数项级数若常数项级数为定义在区间为定义在区间 I 上的函数上的函数,称称收敛收敛,发散发散,所有所有为其为其 为其为其发散点发散点,发散点的全体称为其发散点的全体称为其发散域发散域.第2页，此课件共26页哦为级数的为级数的和函数和函数,并写成并写成若用若用令余项令余项则在收敛域上有则在收敛域上有表示函数项级数前表示函数项级数前n项的和项的和,即即在收敛域上在收敛域上,函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数 称它称它第3页，此课件共26页哦例如,函数项级数函数项级数它的收敛域是它的发散域是或写作有和函数 第4页，此课件共26页哦二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义:形如形如的函数项级数称为的函数项级数称为幂级数幂级数,其中其中下面着重讨论下面着重讨论例如例如,幂级数幂级数幂级数的幂级数的系数系数.即是此种情形即是此种情形.的情形的情形,即即称为称为第5页，此课件共26页哦几何说明几何说明收敛收敛发散发散发散发散2.2.收敛性收敛性:第6页，此课件共26页哦阿贝尔(1802 1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5 次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一 并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供 后人发现这是一类交换群,第7页，此课件共26页哦正数正数R称为称为收敛半径收敛半径(-R,R)(-R,R)称为称为收敛区间收敛区间规定规定收敛收敛发散发散发散发散(R,R)加上收敛的端点称为加上收敛的端点称为收敛域收敛域.第8页，此课件共26页哦1)1)当当 0 时时,2)2)当当 0 时时,3)3)当当 时时,证证:1)若 0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,即时,系数模比值法（系数模根值法）第9页，此课件共26页哦2)2)若若则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知,绝对收敛绝对收敛 ,3)若若则对除则对除x=0以外的一切以外的一切x 原级发散原级发散 ,对任意对任意 x 原级数原级数因此因此因此因此 的收敛半径为说明说明:据此定理因此级数的收敛半径因此级数的收敛半径第10页，此课件共26页哦例例1 1 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域解解收敛收敛发散发散(2)第11页，此课件共26页哦解解第12页，此课件共26页哦发散发散收敛收敛故收敛域为故收敛域为(0,1解解第13页，此课件共26页哦级数收敛级数收敛级数发散级数发散发散发散发散发散故原级数的收敛域为故原级数的收敛域为解解:缺项缺项不能应用定理不能应用定理2可直接利用可直接利用修改后的修改后的比值判别法比值判别法第14页，此课件共26页哦练习练习 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域第15页，此课件共26页哦三、幂级数的运算三、幂级数的运算第16页，此课件共26页哦第17页，此课件共26页哦解解:第18页，此课件共26页哦例2.求级数求级数的和函数解解:第19页，此课件共26页哦第20页，此课件共26页哦解法解法2:第21页，此课件共26页哦解法解法1:第22页，此课件共26页哦例4.的和函数解解:第23页，此课件共26页哦解解:级数的收敛半径 R+.例例5.则的和函数的和函数 .因此得设第24页，此课件共26页哦解解:第25页，此课件共26页哦内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用修改后的比值法或根值法,2.幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.第26页，此课件共26页哦