特征理论偏微分方程组.ppt

特征理论偏微分方程组特征理论偏微分方程组现在学习的是第1页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组n n例子例子 考虑弦振动方程考虑弦振动方程则则 不是古典解，但它是弱间断解。不是古典解，但它是弱间断解。现在学习的是第2页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.1.2 7.1.2 特征方程与特征曲面特征方程与特征曲面 设光滑曲面设光滑曲面 是方程（是方程（7.1.1)7.1.1)的弱间断面。的弱间断面。可以推出它应满足的条件为下式在可以推出它应满足的条件为下式在 上处处成立。上处处成立。现在学习的是第3页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组n n方程特征曲面的例子方程特征曲面的例子现在学习的是第4页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.2 7.2 方程组的特征理论方程组的特征理论现在学习的是第5页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.2.1 7.2.1 弱间断解与特征线弱间断解与特征线现在学习的是第6页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组现在学习的是第7页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组现在学习的是第8页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.2.2 7.2.2 狭义双曲型方程组的标准型狭义双曲型方程组的标准型现在学习的是第9页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组n n将狭义双曲型方程化为标准型的方法将狭义双曲型方程化为标准型的方法：n n1.1.求向量方程求向量方程 的解。的解。2.2.令，令，用用T T 左乘（左乘（7.2.27.2.2）式得：）式得：现在学习的是第10页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组n n3.3.现在学习的是第11页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.3 7.3 双曲型方程组的双曲型方程组的Cauchy Cauchy 问题问题 首先指出，并非对一切类型的方程组都可以Cauchy问题，有例子表明，当特征方程（7.2.6)有复根时，方程组（7.2.1)的Cauchy问题的解是不稳定的。所以我们仅限于讨论双曲型方程组的Cauchy问题。为便于理解和叙述，这里仅讨论两个自变量的对角型方程组的Cauchy问题。现在学习的是第12页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.3.1 7.3.1 解的存在性和唯一性解的存在性和唯一性现在学习的是第13页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组现在学习的是第14页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.3.2 7.3.2 解的稳定性解的稳定性现在学习的是第15页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.4 7.4 定理定理现在学习的是第16页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组现在学习的是第17页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.4.2 Cauchy 7.4.2 Cauchy 问题的化简问题的化简 首先，把高阶非线性首先，把高阶非线性 C-K C-K 型组型组 Cauchy Cauchy 问题化为一个与其等价的一阶非线性问题化为一个与其等价的一阶非线性 C-K C-K 型组型组的的 Cauchy Cauchy 问题。问题。其次，我们可以把一个一阶非线性其次，我们可以把一个一阶非线性 C-K C-K 型组型组 Cauchy Cauchy 问题化为一个与其等价的一阶问题化为一个与其等价的一阶拟线性拟线性 C-K C-K 型组的型组的 Cauchy Cauchy 问题。方法是将所有对空间变量的微商取作新的未知函数，问题。方法是将所有对空间变量的微商取作新的未知函数，然后这些新的未知函数对时间变量求微商，并利用已知方程式即得。然后这些新的未知函数对时间变量求微商，并利用已知方程式即得。CauchyCauchy问题问题(7.4.2)(7.4.2)化为如下的一阶拟线性化为如下的一阶拟线性 C-K C-K 型方程组的型方程组的CauchyCauchy问题问题:现在学习的是第18页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组 于是，于是，C-K C-K 定理定理 7.4.17.4.1可等价地叙述为可等价地叙述为 C-KC-K型定理的证明用的是强函数的方法，即用一个明显可解出的问题与所考虑的问型定理的证明用的是强函数的方法，即用一个明显可解出的问题与所考虑的问题相比较，故须要介绍强函数的概念。题相比较，故须要介绍强函数的概念。现在学习的是第19页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.4.3 7.4.3 强函数强函数现在学习的是第20页，共21页第第7章章 特征理论特征理论 偏微分方程组偏微分方程组n n7.4.4 C-K 7.4.4 C-K 定理的证明定理的证明（1 1）唯一性（幂级数解法）。唯一性（幂级数解法）。（2 2）存在性（强函数方法）。存在性（强函数方法）。附注附注 1 1 该定理断言解析解的局部存在唯一性，并没有保证整体解的存在性。该定理断言解析解的局部存在唯一性，并没有保证整体解的存在性。附注附注 2 2 由证明知，若方程右端及由证明知，若方程右端及CauchyCauchy数据是各自变量的解析函数，则在初始平面数据是各自变量的解析函数，则在初始平面 上任意点的领域内都存在一个解析解。再由解的唯一性知，把这些解粘合在一起，就上任意点的领域内都存在一个解析解。再由解的唯一性知，把这些解粘合在一起，就得到得到 的一个领域中的解析解。的一个领域中的解析解。附注附注 3 C-K 3 C-K 定理不能保证解对初始数据的连续依赖性。另外，其证明本质上依赖与解析性假设。定理不能保证解对初始数据的连续依赖性。另外，其证明本质上依赖与解析性假设。现在学习的是第21页，共21页