解析函数的级数表示精选PPT.ppt

数学物理方法第1页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第2页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第一节第一节 复变函数项级数复变函数项级数一、复数项级数一、复数项级数第3页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第4页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第5页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法解解例例1第6页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法二、复变函数项级数二、复变函数项级数第7页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第8页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第9页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法三、一致收敛级数的判别方法三、一致收敛级数的判别方法判别法判别法1 1第10页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第11页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第12页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法四、一致收敛级数的性质四、一致收敛级数的性质第13页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第14页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第15页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第16页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第17页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第二节第二节 幂级数幂级数一、幂级数的敛散性一、幂级数的敛散性 由于发散的幂级数没有多大用处，故首先必须研究幂级数的由于发散的幂级数没有多大用处，故首先必须研究幂级数的敛散性。敛散性。1.1.阿贝尔定理阿贝尔定理第18页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第19页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第20页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第21页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第22页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法二、求收敛圆半径二、求收敛圆半径R的公式的公式 （1 1）比值判别法）比值判别法第23页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第24页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第25页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第26页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法例例2解解 综上综上第27页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法例例3 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解解 (1)该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散p=1p=2该级数在收敛圆上是该级数在收敛圆上是处处处处收敛的。收敛的。第28页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法 综上综上该级数发散。该级数发散。该级数收敛，该级数收敛，第29页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法故该级数在复平面上是处处收敛的故该级数在复平面上是处处收敛的.第30页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法三、幂级数在收敛圆内的性质三、幂级数在收敛圆内的性质第31页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第32页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法例例4解解代换代换展开展开还原还原第33页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法解解代换代换展开展开还原还原第34页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第35页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法现在研究与此相反的问题：现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说或者说,一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数?解析函解析函数在解析点能否用幂级数表示？）数在解析点能否用幂级数表示？）由由幂级数的性质知幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：以下定理给出了肯定回答：任何任何解析函数解析函数都一定都一定能用幂级数表示。能用幂级数表示。第36页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第三节第三节 解析函数的泰勒展开解析函数的泰勒展开 上节证明了：幂级数的和函数在其收敛圆内解析。上节证明了：幂级数的和函数在其收敛圆内解析。本节证明其逆定理：解析函数可以展开成幂级数，本节证明其逆定理：解析函数可以展开成幂级数，且这种展开式是唯一的。且这种展开式是唯一的。解析函数与幂级数的密切关系解析函数与幂级数的密切关系一、泰勒定理一、泰勒定理第37页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第38页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第39页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第40页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第41页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法二、将解析函数展开成泰勒级数的方法二、将解析函数展开成泰勒级数的方法常用四种方法：常用四种方法：第42页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第43页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第44页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法例例2 解解收敛半径第45页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第46页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第47页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第48页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第49页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法3.3.利用两个绝对收敛幂级数的乘积或商利用两个绝对收敛幂级数的乘积或商 第50页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第51页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第52页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法4.4.在收敛圆内逐项求导或逐项积分在收敛圆内逐项求导或逐项积分 第53页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第54页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第55页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第56页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第57页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第四节第四节 解析函数的洛朗展开解析函数的洛朗展开 由由前面的讨论前面的讨论 知知,f(z)在在 b 解析解析，则，则 f(z)总可以总可以在在b 的某一个圆域的某一个圆域 z-b R 内内展开成展开成 z-b 的幂级数。的幂级数。若若 f(z)在在 b点不解析点不解析，在在 b的邻域中就不可能展开成的邻域中就不可能展开成 z-b 的幂级数，但如果在圆环域的幂级数，但如果在圆环域 R1 z-bR2 内解析，内解析，那么，那么，f(z)能否用能否用级数表示呢？级数表示呢？例如，例如，第58页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法由此推想，若由此推想，若f(z)在在R 1z-bR2 内解析内解析,f(z)可以展可以展开成以开成以b为展开中心的为展开中心的级数，只是这个级数含有负幂次项级数，只是这个级数含有负幂次项,即即第59页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法 本节将讨论在以本节将讨论在以b为中心的圆环域内解析为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数和计算留数的基础。和计算留数的基础。第60页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法预备知识预备知识复连通域的复连通域的Cauchy 积分公式积分公式DbR1R2rRk1k2D1z第61页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法一一.双边幂级数双边幂级数-含有正负幂项的级数含有正负幂项的级数定义定义 形如形如-双边幂级数双边幂级数正幂项正幂项(包括常数项包括常数项)部分部分：负幂项部分负幂项部分：第62页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法级数级数(2)是一幂级数，设收敛半径为是一幂级数，设收敛半径为R2 ，则级数则级数在在 z-b=R2 内收敛，且和为内收敛，且和为s(z)+;在在 z-b=R 2外发散。外发散。第63页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法bR1R2bR2R1第64页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法A(2)(2)在圆环域的边界在圆环域的边界 z-b=R1,z-b=R2上上,第65页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法二二 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数定理定理第66页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法证明证明 由复连通域上的由复连通域上的Cauchy 积分公式：积分公式：DbR1R2rRk1k2D1z记为记为I1记为记为I2第67页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第68页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法DbR1R2rRk1k2D1z式式(*1),(*2)中系数中系数an的积分分别是在的积分分别是在k2，k1上进行的，在上进行的，在D内取绕内取绕b的简单闭曲线的简单闭曲线k，由，由复合闭路定理可将复合闭路定理可将an写成统一式子：写成统一式子：第69页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法式式(*1),(*2)中系数中系数an的积分分别是在的积分分别是在k2，k1上进上进行的，在行的，在D内取绕内取绕b的简单闭曲线的简单闭曲线k，由复合闭路，由复合闭路定理可将定理可将an写成统一式子：写成统一式子：证毕！证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。第70页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法A (2)(2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点在奇点 b的邻域内解析，需要把的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么展成级数，那么 就利用洛朗（就利用洛朗（Laurent）级数来展开。）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。第71页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法三三 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 一个在某一一个在某一圆环域内解析圆环域内解析的函数展开为含的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的洛朗级数。的洛朗级数。事实上事实上，DbR1R2c第72页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法DbR1R2c第73页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法A 由唯一性，将函数展开成由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可级数，可用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式在个别情况下，才直接采用公式求求Laurent系系数的方法。数的方法。二、将环域内的解析函数展开成罗朗级数的方法与步骤：二、将环域内的解析函数展开成罗朗级数的方法与步骤：第74页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第75页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第76页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第77页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第78页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第79页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第80页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第81页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第82页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第83页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第84页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第85页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第86页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第87页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第88页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法-z=0及及z=1/n (n=1,2,)都是它的都是它的奇点奇点例如例如第89页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法xyo这说明奇点未这说明奇点未必是孤立的。必是孤立的。第90页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法二、孤立奇点的分类和性质二、孤立奇点的分类和性质孤立奇点包括：可去奇点、极点、本性奇点。孤立奇点包括：可去奇点、极点、本性奇点。第91页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第92页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第93页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第94页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第95页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第96页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法三、解析函数零点与极点的关系三、解析函数零点与极点的关系第97页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第98页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第99页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第100页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第101页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第102页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第103页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第104页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第105页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第106页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第107页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法例例3解解显然，显然，z=i 是是(1+z2)的一级零点的一级零点第108页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法综合综合第109页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法四、函数在孤立奇点四、函数在孤立奇点无穷远点的性质无穷远点的性质第110页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第111页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法第112页，讲稿共113张，创作于星期三数学物理方法感谢大家观看第113页，讲稿共113张，创作于星期三