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时间序列及其模型现在学习的是第1页，共32页 时间序列的统计特性 一维分布函数和概率密度函数 其中 表示一随机变量，表 中的一个可能取值，表示概率 一维概率密度函数现在学习的是第2页，共32页二维联合概率分布函数和概率密度函数 设时间 和 的状态为和，则 称为随机变量 和 的联合概率分布函数。其联合概率密度函数为现在学习的是第3页，共32页 N维概率分布函数和概率密度函数 如果 ,则称N个随机变量 之间是统计独立的。现在学习的是第4页，共32页 对时间序列 ，若 且 ，其中 ，则称 为广义平稳时间序列。现在学习的是第5页，共32页时间序列的数字特征 一、数字期望（均值）实随机序列 的数学期望：二、均方值与方差 均方值 表示随机序列 的总平均功率。方差：现在学习的是第6页，共32页 均值 ,方差 与 均方值的关系 对于平稳随机序列有 若随机序列 满足平稳性，则 ，与n无关。即，对所有整数n和m，有：现在学习的是第7页，共32页三、时间序列的相关性1.实随机序列 在时刻i和时刻j之间的自相关函数 若 平稳：现在学习的是第8页，共32页2.自协方差函数：若 平稳：3.实随机序列 和 的互相关函数 若 和 是平稳的：现在学习的是第9页，共32页4.互协方差函数：若 和 是平稳的：若对所有的m有：，则称 与 互为正交现在学习的是第10页，共32页 若有 ，即 ，则称 与 互不相交。注：统计独立必不相关，但反之不一定成 立。性质：现在学习的是第11页，共32页现在学习的是第12页，共32页四、时间序列的各态历经性 时间均值 时间自相关函数：如果平稳随机序列的集平均与集自相关函数依概率1趋于平稳样本序列的时间平均与时间自相关函数，则称平稳随机序列具有各态历经性。现在学习的是第13页，共32页各态历经序列的功率谱 若 绝对可积：定义 ：,T为采样间隔。此式为 的离散傅里叶变换 。可设：现在学习的是第14页，共32页 若令T=1，令m=0,有：可见 为随机序列 的功率密度函数。现在学习的是第15页，共32页 时间序列模型 思路：用各种随机差分方程表示时间序列信号的模型，一般一个平稳离散随机信号可视为白噪音序列，通过某一离散时间线性系统所产生的，即 h(n)系统w（n）x（n）白噪声序列平稳随机序列现在学习的是第16页，共32页一、自回归模型（AR模型）设 为具有零均值，方差为 的平稳白噪声序列。若随机序列 可表示为：（4-73）则称上式为p阶自回归模型（auto-regressive），简称AR模型，用AR（p）表示。AR（p）模型表示：是它的p个过去值和白噪声 的线性组合。现在学习的是第17页，共32页 “自回归”的意思：（该模型的）现在的输出 以随机误差 线性回归于它的p个过去值。AR（p）模型传递函数 由（4-73）式设其中 两边取Z变换：现在学习的是第18页，共32页(4-110)可见AR模型是全极点模型，有p个极点。现在学习的是第19页，共32页AR模型的功率谱密度函数：AR模型的参数与相关函数的关系（Yule-walker方程）现在学习的是第20页，共32页现在学习的是第21页，共32页（滤波器是物理可实现的，时，）由Z变换的定义：现在学习的是第22页，共32页写成矩阵形式或 （4-115）（4-116）写为矩阵形式：（注意到 ）现在学习的是第23页，共32页（4-117）式（4-115）和式（4-117）称为AR模型的正则方程。也称为尤里-沃克（yule-walker）方程。系数矩阵称为Toeplitz矩阵。如果选定了AR模型，则可根据观测数据计算自相关函数，由方程（4-117）就可求解模型参数 。现在学习的是第24页，共32页二、滑动平均模型（MA模型）设 为零均值，方差为 的白噪声序列，若随机序列可表示为：（4-118）其中 为实常数，且，则称上式为q阶滑动平均（mowing-average）模型，简记为MA（q）模型。现在学习的是第25页，共32页MA（q）模型的传递函数：对式（4-118）取Z变换：（4-122）可见MA(q)模型为全零点模型，有q个零点。现在学习的是第26页，共32页MA(q)模型的功率谱密度函数：令 ，现在学习的是第27页，共32页MA(q)的自相关函数：（4-125）现在学习的是第28页，共32页 且 当mq时，q为相关长度。的方差为：现在学习的是第29页，共32页 三、自回归滑动平均模型（ARMA模型）设 为零均值，方差为 的白噪声序列，若随机序列 可表示为：（4-130）则称上式为自回归滑动平均模型，简称为ARMA模型。说明：ARMA模型是由一个p阶自回归模型和一个q阶的滑动平均模型组成。现在学习的是第30页，共32页ARMA模型的传递函数 对（4-130）式做Z变换可得：可见ARMA（p，q）有q个零点，p个极点。现在学习的是第31页，共32页ARMA模型的功率谱密度函数：ARMA模型的自相关函数：可以证明：以上讨论的三种模型是常见模型。现在学习的是第32页，共32页
