拉氏反变换补充.ppt

拉氏反变换补充课件1现在学习的是第1页，共39页鉴于工程上常常需要处理在鉴于工程上常常需要处理在t=0t=0处不连处不连续的函数甚至具有更复杂性质的函数，控续的函数甚至具有更复杂性质的函数，控制理论中常常把拉氏变换的定义修改成制理论中常常把拉氏变换的定义修改成对于在对于在t=0t=0处连续，即满足处连续，即满足f(0f(0+)=f(0)=f(0-)的函数来说，这的函数来说，这样定义与常规定义并无区别。而采用修改后的定义可以使微分样定义与常规定义并无区别。而采用修改后的定义可以使微分方程的求解过程大大地简化。方程的求解过程大大地简化。今后，我们将采用修改后的拉氏变换定义。今后，我们将采用修改后的拉氏变换定义。2现在学习的是第2页，共39页复习复习2 2 常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换 控制系统分析中常常需要采用一些典型的时域输入控制系统分析中常常需要采用一些典型的时域输入信号，我们来求它们的拉氏变换。信号，我们来求它们的拉氏变换。1 1、单位脉冲信号单位脉冲信号且且 理想单位脉冲信号的数学表达式为理想单位脉冲信号的数学表达式为拉氏变换为拉氏变换为3现在学习的是第3页，共39页 说明：说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图所示。设单个方波脉冲如图所示。脉冲的宽度为脉冲的宽度为a a，高度为，高度为1/a1/a，面积为，面积为1 1。当保持面积。当保持面积不变，宽度不变，宽度a-0,a-0,高度高度1/1/a-a-，则单个方波脉冲演变成理，则单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲。想的单位脉冲。f(t)f(t)1/a1/aa a0 0t t(t)(t)t t0 04现在学习的是第4页，共39页 2 2、单位阶跃信号单位阶跃信号f(t)f(t)1 10 0t t显然显然,有有拉氏变换为拉氏变换为简写为简写为单位阶跃信号的数学表达式为单位阶跃信号的数学表达式为5现在学习的是第5页，共39页 3 3、单位斜坡信号单位斜坡信号简写为简写为0 0f(t)f(t)t t单位阶跃信号的数学表达式为单位阶跃信号的数学表达式为利用分部积分公式利用分部积分公式,可求得拉氏可求得拉氏变换为变换为6现在学习的是第6页，共39页 4 4、指数信号指数信号t tf(t)f(t)1 10 0 指数信号的数学表达式为指数信号的数学表达式为拉氏变换为拉氏变换为7现在学习的是第7页，共39页 5 5、正弦、余弦信号正弦、余弦信号 正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。由复指数函数的拉数信号的拉氏变换求得。由复指数函数的拉氏变换，有氏变换，有因为因为由欧拉公式由欧拉公式8现在学习的是第8页，共39页分别取上式的实部和虚部，可得正弦信号的拉氏变换为分别取上式的实部和虚部，可得正弦信号的拉氏变换为有有余弦信号的拉氏变换为余弦信号的拉氏变换为9现在学习的是第9页，共39页常见的时域信号的拉氏变换见附录常见的时域信号的拉氏变换见附录I(P639)I(P639)。10现在学习的是第10页，共39页复习复习3 3 拉氏变换的一些基本定理拉氏变换的一些基本定理 1 1、线性定理线性定理则则 若若11现在学习的是第11页，共39页 2 2、延迟定理延迟定理则则信号信号f(t)f(t)与它在时间轴上的平移信号与它在时间轴上的平移信号f(t-T)f(t-T)的关系示意图的关系示意图t tt tf(t)f(t)f(t-f(t-)0 00 0 若若 该定理说明，在时间域的平移变换在复数域有对应的衰该定理说明，在时间域的平移变换在复数域有对应的衰减变换。减变换。12现在学习的是第12页，共39页 求如图所示周期锯齿波信号的拉氏变求如图所示周期锯齿波信号的拉氏变换。换。解：解：f(t)f(t)t t0 0T T该信号为周期信号。若已知信该信号为周期信号。若已知信号第一周期的拉氏变换为号第一周期的拉氏变换为F F1 1(s)(s)，则应用延迟定理，有，则应用延迟定理，有13现在学习的是第13页，共39页锯齿波信号第一周期的拉氏变换为锯齿波信号第一周期的拉氏变换为所以，周期锯齿波信号的拉氏变换为所以，周期锯齿波信号的拉氏变换为14现在学习的是第14页，共39页 3 3、衰减定理衰减定理则则若若 该定理说明，时间信号该定理说明，时间信号f(t)f(t)在时间域的指数衰减，其拉氏在时间域的指数衰减，其拉氏变换在复数域有对应的坐标平移。变换在复数域有对应的坐标平移。15现在学习的是第15页，共39页解：因为解：因为所以所以 试求时间函数的拉氏变换。试求时间函数的拉氏变换。16现在学习的是第16页，共39页 4 4、微分定理微分定理且且f(t)f(t)的各阶导数存在，则的各阶导数存在，则f(t)f(t)各阶导数的拉氏变换为各阶导数的拉氏变换为 若若 17现在学习的是第17页，共39页则则当所有的初值均为零时，即当所有的初值均为零时，即18现在学习的是第18页，共39页 5 5、积分定理积分定理 积分定理与微分定理互为逆定理。积分定理与微分定理互为逆定理。则则 若若19现在学习的是第19页，共39页 6 6、初值定理初值定理即时域函数的初值，可以由变换域求得。即时域函数的初值，可以由变换域求得。且且f(0f(0+)存在，则存在，则 若若20现在学习的是第20页，共39页 7 7、终值定理终值定理且且f()f()存在，则存在，则若若即时域函数的终值，也可以由变换域求得。即时域函数的终值，也可以由变换域求得。21现在学习的是第21页，共39页 8 8、卷积定理卷积定理时域函数的卷积分为时域函数的卷积分为 则则若若22现在学习的是第22页，共39页 为何要将时域函数为何要将时域函数f(t)f(t)转换成复变函转换成复变函数数F(s)F(s)？时域中超越函数在变换域中是有理函时域中超越函数在变换域中是有理函 数。数。可以简化计算，如卷积分转变成相乘运可以简化计算，如卷积分转变成相乘运算。算。两个优点：两个优点：23现在学习的是第23页，共39页复习复习4 4 拉氏反变换拉氏反变换将复变函数将复变函数F(s)F(s)变换为原时域函数变换为原时域函数f(t)f(t)的的运算是拉氏变换的逆运算，称为拉氏反变换，运算是拉氏变换的逆运算，称为拉氏反变换，公式为公式为 这是复变函数的积分，计算复杂，极少采用。这是复变函数的积分，计算复杂，极少采用。常用方法常用方法-部分分式法。部分分式法。理由：理由：工程中常见的时域信号工程中常见的时域信号f(t)f(t)的拉氏变换的拉氏变换F(s)F(s)都是都是s s的有理函数。因此，可以将的有理函数。因此，可以将F(s)F(s)分解成一系有理分解成一系有理分式分式F Fi i(s)(s)之和，再利用拉氏变换表求出所有的之和，再利用拉氏变换表求出所有的f fi i(t)=L(t)=L-1-1FFi i(s)(s)，即可合成时域函数即可合成时域函数f(t)(f(t)(根据拉根据拉氏变换的线性变换定理氏变换的线性变换定理)。24现在学习的是第24页，共39页 过程过程：其中，其中，B(s)-B(s)-分子多项式；分子多项式；A(s)-A(s)-分母多项式；分母多项式；a a0 0,a,a1 1,a an-1n-1;b;b0 0,b,b1 1,b bm m-常系数，常系数，nmnm。设拉氏变换设拉氏变换F(s)F(s)为为s s的有理分式，即的有理分式，即 求出分母多项式对应求出分母多项式对应A(s)=0A(s)=0的根的根s si i(i=1,2,(i=1,2,n n）（称之为极点）。于是，有）（称之为极点）。于是，有25现在学习的是第25页，共39页从而可得拉氏反变换为从而可得拉氏反变换为26现在学习的是第26页，共39页 计算情况：计算情况：（1 1）A(s)A(s)0 0全部为单根全部为单根为复变函数为复变函数F(s)F(s)对于极点对于极点s=ss=si i的留数。拉氏反变换为的留数。拉氏反变换为其中其中 F(s)F(s)可分解成可分解成27现在学习的是第27页，共39页 已知：已知：求拉氏反变换求拉氏反变换。解：解：F(s)F(s)可分解成可分解成其中其中于是于是28现在学习的是第28页，共39页 (2)A(s)=0 (2)A(s)=0有重根有重根其中，与单根其中，与单根s s1 1相对应的系数相对应的系数C C1 1求法同前求法同前;与重根与重根s s2 2相对应的各项系数计算公式如下相对应的各项系数计算公式如下 以只有一个单根为例，即以只有一个单根为例，即s s1 1为单根，为单根，s s2 2为为(n-1)(n-1)重根，则重根，则F(s)F(s)可分解为可分解为29现在学习的是第29页，共39页因为因为所以，拉氏反变换为所以，拉氏反变换为30现在学习的是第30页，共39页 已知：已知：求拉氏反变换。求拉氏反变换。解：解：F(s)F(s)可分解为可分解为解得解得31现在学习的是第31页，共39页于是，有于是，有从而从而32现在学习的是第32页，共39页 (3)A(s)=0 (3)A(s)=0有共轭复数根有共轭复数根当存在共轭复数根时，可以将共轭复数根当作单根当存在共轭复数根时，可以将共轭复数根当作单根(互不相同互不相同)来看待。但分解计算时，涉及到复数运算，来看待。但分解计算时，涉及到复数运算，太繁琐，可以利用如下变换对太繁琐，可以利用如下变换对来简化计算。来简化计算。33现在学习的是第33页，共39页 已知：求拉氏反变换。已知：求拉氏反变换。解：解：F(s)F(s)可分解为可分解为而而于是，有于是，有34现在学习的是第34页，共39页复习复习5 5 拉氏变换法求解微分方程拉氏变换法求解微分方程 列出控制系统的微分方程之后，就可以求解该列出控制系统的微分方程之后，就可以求解该微分方程，利用微分方程的解来分析系统的运动规微分方程，利用微分方程的解来分析系统的运动规律。微分方程可以采用数学分析的方法来求解，也律。微分方程可以采用数学分析的方法来求解，也可以采用拉氏变换法来求解。采用拉氏变换法求解可以采用拉氏变换法来求解。采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算的，许多情况下应用更微分方程是带初值进行运算的，许多情况下应用更为方便。为方便。拉氏变换法求解微分方程步骤如下：拉氏变换法求解微分方程步骤如下：（1 1）方程两边作拉氏变换。）方程两边作拉氏变换。（2 2）将给定的初始条件与输入信号代入方程。）将给定的初始条件与输入信号代入方程。（3 3）写出输出量的拉氏变换。）写出输出量的拉氏变换。（4 4）作拉氏反变换求出系统输出的时间解。）作拉氏反变换求出系统输出的时间解。35现在学习的是第35页，共39页 RC RC滤波电路如图所示，输入电压滤波电路如图所示，输入电压u ui i(t)=5V(t)=5V，试，试求：当电容初始电压求：当电容初始电压u uc c(0)(0)分别为分别为0V0V和和1V1V时的时时的时间解间解u uc c(t)(t)。解：解：RCRC电路的微分方程为电路的微分方程为R=10kR=10ku ui i=5V=5Vu uc cC=10C=10 方程两边作拉氏变换方程两边作拉氏变换由拉氏变换的线性定理，有由拉氏变换的线性定理，有36现在学习的是第36页，共39页由拉氏变换的微分定理，得由拉氏变换的微分定理，得将将R=10k,C=10R=10k,C=10,U,Ui i(s)=5/s(s)=5/s代入，整理得代入，整理得于是，输出的拉氏变换为于是，输出的拉氏变换为37现在学习的是第37页，共39页 （1 1）u uc c(0)=0V(0)=0V时时 （2 2）u uc c(0)=1V(0)=1V时时u uc c(t)(t)5V5V1V1V0 00.10.1t t两种初值时系统的两种初值时系统的时间响应时间响应38现在学习的是第38页，共39页解：方程两边作拉氏变换，得解：方程两边作拉氏变换，得 例例2-14(P32)2-14(P32)已知微分方程已知微分方程输入信号输入信号 ,初始条件为初始条件为 ,求求y(t)y(t)。代入初值，得代入初值，得作拉氏反变换，得作拉氏反变换，得39现在学习的是第39页，共39页