第1章-质点运动学1.ppt

数学基础一 求导运算 若函数x=x(t),对t可导1.则一阶导数 记为 二阶导数 记为 2函数的和差积商的求导法则函数的和差积商的求导法则你记住了吗？特别特别推广推广31.常数和基本初等函数的导数4大学物理常用导数大学物理常用积分5二二 矢量运算矢量运算矢量的概念起源于对运动和矢量的概念起源于对运动和力的研究。力和速度等物理力的研究。力和速度等物理量需要用其大小和方向来表示量需要用其大小和方向来表示依据事物自身的规律，按矢依据事物自身的规律，按矢量运算规则运算的量叫矢量量运算规则运算的量叫矢量大小为矢量的模，大小为矢量的模，记为记为 长度为零的矢量长度为零的矢量叫零矢量叫零矢量长度为长度为1的矢量叫的矢量叫单位矢量，记单位矢量，记 单位矢量用来表示单位矢量用来表示空间的方向空间的方向大小相等、方向相反的矢量大小相等、方向相反的矢量互为负矢量，如互为负矢量，如 与与一一.6物理中矢量总有它的作用点物理中矢量总有它的作用点,不同作用点的矢量相互不同作用点的矢量相互运算运算,甚至是没有意义的甚至是没有意义的.一些矢量是可以经过平行一些矢量是可以经过平行移动移到一点上再作运算移动移到一点上再作运算,这种矢量叫自由矢量这种矢量叫自由矢量.二二.矢量的加法与数乘规则矢量的加法与数乘规则1)2)7三三.直角坐标中的矢量，位矢和速度直角坐标中的矢量，位矢和速度为三为三坐标轴的单位矢量坐标轴的单位矢量矢量与三个轴的夹角为矢量与三个轴的夹角为矢量的方向余弦是该矢量同方向的单位矢量的坐标矢量的方向余弦是该矢量同方向的单位矢量的坐标8质点的位矢和位移质点的位矢和位移点的位矢点的位矢位移位移9矢量的微商、速度矢量的微商、速度位移位移如果极限如果极限 存在，此极限就是矢量函数存在，此极限就是矢量函数 在自变量为在自变量为 时的微商，记为时的微商，记为注意：矢量的微商仍是矢量注意：矢量的微商仍是矢量质点位置函数的时变率即质点的速度，速度为矢量。质点位置函数的时变率即质点的速度，速度为矢量。速度的方向：位置函数空间曲线的任意点切线方向。速度的方向：位置函数空间曲线的任意点切线方向。10四四.矢量的点乘矢量的点乘(标量积标量积)点乘运算规则点乘运算规则3)点乘的分配律点乘的分配律点乘的常用性质还有点乘的常用性质还有11有两矢量点积：结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。12五五.矢量的叉乘矢量的叉乘(矢量积矢量积)(一一)叉乘的运算规则叉乘的运算规则在物理中常有两个相互垂直的矢量相互作用在物理中常有两个相互垂直的矢量相互作用,呈现出某些特殊效应呈现出某些特殊效应,例如动量矩、力矩及运例如动量矩、力矩及运动电荷伴存的磁场等动电荷伴存的磁场等.叉乘是描述这类效应的叉乘是描述这类效应的矢量运算矢量运算.叉乘用叉乘用 表示表示,其积为矢量其积为矢量,所以叫所以叫矢量积矢量积.若若 是交角为是交角为 的两个矢量的两个矢量,则叉乘定义为则叉乘定义为是由是由叉乘符号规定的叉乘符号规定的,两矢量所在平面两矢量所在平面的右手系法线方向的单位矢量的右手系法线方向的单位矢量.13右手系右手系:将右手拇指伸直将右手拇指伸直,其余四指并拢指向其余四指并拢指向的方向的方向,并沿并沿 的计算方向弯向的计算方向弯向 ,拇指所指的方向就是拇指所指的方向就是 的方向的方向.设想有以设想有以 和和 为一对邻边的平行四边形为一对邻边的平行四边形,其面积其面积可表为可表为则则叉乘之值是以两矢量为邻边构成的平行四边形叉乘之值是以两矢量为邻边构成的平行四边形的面积的面积.14叉乘的运算规则叉乘的运算规则1)叉乘的反交换律叉乘的反交换律2)叉乘与数乘的结合律叉乘与数乘的结合律3)叉乘的分配律叉乘的分配律4)叉乘可得叉乘可得 同向和反向同向和反向(平行平行)的充分必要条件的充分必要条件直角坐标系中的叉乘运算直角坐标系中的叉乘运算矢量矢量a,b均不为均不为015在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：xyz两矢量的叉积又可表示为：16第一章 质点运动学 一个物体相对于另一个物体的空间位置一个物体相对于另一个物体的空间位置随时间发生变化；随时间发生变化；或一个物体的某一部分相或一个物体的某一部分相对于其另一部分的位置随时间而发生变化的对于其另一部分的位置随时间而发生变化的运动。运动。机械运动机械运动力学力学研究物体机械运动及其规律的学科。研究物体机械运动及其规律的学科。18运动学：运动学：动力学：动力学：以牛顿运动定律为基础，研究物体运动以牛顿运动定律为基础，研究物体运动状态发生变化时所遵循规律的学科。状态发生变化时所遵循规律的学科。研究物体在空间的位置随时间的变化规研究物体在空间的位置随时间的变化规律以及运动的轨道问题，而并不涉及物体发律以及运动的轨道问题，而并不涉及物体发生机械运动的变化原因。生机械运动的变化原因。191-1-1 质点质点：质点：具有一定质量的，大小具有一定质量的，大小和形状可以忽略的理想物体。和形状可以忽略的理想物体。太阳太阳行星行星可以把行星绕太阳的运动看做是质点的运动。可以把行星绕太阳的运动看做是质点的运动。1-1 1-1 质点质点 参考系参考系 坐标系坐标系201-1-2参考系和坐标系 描述物质运动具有相对性描述物质运动具有相对性用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。物质的运动具有绝对性物质的运动具有绝对性为描述物体的运动而选取的参考物体。为描述物体的运动而选取的参考物体。坐标系：坐标系：参考系：参考系：211-2 1-2 描述质点运动的物理量描述质点运动的物理量1-2-1 位置矢量与运动方程热带风暴上海上海22位置矢量位置矢量 （位矢）（位矢）从坐标原点从坐标原点O出发，指向质点出发，指向质点所在位置所在位置P的一有向线段的一有向线段位矢用坐标值表示为：位矢用坐标值表示为：位矢的大小为：位矢的大小为：位矢的方向：位矢的方向：rP PxyzO O轨轨道道23运动方程：运动方程：矢量形式：矢量形式：参数形式：参数形式：轨道方程：轨道方程：x xO Oz zy y241-2-2 位移与路程设质点做曲线运动设质点做曲线运动t时刻位于时刻位于A点，位矢点，位矢t+t时刻位于时刻位于B点，位矢点，位矢 位移矢量：位移矢量：在在 t 时间内，位矢的变化量（即时间内，位矢的变化量（即A到到B的的有向有向线段），简称线段），简称位移位移。zyxOBA25在直角坐标系中在直角坐标系中zyxO BA路程：路程：质点在轨道上所经过的曲线长度质点在轨道上所经过的曲线长度s261-2-3 1-2-3 速度速度速度是反映质点运动快慢和方向的物理量速度是反映质点运动快慢和方向的物理量速度：速度：单位时间内质点所发生的位移。单位时间内质点所发生的位移。平均速度tB时刻位于时刻位于B点点在在 t 时间内发生位移：时间内发生位移：BAOzyx设质点做一般曲线运动设质点做一般曲线运动tA时刻位于时刻位于A点点27平均速度：平均速度：平均速度的方向与平均速度的方向与 t 时间内位移的方向一致时间内位移的方向一致 瞬时速度瞬时速度AB质点在某一时刻所具有的速度质点在某一时刻所具有的速度Ozyx单位：单位：单位：单位：速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。28速度的矢量式：速度的矢量式：速度的三个坐标分量：速度的三个坐标分量：速度的大小：速度的大小：29 速率速率在在 t时间内，质点所经过路程时间内，质点所经过路程 s 对时间的变化率对时间的变化率平均速率：平均速率：平均速率：平均速率：瞬时速率：瞬时速率：瞬时速率：瞬时速率：一般情况：一般情况：当当 t0时：时：sBA单位：单位：301-2-4 加速度加速度是反映速度变化的物理量加速度是反映速度变化的物理量 t 时间内，速度增量为：时间内，速度增量为：平均加速度：平均加速度：结论：结论：结论：结论：平均加速度的方向与速度增量的方向一致。平均加速度的方向与速度增量的方向一致。t1时刻，质点速为时刻，质点速为t2时刻，质点速度为时刻，质点速度为xozy单位：单位：31当当 t0时，平均加速度的极限即为瞬时加速度。时，平均加速度的极限即为瞬时加速度。瞬时加速度：瞬时加速度：加速度的矢量式：加速度的矢量式：加速度的大小：加速度的大小：当当 t 趋向零时，速度增量趋向零时，速度增量 的极限方向。的极限方向。加速度的方向：加速度的方向：单位：单位：32运动方程是运动学问题的核心1.已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度以及加速度2.已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程及初始条件求质点的运动方程运动学的两类问题33例例1 1 已知质点的运动方程为已知质点的运动方程为 求：求：（1）轨道方程；（）轨道方程；（2）t=2s 时质点的位置、速度时质点的位置、速度 以及加速度；以及加速度；（3）什么时候位矢恰好与速度垂直？）什么时候位矢恰好与速度垂直？解：解：解：解：(1)消去时间参数消去时间参数（2）34方向沿方向沿 y 轴的负方向轴的负方向（3）两矢量垂直两矢量垂直35例例2 2 设某一质点以初速度设某一质点以初速度 做直线做直线运动，其加速度为运动，其加速度为 。问：质点在。问：质点在停止前运动的路程有多长？停止前运动的路程有多长？解：解：解：解：两边积分：两边积分：两边积分：两边积分：36两边积分：两边积分：37例例3 路灯距地面高度为路灯距地面高度为h，身高为身高为l 的人以速度的人以速度v0在在路上匀速行走。求：（路上匀速行走。求：（1）人影头部的移动速度；）人影头部的移动速度；（2）影长增长的速率。）影长增长的速率。Ox2xx1hl 解：解：解：解：（1）两边求导：两边求导：38（2）令令 为影长为影长以以 代入代入得得391-2-5 自然坐标系：自然坐标系：把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。规定：规定：sOP 切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为Q s40路程：路程：质点位置：质点位置：速度：速度：sOPQ s41质点的加速度：质点的加速度：速度大小的变化率，其方向指向曲线的切线方向速度大小的变化率，其方向指向曲线的切线方向 切向加速度：切向加速度：42讨论讨论当：有方向43沿法线方向沿法线方向法向加速度：法向加速度：44综上所述：综上所述：加速度的大小：加速度的大小：加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：例：抛体运动例：抛体运动 451-2-6 圆周运动及其角量描述 质点所在的矢径与质点所在的矢径与x 轴的夹角。轴的夹角。角位移：角位置：质点从质点从A到到B矢径转过的角度矢径转过的角度。规定：规定：规定：规定：逆时针转向逆时针转向 为正为正顺时针转向顺时针转向 为负为负角速度：角加速度：46角量表示匀加速圆周运动的基本公式：角量和线量的关系：角量和线量的关系：47可以把角速度看成是矢量可以把角速度看成是矢量！方向由右手螺旋法则确定方向由右手螺旋法则确定。右手的四指循着质点的转动方向弯曲，拇指右手的四指循着质点的转动方向弯曲，拇指的指向即为角速度矢量的方向。的指向即为角速度矢量的方向。线速度与角速度的关系：48为切向加速度为切向加速度方向沿着运动的切线方向。方向沿着运动的切线方向。方向指向圆心方向指向圆心为法向加速度为法向加速度49例例4 半径为半径为r=0.2 m的飞轮，可绕的飞轮，可绕 O 轴转动。已知轴转动。已知轮缘上一点轮缘上一点M的运动方程为的运动方程为=-t2+4t，求在求在1秒时秒时刻刻M点的速度和加速度。点的速度和加速度。解：解：解：解：ox50例例5 一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周运动，其路程的圆周运动，其路程s随时随时间间t 的变化规律为的变化规律为 ，式中，式中b，c为大于为大于零的常数，且零的常数，且 。求（。求（1）质点的切向加速）质点的切向加速度和法向加速度。（度和法向加速度。（2）经过多长时间，切向加速）经过多长时间，切向加速度等于法向加速度。度等于法向加速度。解：解：解：解：（1 1）（2 2）解得解得51一时间与空间一时间与空间在在两两个作相对运动的参考系中，个作相对运动的参考系中，时间时间的测量是绝对的，的测量是绝对的，空间空间的测量也是绝对的的测量也是绝对的,与参考系无关与参考系无关时间和长度的的绝对性时间和长度的的绝对性是经典力学或是经典力学或牛顿力学的基础牛顿力学的基础1-3 1-3 相对运动相对运动52物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系二二 相对运动相对运动53*质点在相对作匀速直质点在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的线运动的两个坐标系中的位移位移S系系 基本参考系基本参考系 系系 运动参考系运动参考系P 是是S系相对系相对S系系运动的速度运动的速度54速度变换速度变换*P位移关系位移关系或或55绝对速度绝对速度相对速度相对速度牵连速度牵连速度 伽利略速度变换伽利略速度变换若若加速度关系加速度关系 注意：注意：当物体运动速度当物体运动速度接近光速时，速度变换不成接近光速时，速度变换不成立立绝对速度绝对速度牵连速度牵连速度相对速度相对速度56例例6 一观察者一观察者A坐在平板车上，车以坐在平板车上，车以10 m/s的速率沿的速率沿水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈 60角向上角向上斜抛出一石块，此时站在地面上的观察者斜抛出一石块，此时站在地面上的观察者B看到石块看到石块沿铅垂线向上运动。求石块上升的高度。沿铅垂线向上运动。求石块上升的高度。解：解：解：解：按题意作矢量图按题意作矢量图yxyx57例例7 某人骑自行车以速率某人骑自行车以速率v0向东行驶。今有风以同向东行驶。今有风以同样的速率由北偏西样的速率由北偏西30方向吹来。问：人感到风是方向吹来。问：人感到风是从那个方向吹来？从那个方向吹来？解：解：解：解：北偏西北偏西303058