第九章 微分方程.ppt

第九章第九章 微分方程微分方程第一节 微分方程的概念引例：引例：解解微分方程微分方程解解微微分分方方程程前言前言变量与导数或微分变量与导数或微分之间的关系之间的关系变量间的函数关系变量间的函数关系微分方程微分方程解微分方程解微分方程微分方程也是一个数学模型。许多实际问题可以抽象为微分方程问题。例如：物体的冷却、人口的增长、电磁波的传播等。微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。本章主要介绍微分方程的一些基本概念，几种最简单的微分方程的求解方法。9.1 微分方程的一般概念微分方程的一般概念一、微分方程的定义一、微分方程的定义凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程.例例实质实质:联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.微分方程的阶微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数高阶导数的阶数.例例1、解：解：根据题意可得：物体冷却的物体冷却的数学模型数学模型微分方程微分方程微分方程微分方程分类分类1:1:常微分方程常微分方程,偏常微分方程偏常微分方程.分类分类2:2:一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶(n n)微分方程微分方程二、微分方程的分类二、微分方程的分类一元函数一元函数一般形式一般形式三、微分方程解的概念三、微分方程解的概念1 1、微分方程的解、微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.可以验证函数下列函数为微分方程 的解解为解为2、微分方程的解的分类：、微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且独且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.（3 3）初始条件）初始条件:用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.如：如：（4 4）初值问题）初值问题:求微分方程满足初始条件的解的求微分方程满足初始条件的解的问题问题.一阶一阶:过定点的积分曲线过定点的积分曲线;二阶二阶:归纳：归纳：微微分分方方程程的的解解通解通解特解特解初始条件初始条件微分方程微分方程初值问题3 3、微分方程解的几何意义、微分方程解的几何意义解的图象解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.通解的图象通解的图象:积分曲线族积分曲线族.一阶微分方程初值问题的几何意义：求微分方程通过定点的积分曲线。解解所求特解为所求特解为小结小结微分方程微分方程;微分方程的阶微分方程的阶;微分方程的解微分方程的解;通解通解;初始条件初始条件;特解特解;初值问题初值问题;积分曲线积分曲线;思考题思考题思考题解答思考题解答中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.练练 习习 题题练习题答案练习题答案第九章 微分方程第二节 一阶微分方程复习：复习：一阶方程的一般形式为一阶方程的一般形式为初值问题：初值问题：这个方程虽然简单，但常常很难求出解的表达式这个方程虽然简单，但常常很难求出解的表达式本节只讨论几种特殊类型的一阶微分方程的解法。本节只讨论几种特殊类型的一阶微分方程的解法。9.2 一阶微分方程一阶微分方程可分离变量的微分方程分离变量法齐次微分方程变量代换一阶线性微分方程常数变易法教学任务两边积分得两边积分得两边积分得两边积分得 或或两边积分得两边积分得 一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程1、方程的特点及形式已分离变量的微分方程已分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程注意方程右边注意方程右边解法解法分离变量法分离变量法为微分方程的解为微分方程的解.求解步骤：求解步骤：（1）分离变量）分离变量（2）两边积分）两边积分（3）化简整理得通解）化简整理得通解例例1、解：解：分离变量得：两边积分微分方程的通解为：微分方程的通解为：例例2、解：解：分离变量得：两边积分得 微分方程的通解为：微分方程的通解为：例例3、解：解：变形方程得：分离变量得：两边积分得微分方程的通解为：微分方程的通解为：小结：小结：分离变量法分离变量法分离变量分离变量两边积分两边积分通解通解注意：注意：特殊情形的求解例例4、求解初值问题：、求解初值问题：解：分离变量得：两边积分复习：复习：分离变量法分离变量法分离变量分离变量两边积分两边积分通解通解特殊情形：特殊情形：解解分离变量分离变量两边积分两边积分微分方程的通解为：微分方程的通解为：二、齐次方程二、齐次方程1.1.定义定义的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.引例：求解微分方程引例：求解微分方程解：变形方程得：微分方程的通解为：微分方程的通解为：2.解法解法 作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量的方程3.步骤步骤（4）回代还原（1）变量变换（2）代入原方程，化为可分离变量的方程（3）求解新方程例例5、解解令令则则代入化简代入化简 并分离变量并分离变量两边积分两边积分换回原变量换回原变量或或例例6 6、求解微分方程求解微分方程解解微分方程的解为微分方程的解为二、齐次方程二、齐次方程步骤步骤回代还原回代还原变量代换法例例7 7、求解微分方程求解微分方程解解微分方程的解为微分方程的解为三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:y和和y是一次的是一次的举例举例线性方程线性方程非线性方程非线性方程一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法:1.线性齐次方程线性齐次方程方程的通解为方程的通解为例例8、解：解：代入原方程得：代入原方程得：原方程的通解为：解微分方程：一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法:2.线性非齐次方程线性非齐次方程常数变易法常数变易法非齐次方程的通解为非齐次方程的通解为常数变易法步骤：例例9、解：解：代入原方程得：原方程的通解为原方程的通解为：解微分方程：例例10、解：解：代入原方程得：原方程的通解为原方程的通解为：解微分方程：一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法:1.线性齐次方程线性齐次方程齐次方程的通解为齐次方程的通解为2.线性非齐次方程线性非齐次方程常数变易法常数变易法非齐次方程的通解为非齐次方程的通解为一阶非齐次一阶非齐次线性线性微分方程的通解为微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解非齐通解非齐通解 =齐通解齐通解 +非齐特解非齐特解线性微分方程线性微分方程解的结构解的结构。第九章 微分方程第三节 可降阶的二阶微分方程引入：引入：二阶微分方程的一般形式二阶微分方程的一般形式两种特殊形式两种特殊形式一、一、特点：特点：右端不含右端不含 仅是仅是 x 的函数的函数 解法：解法：两端积分两端积分再积分再积分解法：解法：连续连续n次积分次积分例例1、解：解：例例2、解：解：二、二、型型特点：特点：右端不含右端不含 y 解法：解法：令令 一阶微分方程一阶微分方程积分积分例例3解方程解方程解解令令分离变量得分离变量得由由由由故故返回三、三、型型特点：特点：右端不含右端不含 x解法：解法：令令例例4解：解：代入原方程得代入原方程得 原方程通解为原方程通解为小结：小结：方程解法连续积分微分方程的基本概念微分方程形式一阶可分离齐次线性二阶阶解通解特解方程方程特点特点解法解法可分离变量的方程两边积分两边积分齐次方程线性方程常数变易法常数变易法一阶微分方程的求解方程方程解法解法连续积分几种二阶微分方程的解法第九章 微分方程第四节 微分方程的应用 例1、某种气体的气压 P对于温度T的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比，将此问题用微分方程表示.解：由题意可得：解：由题意可得：解：由题意建立初值问题：解得：