材料力学-第4章.ppt

第4章 弹性杆件横截面上 的正应力分析 材料力学 应应用用平平衡衡原原理理可可以以确确定定静静定定问问题题中中杆杆件件横横截截面面上上的的内内力力分分量量，但但内内力力分分量量只只是是杆杆件件横横截截面面上上连连续续分分布布内内力力的的简简化化结结果果。因因此此，仅仅仅仅确确定定了了内内力力分分量量并并不不能能确确定定横横截截面面上上各各点点内内力力的的大大小小。这这是是因因为为：一一般般情情形形下下，分分布布内内力力在在各各点点的的数数值值是是不不相相等等的的，只只有有当当内内力力在在横横截截面面上上的的分分布布规规律律确确定定之之后后，才才能能由由内内力力分分量量确确定定杆杆件件横横截截面面上上内内力力在在各各点点的数值。的数值。第第4 4章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析 怎怎样样确确定定横横截截面面上上的的内内力力分分布布规规律律呢呢？内内力力是是不不可可见见的的，但但变变形形却却是是可可见见的的，而而且且二二者者之之间间通通过过材材料料的的物物性性关关系系相相联联系系。因因此此，为为了了确确定定内内力力的的分分布布规规律律，必必须须分分析析和和研研究究杆杆件件的的变变形形，必必须须研研究究材材料料受受力力与与变变形形之之间间的的关关系系，即即必必须须涉涉及及变变形形协协调调与与物物性性关关系系两两个个重重要要方方面面。二二者者与与平平衡衡原原理理一一起起组组成成分分析析弹弹性性体体内内力力分分布布规规律的基本方法律的基本方法。第第4 4章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析 第第4 4章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析 预备知识与应力分析相关 的截面图形的几何性质 杆件横截面上的正应力分析 正应力公式的推广与应用 结论与讨论 第第4 4章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析 预备知识与应力分析相关 的截面图形的几何性质 返回返回返回总目录返回总目录 实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关，形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。而且与截面的几何形状有关。不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。大小有关，而且与截面的几何形状有关。第第4 4章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。第第4 4章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析 FNMz称为横截面对于称为横截面对于z轴的惯性矩轴的惯性矩研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。惯性矩、惯性积、主轴等。第第4 4章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩 组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩 的计算方法的计算方法 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 静矩、形心及其相互关系 z zy yO Od dA Ay yz z图形对于图形对于 y y 轴的静矩轴的静矩图形对于图形对于 z z 轴的静矩轴的静矩 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 Az zy yO Od dA Ay yz zz zy yO Oz zC CC Cy yC C分力之矩之和分力之矩之和合力之矩合力之矩 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 静矩与形心坐标之间的关系静矩与形心坐标之间的关系 已知静矩可以确定图形的形心坐标已知静矩可以确定图形的形心坐标 已知图形的形心坐标可以确定静矩已知图形的形心坐标可以确定静矩 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 对于组合图形对于组合图形 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 图形对图形对 y y 轴的轴的惯性矩惯性矩图形对图形对 z z轴的轴的惯性矩惯性矩图形对图形对 y z y z 轴的轴的惯性积惯性积图形对图形对 O O 点的点的极惯性矩极惯性矩z zy yO Od dA Ay yz zr rA A 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 图形对图形对 y y 轴的轴的惯性半径惯性半径图形对图形对 z z 轴的轴的惯性半径惯性半径z zy yO Od dA Ay yz z 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 0000,0z zy yO Od dA Ay yz z 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 z zy yO Od dA Ay yz zr rA A 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 已知：已知：圆截面直径d求：求：Iy，Iz，IPd dr rd dr rd dA AC Cy yz z 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 例题1解：解：取圆环微元面积 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 已知：已知：矩形截面b h求：求：Iy，IzC Cy yz zb bh hz zd dz zd dA Ay yd dy yd dA A 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 解：解：取平行于x轴和y轴的微元面积例题2 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 惯性矩与惯性积的移轴定理 移轴定理（移轴定理（parallel-axistheoremparallel-axistheorem）是指图形对于是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。一对坐标的惯性矩与惯性积。惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 A Az zy yO Od dA Ay yz zz z1 1y y1 1O O y1=ya z1=zb已知：Iy、Iz、Iyz求：Iy1、Iz1、Iy1z1y y1 1z z1 1ab 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 y y y1 11=y yya aa z z z1 11=z zzb bb z zy yO Od dA Az z1 1y y1 1O O y yz zy y1 1z z1 1ab 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 如果如果y y、z z轴通过图形形心，上述各式中的轴通过图形形心，上述各式中的S Sy yS Sz z0 0，惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 因为面积及包含因为面积及包含a a2 2、b b2 2的项恒为正，故自形的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。a a、b b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要要 注意二者的正负号；二者同号时注意二者的正负号；二者同号时abAabA为正，异为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。减少。惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 惯性矩与惯性积的转轴定理 所谓所谓转轴定理转轴定理（rotation-axistheoremrotation-axistheorem）是研是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。性矩和惯性积的变化规律。惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 z zy yO Oz z1 1y y1 1 d dA Ay yz zy y1 1z z1 1已知：Iy、Iz、Iyz、求：Iy1、Iz1、Iy1z1 惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 z zy yO Oz z1 1y y1 1 d dA Ay yz zy y1 1z z1 1 惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的角图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的角度无关，即在轴转动时，其和保持不变。度无关，即在轴转动时，其和保持不变。惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 主轴与形心主轴、主惯性矩与 形心主惯性矩 z zy yO Oz z0 0y y0 0 0 0 0 0d dA Ay yz zy y0 0z z0 0y y0 0、z z0 0通过通过O O点的主轴点的主轴 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 当当 改变时，改变时，I Iy yl l、I Iz zl l的数值也发生变化，而当的数值也发生变化，而当=0 0时，二者分别为极大值和极小值。时，二者分别为极大值和极小值。I Iy y0 0、I Iz z0 0主惯性矩主惯性矩z zy yO Oz z0 0y y0 0 0 0 0 0d dA Ay yz zy y0 0z z0 0 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 主惯性矩：主惯性矩：主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为通过形心的主轴称为形心主轴形心主轴，图形对形心主轴的，图形对形心主轴的I Iy y惯性矩称为形心主惯性矩，简称惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩形心主矩。工程计算。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。中有意义的是形心主轴与形心主矩。主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 有有对称轴截面的惯性主轴对称轴截面的惯性主轴z zy yC Cd dA Ad dA Ay yy yz z-z-zI Iyzyz=(y yi iz zi id dA A-y yi iz zi id dA A)=0)=0 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 有有对称轴截面的惯性主轴对称轴截面的惯性主轴当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。意轴即为过二者交点的主轴。主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法 工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此，性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此，必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形的形心位将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形的形心位置。置。以形心为坐标原点，设以形心为坐标原点，设OyzOyz坐标系坐标系y y、z z 轴轴 一般与简单图形一般与简单图形的形心主轴平行。确定简的形心主轴平行。确定简 单图形对自身形心主轴的惯性矩，利单图形对自身形心主轴的惯性矩，利用移轴用移轴 定理（必要时用转轴定理）确定各个简单定理（必要时用转轴定理）确定各个简单 图形对图形对y y、z z轴轴的惯性矩和惯性积，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的的惯性矩和惯性积，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的I Iy y、I Iz z 和和I Iyzyz。计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩I Iy y0 0和和I Iz z0 0。确定形心主轴的位置，即形心主轴与确定形心主轴的位置，即形心主轴与 z z 轴的夹角。轴的夹角。组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 例例 题题 3 3已知：已知：已知：已知：图形尺寸如图所图形尺寸如图所示。示。求：求：求：求：图形的形心主矩图形的形心主矩50502702703030300300 组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 解解 ：1 1将所给图形分解为简单图形的组合将所给图形分解为简单图形的组合 C1C250502702703030300300 组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法例题例题3 3 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 C1C22.2.建立初始坐标，确定形心位置建立初始坐标，确定形心位置 yzyC15050502702703030300300C 组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法例题例题3 3 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 I Iy y0 0=I Iy y0 0()+)+I Iy y0 0(II)(II)90C1C2Cyz150603.3.确定形心主惯性矩确定形心主惯性矩 y y0 0z z0 0 组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法例题例题3 3 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 I Iz z0 0=I Iz z0 0()+)+I Iz z0 0()3.3.确定形心主惯性矩确定形心主惯性矩 90C1C2Cyz15060y y0 0z z0 0 组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法例题例题3 3 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关 的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 第第4 4章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析 杆件横截面上的正应力分析 返回返回返回总目录返回总目录 杆件横截面上的正应力分析 杆件在一般载荷作用下，横截面将产生轴力杆件在一般载荷作用下，横截面将产生轴力F FN Nx x、弯矩弯矩MMy y、MMz z、剪力剪力F FQ Qy y、F FQ Qz z以及扭矩以及扭矩MMx x等等6 6个内力分量。与正应力有关的个内力分量。与正应力有关的只有轴力只有轴力F FN Nx x、弯矩弯矩MMy y、MMz z 这三个内力分量。这三个内力分量。与与轴轴力力F FN Nx x、弯弯矩矩MMy y、MMz z相相对对应应的的正正应应力力在在杆杆件件的的横横截截面面上上是怎样分布的？横截面上任意点的正应力将如何计算？是怎样分布的？横截面上任意点的正应力将如何计算？本本节节将将应应用用关关于于杆杆件件在在上上述述三三个个内内力力分分量量作作用用下下发发生生变变形形的的平平面面假假定定，根根据据平平衡衡、变变形形协协调调和和物物性性关关系系，导导出出与与轴轴力力F FN Nx x、弯矩弯矩MMy y、MMz z 这三个内力分量相对应的正应力表达式。这三个内力分量相对应的正应力表达式。应力分布应力分布应力公式应力公式变变形形应变分布应变分布平面假定平面假定物性关系物性关系静力方程静力方程 杆件横截面上的正应力分析 杆件横截面上的正应力分析 平面假定与变形协调方程 应变分布与应力分布 静力学方程的应用待定常数的确定 问题的简化正应力的一般表达式 杆件横截面上的正应力分析 平面假定与变形协调方程 考察两个主轴平面内都有弯矩作用的情形，即横截面上同时存在弯矩My、Mz。杆件横截面上的正应力分析杆件横截面上的正应力分析 平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程 yxzFP1 FP2MMz zMMy yuN+duNuNFNxFNxdxFNxFNxdx 杆件横截面上的正应力分析杆件横截面上的正应力分析 平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程 轴向位移 杆件横截面上的正应力分析杆件横截面上的正应力分析 平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程 绕 z 轴转动 dz 杆件横截面上的正应力分析杆件横截面上的正应力分析 平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程 绕 y 轴转动 dy 绕绕 y y 轴转动轴转动 d d y y 对于对于d dx x 微段，在两个内力分量作用下，两截面微段，在两个内力分量作用下，两截面将保持平面，但发生两种相对位移：将保持平面，但发生两种相对位移：绕绕 z z 轴转动轴转动 d d z z 杆件横截面上的正应力分析杆件横截面上的正应力分析 平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程 yxzMyMz-y(dz)du=z(dy)将两种轴向位移叠加，得到坐标为y、z的点的轴向位移-y(dz)+z(dy)杆件横截面上的正应力分析杆件横截面上的正应力分析 平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程 变形协调方程 根据叠加原理，横截面上任意一点根据叠加原理，横截面上任意一点(y y,z z)的位移，的位移，可表示为可表示为 此即变形协调方程此即变形协调方程(CompatibilityEquationCompatibilityEquationofDeformationofDeformation)。杆件横截面上的正应力分析杆件横截面上的正应力分析 平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程 杆件横截面上的正应力分析 应变分布与应力分布 微段横截面的相对位移，亦即微段各处的变形。微段横截面的相对位移，亦即微段各处的变形。于是横截面上任意点处的正应变为于是横截面上任意点处的正应变为 杆件横截面上的正应力分析杆件横截面上的正应力分析 应变分布与应力分布应变分布与应力分布 此即横截面上各点正应变分布方程。此即横截面上各点正应变分布方程。其中其中对于确定的截面（由对于确定的截面（由x x坐标确定），坐标确定），y y、z z均为待定常数。均为待定常数。杆件横截面上的正应力分析杆件横截面上的正应力分析 应变分布与应力分布应变分布与应力分布 梁轴线在梁轴线在xzxz坐标平面内弯曲时的曲率半径；坐标平面内弯曲时的曲率半径；梁轴线在梁轴线在xyxy坐标平面内弯曲时的曲率半径。坐标平面内弯曲时的曲率半径。应力分布此即横截面上各点正应力分布方程。此即横截面上各点正应力分布方程。应用胡克定律，应用胡克定律，杆件横截面上的正应力分析杆件横截面上的正应力分析 应变分布与应力分布应变分布与应力分布 杆件横截面上的正应力分析 静力学方程的应用待定常数的确定 将带有待定常数的应力公式代入与正应力将带有待定常数的应力公式代入与正应力有关的三个静力方程：有关的三个静力方程：杆件横截面上的正应力分析杆件横截面上的正应力分析 静力学方程的应用待定常数的确定静力学方程的应用待定常数的确定 应用截面图形的几何性质的定义，得到应用截面图形的几何性质的定义，得到 杆件横截面上的正应力分析杆件横截面上的正应力分析 静力学方程的应用待定常数的确定静力学方程的应用待定常数的确定 其中其中静矩静矩惯性矩惯性矩惯性积惯性积 杆件横截面上的正应力分析杆件横截面上的正应力分析 静力学方程的应用待定常数的确定静力学方程的应用待定常数的确定？怎样使怎样使公式简化公式简化 杆件横截面上的正应力分析 问题的简化正应力的一般表达式 S Sy y=S Sz z=0 0 ,I Iyzyz =0 0若将坐标原点选在形心处，且若将坐标原点选在形心处，且 y y 轴和轴和 z z 轴均为轴均为主轴，则有主轴，则有 杆件横截面上的正应力分析杆件横截面上的正应力分析 问题的简化正应力的一般表达式问题的简化正应力的一般表达式 这两个常数分别表示这两个常数分别表示 MMy y、MMz z 引起的微段变形程引起的微段变形程度。度。于是，得到待定常数于是，得到待定常数 杆件横截面上的正应力分析杆件横截面上的正应力分析 问题的简化正应力的一般表达式问题的简化正应力的一般表达式 杆件横截面上的正应力分析杆件横截面上的正应力分析 问题的简化正应力的一般表达式问题的简化正应力的一般表达式 这就是杆件横截面的两个主轴平面内都有弯矩作这就是杆件横截面的两个主轴平面内都有弯矩作用时的弯曲正应力公式。用时的弯曲正应力公式。第第4 4章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析 正应力公式的推广与应用 返回返回返回总目录返回总目录正应力公式中各项正负的确定 正应力公式的推广与应用 第一种办法第一种办法由由 MMy y、MMz z 以及以及y y、z z的正负号确定的正负号确定 第二种办法第二种办法根据根据F FN N、MMy y、MMz z 的实际方向及其在所求应力的实际方向及其在所求应力点引起的正应力之拉、压性质确定。点引起的正应力之拉、压性质确定。正应力公式的推广与应用 正应力公式中各项正负的确定y yx xz zMMz z+_ _ _ _My+_ _ _ _ 正应力公式的推广与应用 平面弯曲正应力 中性轴的概念与中性轴的位置 斜弯曲正应力 轴向偏心载荷 正应力公式的推广与应用 平面弯曲正应力 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 平面弯曲正应力平面弯曲正应力 载荷作用在一个主轴内，所产生的弯曲称为平面弯曲。正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 平面弯曲正应力平面弯曲正应力 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 平面弯曲正应力平面弯曲正应力 横截面对横截面对 y y 轴的弯曲截面系数轴的弯曲截面系数横截面对横截面对 z z 轴的弯曲截面系数轴的弯曲截面系数 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 平面弯曲正应力平面弯曲正应力 正应力公式的推广与应用 斜弯曲正应力 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 斜弯曲正应力斜弯曲正应力 载荷作用在横截面内，但与主轴方向不一致时，或者在两个主轴平面内同时作用有弯矩时，所产生的弯曲称为斜弯曲。当载荷与主轴方向不一致时，应用叠加的方法，将载荷向两个主轴方向分解，变为在两个主轴平面内同时作用有弯矩的情形，前面所得到的正应力公式就可以适用。正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 斜弯曲正应力斜弯曲正应力 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 斜弯曲正应力斜弯曲正应力 MyMz的几何表示应力平面例题例题 4 4已知：已知：矩形截面梁截面宽度b、高度h、长度l，外载荷FP1和FP2求：求：根部横截面上的最大正应力。正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 解：解：1.确定根部横截面上的内力分量 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 例例 题题 4 4 zxyMyMz解：解：2.确定根部截面上最大正应力作用点。最大拉应力作用点最大压应力作用点 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 例例 题题 4 4 +_+_解：解：3.计算根部截面上最大正应力。正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 例例 题题 4 4 zxyMyMz最大压应力作用点+_+_最大拉应力作用点？对于圆截面，上述公式是否正确解：解：4.4.讨论讨论 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 例例 题题 4 4 正应力公式的推广与应用 轴向偏心载荷 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 轴向偏心载荷轴向偏心载荷 斜塔将会怎样倒塌？破坏将从哪里开始？斜塔将会怎样倒塌？破坏将从哪里开始？FPFPFPFPMzMz纵向载荷作用线平行于杆件的轴线，但不重合，这种载荷称为偏心载荷。正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 轴向偏心载荷轴向偏心载荷 FPFPFPFPMyMy纵向载荷作用线平行于杆件的轴线，但不重合，这种载荷称为偏心载荷。正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 轴向偏心载荷轴向偏心载荷 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 轴向偏心载荷轴向偏心载荷 纵向载荷作用线平行于杆件的轴线，但不重合，这种载荷称为偏心载荷。正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 轴向偏心载荷轴向偏心载荷 采用叠加方法，偏心载荷引起的正应力等于轴采用叠加方法，偏心载荷引起的正应力等于轴向力引起的正应力与弯矩引起的正应力的叠加。即向力引起的正应力与弯矩引起的正应力的叠加。即轴力和弯矩在同一点引起的正应力代数值相加。轴力和弯矩在同一点引起的正应力代数值相加。正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 例题例题 5 5已知：已知：开口链环由直径d12mm的圆钢弯制而成，其形状如图所示。链环的受力及其他尺寸均示于图中。求：求：1链环直段部分横截面上的最大拉应力和最大压应力；2中性轴与截面形心之间的距离。正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 例例 题题 5 5 解：解：解：解：l计算直段部分横截面上的最大拉、压应力将链环从直段的某一横截面处截开，根据平衡，截面上将作用有内力分量FNx和Mz。由平衡方程得到FNx800N，Mz80015103Nm12Nm 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 例例 题题 5 5 轴力FNx引起的正应力在截面上均匀分布，其值为FNx800N，Mz80015103Nm 12Nm解：解：解：解：l计算直段部分横截面上的最大拉、压应力 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 例例 题题 5 5 弯矩Mz引起的正应力沿y方向线性分布。最大拉、压应力分别发生在A、B两点，其绝对值为FNx800N，Mz80015103Nm 12Nm解：解：解：解：l计算直段部分横截面上的最大拉、压应力 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 例例 题题 5 5 将上述两个内力分量引起的应力分布叠加，便得到由载荷引起的链环直段横截面上的正应力分布。FNx800N，Mz80015103Nm12Nm解：解：解：解：l计算直段部分横截面上的最大拉、压应力 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 例例 题题 5 5 从图中可以看出，横截面上的A、B二点处分别承受最大拉应力和最大压应力，其值分别为解：解：解：解：l计算直段部分横截面上的最大拉、压应力 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 例例 题题 5 5 令FNx和Mz引起的正应力之和等于零，即解：解：解：解：2计算中性轴与形心之间的距离其中，y0为中性轴到形心的距离。于是，由上式解出已知：已知：外加载荷FP以及横截面尺寸求：求：ABED截面上四个角点上的正应力例题例题 6 6 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 第一种方法第一种方法将外力直接向下面的横截面简化解：解：1.确定截面上的内力分量。正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 轴向偏心载荷轴向偏心载荷例题例题 6 6 解：解：2.确定截面上的应力。正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 轴向偏心载荷轴向偏心载荷例题例题 6 6 应力平面应力平面 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 轴向偏心载荷轴向偏心载荷例题例题 6 6 正应力公式的推广与应用 中性轴的概念与中性轴的位置 中性轴中性轴横截面上正应力为零的点连成的直线 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 中性轴的概念与中性轴的位置中性轴的概念与中性轴的位置 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 中性轴的概念与中性轴的位置中性轴的概念与中性轴的位置 平面弯曲：平面弯曲：中性层、中性轴；加载方向与中性轴之间的关系。正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 中性轴的概念与中性轴的位置中性轴的概念与中性轴的位置 斜弯曲：斜弯曲：中性轴位置；加载方向与中性轴之间的关系。正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 中性轴的概念与中性轴的位置中性轴的概念与中性轴的位置 偏心载荷：偏心载荷：有没有中性轴；是否通过截面形心。正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 中性轴的概念与中性轴的位置中性轴的概念与中性轴的位置 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 中性轴的概念与中性轴的位置中性轴的概念与中性轴的位置 请大家思考：1.1.什么情形下中性轴一定通过横截面的形心；什什么情形下中性轴一定通过横截面的形心；什 么情形下中性轴一定么情形下中性轴一定不不通过横截面的形心。通过横截面的形心。2.2.什么情形下中性轴一定与加载方向垂直；什么什么情形下中性轴一定与加载方向垂直；什么情形下中性轴一定与加载方向情形下中性轴一定与加载方向不不垂直。垂直。3.3.什么情形下中性轴一定位于横截面内；什么情什么情形下中性轴一定位于横截面内；什么情形下中性轴形下中性轴不一定不一定位于横截面内。位于横截面内。正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 中性轴的概念与中性轴的位置中性轴的概念与中性轴的位置 屋顶的大梁屋顶的大梁上的孔为什上的孔为什么开在中间么开在中间？上、下两？上、下两边各开一个边各开一个半圆孔可以半圆孔可以吗？吗？第第4 4章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析 结论与讨论返回返回返回总目录返回总目录 结论与讨论关于应力分析的结论 对称性验证平面假定的正确性 关于形心和形心主轴 正应力公式应用中的几个问题 结论与讨论关于应力分析的结论 结论与讨论结论与讨论 关于应力分析的结论关于应力分析的结论 应力的概念，确定应力的超静定性质，以及由应力的概念，确定应力的超静定性质，以及由此而产生的分析应力的基本方法。此而产生的分析应力的基本方法。应力分析中，重要的是要确定应力分布规律，应力分析中，重要的是要确定应力分布规律，在此基础上即可由静力学平衡方程确定各点的在此基础上即可由静力学平衡方程确定各点的应力表达式。应力表达式。结论与讨论正应力公式应用中的几个问题 结论与讨论 正应力公式应用中的几个问题正应力公式应用中的几个问题 加载方向与加载范围加载方向与加载范围 应应用用正正应应力力公公式式时时，要要注注意意其其中中的的F FN Nx x、MMy y、MMz z必必须须是是分分别别作作用用在在截截面面形形心心处处的的轴轴力力和和作作用用在在形形心心主主轴轴平平面面内内的的弯弯矩矩。因因此此，轴轴向向载载荷荷的的作作用用线线必必须须与与杆杆件件的的轴轴线线重重合合；横横向向载载荷荷(垂垂直直于于杆杆件件轴轴线线的的载载荷荷)必必须须施施加加在在主主轴轴平平面面内内。对对于于不不是是作作用用在在主主轴轴平平面面内内的的载载荷荷，需需要要将将其其向向主主轴轴平平面面分分解解；对对于于作作用用线线与与杆杆件件的的轴轴线线不不重重合合的的纵纵向向载载荷荷，需需要要将将其其向向杆杆件件的的轴轴线线简简化化。使使之之变变为为满满足上述条件的情形。足上述条件的情形。应应用用正正应应力力公公式式时时，对对加加载载范范围围也也有有一一定定限限制制，即即在在弹