高等数学齐次微分方程.ppt

一阶微分方程 第二节一、可分离变量方程一、可分离变量方程二、齐次型微分方程二、齐次型微分方程三、可化为齐次型的微分方程三、可化为齐次型的微分方程四、一阶线性微分方程四、一阶线性微分方程 第十二章 二、齐次方程二、齐次方程形如的方程叫做齐次方程齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例例1.解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(C 为任意常数)例例2.解微分方程解解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了.可得 OMA=OAM=例例3.在制造探照灯反射镜面时,解解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成.过曲线上任意点 M(x,y)作切线 M T,由光的反射定律:入射角=反射角取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO=OM要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而 AO 于是得微分方程:利用曲线的对称性,不妨设 y 0,积分得故有得 (抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)顶到底的距离为 h,说明说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为 d,代入通解表达式得(h,k 为待 三、可化为齐次方程的方程三、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为 令,解出 h,k(齐次方程)定常数),求出其解后,即得原方 程的解.原方程可化为 令(可分离变量方程)注注:上述方法可适用于下述更一般的方程 例例4.求解解解:令得再令 YX u,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:得 C=1,故所求特解为思考思考:若方程改为 如何求解?提示提示: