9矩阵位移法.ppt

第9章 矩阵位移法9-0 9-0 矩阵的基础知识矩阵的基础知识 一矩阵的定义：一矩阵的定义：Asn=Bsn 相等的概念（对应元素值相同）二矩阵的加法二矩阵的加法 A+B=C *:A、B两个矩阵的行与列数必须相同。三矩阵的乘法三矩阵的乘法 AB=C *:特别地：Ann方阵；Bn1列阵 Cn1=AnnBn1 Cn1=Bn1Ann *：A 矩阵的列数必须与B矩阵的行数相同。*：方程可用矩阵的形式来表示：AX=P四矩阵的转置四矩阵的转置 矩阵的行列互换即为转置。B ns=ATsn (B nn=ATnn=Ann对称)对称矩阵：AT=A aij=aji*：特别地五矩阵的分块：五矩阵的分块：其中：六矩阵的逆六矩阵的逆 若：AnnBnn=BnnAnn=Enn Bnn=A-1nn 9-1 概述 9-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵9-3 整体坐标系下的单元刚度矩阵9-4 连续梁的整体刚度矩阵 9-5 刚架的整体刚度矩阵 9-6 等效结点荷载 9-7 计算步骤及示例 9-8 忽略轴向变形时矩形刚架计算 9-9 桁架及组合结构的整体分析主要内容主要内容9-1 9-1 概述概述n 1 1、结构分析方法、结构分析方法 l 1 1）传统的方法的方法前面介前面介绍的的力法、位移法、力矩力法、位移法、力矩分配法分配法等都是传统的结构分析方法；适用于等都是传统的结构分析方法；适用于手算手算；只能；只能分析较简单的结构。分析较简单的结构。l 2 2）矩矩阵分析方法分析方法矩矩阵力法和矩力法和矩阵位移法，或称位移法，或称为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以传为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以传统统结构力学作构力学作为理理论基基础、以、以矩矩阵作作为数学表达形式数学表达形式，以以计算机作算机作为计算手段算手段的电算结构分析方法，它能解决的电算结构分析方法，它能解决大型复杂的工程问题。大型复杂的工程问题。2 2、基本思路、基本思路 3 3）矩）矩阵位移法位移法它是以它是以结点位移点位移作作为基本未知量基本未知量的结构分析方法。由于它易于实现的结构分析方法。由于它易于实现计算过程程序化计算过程程序化，故本章只对矩阵位移法进行讨论。杆件结构的矩阵位故本章只对矩阵位移法进行讨论。杆件结构的矩阵位移法也被称为移法也被称为杆件结构的杆件结构的有限元法有限元法有限元法有限元法。1 1）手算位移法）手算位移法 （1 1）取）取基本结构基本结构构造各自独立的构造各自独立的单跨超静梁单跨超静梁的组的组合体；合体；（2 2）建建立立转转角角位位移移方方程程建建立立各各杆杆段段的的杆杆端端力力与与杆杆端位移间的关系端位移间的关系；9-1 9-1 概述概述2 2）矩）矩阵位移法位移法 （1 1）结构离散化构离散化划分划分单元元；（2 2）单元分析元分析建立建立单元的杆端力与杆端位移元的杆端力与杆端位移 间的的转换关系，形成关系，形成单元元刚度矩度矩阵；（3 3）整体分析整体分析建立整个建立整个结构的构的结点位移与点位移与结 点荷点荷载间的的转换关系，形成关系，形成结构构刚度矩度矩阵。（3 3）建立）建立结点平衡方程点平衡方程考考虑结点点变形形协调关系关系与平衡条件，建立整个与平衡条件，建立整个结构的构的结点位移与点位移与结点荷点荷载之之间的关系的关系。9-1 9-1 概述概述 3 3）结论两种方法两种方法原理相同原理相同。只是在后述理。只是在后述理论推推 导、公式表达和、公式表达和计算算过程中均采用矩程中均采用矩阵 这一数学工具。一数学工具。单元分析和整体分析是元分析和整体分析是 矩矩阵位移位移法法中中的的两个重要内容，下面两个重要内容，下面 特分特分别讨论。9-1 9-1 概述概述n1 1、划分单元划分单元 l1 1）自然划分）自然划分 l 如如图所示所示刚架的架的单元元 l划分，即为自然划分的情况划分，即为自然划分的情况单元数：单元数：3 3（杆件数）；（杆件数）；结点数：结点数：4 4（杆件汇交点数）。（杆件汇交点数）。2 2）人）人为划分划分 如如图所示无所示无铰拱的拱的单元单元划分，即为人为划分的例子。划分，即为人为划分的例子。3 32 21 14 4单元数：单元数：7 7结点数：结点数：8 8 1 13 32 26 65 57 78 84 49-2 9-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵2 2、单元杆端力、杆端位移的矩阵表示、单元杆端力、杆端位移的矩阵表示1 1）局部坐局部坐标系系与与杆端力、杆端力、杆端位移杆端位移的的矩阵表达矩阵表达。9-2 9-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵i ij je ei ij je ei ij je e取取单元单元始端始端i i 到到末端末端j j的方向的方向为为x轴的正向，此坐标系称为轴的正向，此坐标系称为单元坐标系单元坐标系或或局部坐标系局部坐标系。9-2 9-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵i ij je e（a）i ij je e（b b）三个杆端力分量三个杆端力分量 、（图（图a）和相应的杆端位和相应的杆端位移分量移分量 、(图图b)b)，正负号规定正负号规定:、以沿以沿 轴的的正方向正方向为正，反之为负；为正，反之为负；、以沿以沿 轴的的正方向正方向为正，反之为负；为正，反之为负；、以以顺时针方方向（向（转向转向 且小于且小于9090）为正，逆正，逆转为负。n2 2）单元杆端力与杆端位移分量矩元杆端力与杆端位移分量矩阵表示表示杆端力（杆端力（6 61 1列列阵）杆端位移（杆端位移（6 61 1列列阵）9-2 9-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵3 3、单元刚度方程（矩阵）、单元刚度方程（矩阵）n 1 1）一般）一般单元元 单元的单元的 与与 之间的关系。之间的关系。9-2 9-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵下面下面分分别求求出由出由各各杆杆端位移端位移单独独引起的杆端力引起的杆端力(如如图),),然后然后进行行迭迭加加，即可得到杆，即可得到杆端力与杆端位移端力与杆端位移之之间的关系的关系j ji ie ej ji ie e9-2 9-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵(1)(1)先考先考虑由杆端虑由杆端轴向位移轴向位移引起的杆引起的杆端力：端力：矩阵表示矩阵表示(a)j ji ie e图图9-49-4（2 2）再考虑）再考虑由杆端由杆端切向位切向位移移和和转角角引起引起的的杆端力杆端力(注注意意与位移法中与位移法中转角位移方程转角位移方程中中符号符号的区别）的区别）9-2 9-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵(b(b)9-2 9-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵n（3 3）将将(a),(),(b b)两两式式迭迭加加，即即得得一一般般杆杆单单元元的的杆杆端端力力与杆端位移间的关系。写成矩阵形式为：与杆端位移间的关系。写成矩阵形式为：（c）(c)(c)式称式称为单元元刚度方程度方程(简称称单刚)（d）简写写为为（e e）9-2 9-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 性质：性质：6 66 6阶方方阵。其其中的每个元素称中的每个元素称为单元元刚度系度系数，其数，其物理意义物理意义是：所在是：所在列对应的杆端位移分量列对应的杆端位移分量等于等于1 1（其余杆端位移（其余杆端位移分量均分量均为零）零）时，所以引起所在，所以引起所在行行对应的杆端力分量对应的杆端力分量的数值。的数值。对称性对称性奇异性奇异性（1 1）连续梁连续梁单元刚度方程单元刚度方程将（将（f f）式代入一般单元刚度式代入一般单元刚度方程即得单刚方程：方程即得单刚方程：其中，其中，即即为连续梁的梁的单元元刚度矩度矩阵。图图9-59-5i ij je e（b b）2)2)特殊特殊单元元9-2 9-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵（f f）(如图如图9-5)9-5)只有两个杆只有两个杆端位移端位移 ，而其余四个分量均为零，即，而其余四个分量均为零，即n（2 2）平面桁架单元刚度方程（矩阵）平面桁架单元刚度方程（矩阵）其中，其中，即即为桁架桁架单元元刚度矩度矩阵。取桁架取桁架单元如元如图9-69-6所示，此所示，此时只有两个杆端位只有两个杆端位 移移 ，而其余位移均，而其余位移均为零，同理，零，同理，则得：得：图图9-69-6i ij je e9-2 9-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵1.1.两套坐标系两套坐标系:单元元局部局部坐坐标系与系与结构结构整体整体坐坐标系系间的关系的关系 局部（局部（单元）坐元）坐标系；系；整体（整体（结构）坐构）坐标系；系；坐标变换坐标变换:将整体量转化（投影）到局部坐标系；将整体量转化（投影）到局部坐标系；或将局部量或将局部量转化（投影）到整体坐化（投影）到整体坐标系。系。9-3 9-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换x x图图9-79-7i ij je ey y如如图9-79-7即即为所所选的两套坐的两套坐标系。系。2 2、杆端力的变换、杆端力的变换 如如图9-89-8所示所示单元。在元。在单元坐元坐标系系 中，中，单元元杆端力的矩阵表示为：杆端力的矩阵表示为：在在结构坐构坐标系系x x o o y y中，中，单元杆端力的矩阵表示为：单元杆端力的矩阵表示为：图图9-89-89-3 9-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换x xi ij jy ye e 设两两坐坐标系系间的的夹角角为，且以从且以从x x轴顺时针轴顺时针方向转至方向转至 轴来度量，轴来度量，由投影关系可得：由投影关系可得：同理，可得：同理，可得：9-3 9-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换x xi ij jy ye en 将将i i 端与端与j j 端杆端力统一用矩阵表示，则为：端杆端力统一用矩阵表示，则为：简记为：简记为：9-3 9-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换坐坐标转换矩矩阵T T正交正交性质：性质：杆端力杆端力变换关系关系n 3 3、杆端位移、杆端位移变换关系关系 n 4 4、单元元刚度矩度矩阵变换 将将 变换式（式（a a）（）（b b）两式代入（两式代入（c c）式，式，得：得：9-3 9-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换（b b）同同理理可得可得两坐两坐标系下系下杆端位移的变换关系，即杆端位移的变换关系，即（c c）局部坐局部坐标系中的系中的单刚方程方程为：简记为：（d d）这就是就是单元元刚度矩度矩阵坐坐标变换的一般公式。的一般公式。下一步讨论整体分析。下一步讨论整体分析。其中其中 （e e）两边同时左乘两边同时左乘 整体坐整体坐标系中的系中的单元元刚度矩度矩阵9-3 9-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换n 整体分析整体分析以如以如图9-99-9连续梁梁为例例讨论矩矩阵位移法的第二步。位移法的第二步。1 1）单元元编码、结点点编码 单元数：单元数：2 2 结点数：结点数：3 3 132F1F2F3i1i2123图图9-99-99-4 9-4 连续梁的整体刚度矩阵连续梁的整体刚度矩阵1 1）位移法原理与步）位移法原理与步骤（传统法法）已知结点载荷：已知结点载荷：未知结点位移（基本未知量）：未知结点位移（基本未知量）：（2 2）单元杆端弯矩方程）单元杆端弯矩方程 列出列出转角位移方程或角位移方程或单元元刚度方程度方程矩阵表示矩阵表示132F1F2F3i1i2123图图9-99-99-4 9-4 连续梁的整体刚度矩阵连续梁的整体刚度矩阵单元单元：单元单元：单元的贡献矩阵单元的贡献矩阵n（3 3）结点力矩）结点力矩 平衡条件平衡条件（4 4）将杆端弯矩代入上式，并用矩阵表示）将杆端弯矩代入上式，并用矩阵表示 位移法方程（平衡方程）。即位移法方程（平衡方程）。即为结构（整体）构（整体）刚度方程刚度方程。可简记为：。可简记为：其中，其中，k为结构（整体）构（整体）刚度矩度矩阵。F21F1M122M21M23F3M3229-4 9-4 连续梁的整体刚度矩阵连续梁的整体刚度矩阵两两单元贡献矩阵集成贡献矩阵集成 2 2、单元集成法、单元集成法（直接刚度法）（直接刚度法）步骤步骤1 1）单刚）单刚“换码换码”1 21 29-4 9-4 连续梁的整体刚度矩阵连续梁的整体刚度矩阵单元杆端位移元杆端位移编码与与整体整体结点位移点位移编码关系关系(若结点若结点位移为零，其总码编为零位移为零，其总码编为零),),即可得到即可得到单元定位向量单元定位向量 ，并分别标在，并分别标在 的上的上方和左（右）边。方和左（右）边。132F1F2F3i1i2123单元单元：k k=2 2）总刚“集成集成”1 2 3 1 2 32 32 39-4 9-4 连续梁的整体刚度矩阵连续梁的整体刚度矩阵按按单刚各元素的行各元素的行码和列和列码（单元定位向量元定位向量）分分别将其将其置于置于结构构刚度矩度矩阵相相应的位置的位置，即，即“对号号入入座座”，集成，集成总刚。132F1F2F3i1i2123单元单元：k k=n 例题：试求图例题：试求图9-109-10所示连续梁的整体刚度矩阵所示连续梁的整体刚度矩阵k k。解：解：1 1）结点编码、单元划分。）结点编码、单元划分。结点位移点位移编码 均示于图均示于图9-109-10中（凡中（凡 是给定为零值的结点是给定为零值的结点 位移分量，其总码均编为零。）位移分量，其总码均编为零。）2 2）列出各）列出各单元定位向量元定位向量e e=1 2=1 2T T =2 3=2 3T T=3 0=3 0T T9-4 9-4 连续梁的整体刚度矩阵连续梁的整体刚度矩阵图图9-109-10i1i2i312031230=04 4）“对号入座号入座”，集成集成总刚。k k=1 21 29-4 9-4 连续梁的整体刚度矩阵连续梁的整体刚度矩阵i1i2i312031230=0k k=2 32 3k k=3 03 01 2 3 1 2 3k k=n 本本节讨论用用单元集成法求元集成法求图9-119-11所示平面所示平面刚架的整体架的整体刚 度矩度矩阵k k。原理、方法同原理、方法同连续梁，但具体求解梁，但具体求解过程要复程要复杂些。些。1 1、求解方法与步、求解方法与步骤 1 1）编码 （1 1）单元：）单元：、；（2 2）结点：）结点：1 1、2 2、3 3；（3 3）结点位移点位移位位移编码顺序为：移编码顺序为：即：即：。图图9-119-119-5 9-5 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵(1(1、2 2、3)3)(0(0、0 0、4)4)(0(0、0 0、0)0)1 12 23 3对已知已知为 零的结点位移零的结点位移 分量，其总码分量，其总码 为零。为零。n 2 2）选取取结构坐构坐标系和系和单元元坐标系（确定单元的始端坐标系（确定单元的始端和末端）如左图和末端）如左图单元坐标系单元坐标系x xy y结构坐标系结构坐标系(1(1、2 2、3)3)(0(0、0 0、4)4)(0(0、0 0、0)0)1 12 23 3(1(1、2 2、3)3)(0(0、0 0、4)4)(0(0、0 0、0)0)1 12 23 39-5 9-5 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵 3 3）各）各单元定位向量元定位向量e e =(1 2 3 0 0 4)=(1 2 3 0 0 4)T T =(1 2 3 0 0 0)=(1 2 3 0 0 0)T T4 4）单元元刚度矩度矩阵 单元单元：(1(1、2 2、3)3)(0(0、0 0、4)4)(0(0、0 0、0)0)1 12 23 3单元坐标系单元坐标系x xy y结构坐标系结构坐标系k k=10104 4 1 2 3 0 0 41 2 3 0 0 4图图9-119-119-5 9-5 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵n 单单 元元：=T=T=k k=T=TT T T=T=1 2 3 0 0 01 2 3 0 0 09-5 9-5 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵n 5 5）对号入座，集成号入座，集成总刚即即为所求平面所求平面刚架的整体架的整体刚度矩度矩阵。1 2 3 41 2 3 49-5 9-5 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵2 2、整体刚度矩阵特点、整体刚度矩阵特点n 1 1）整体刚度系数（整体刚度系数（k k i i j j）的意义的意义 l 表示当第表示当第j j个结点位移分量个结点位移分量1 1=1=1（其它结点位其它结点位移分量为零）时所产生的第移分量为零）时所产生的第i i个结点力个结点力F F i ；l 2 2）k k是对称矩阵是对称矩阵（反力互等定理）；（反力互等定理）；l 3 3）k k是满秩非奇异矩阵是满秩非奇异矩阵（先处理法，已考虑约束条件）；（先处理法，已考虑约束条件）；l 4 4）k k是稀疏、带状矩阵是稀疏、带状矩阵（即（即:k k有许多零元素，且非零有许多零元素，且非零元素都分布在以主对角线为中心的倾斜带状区城内）。元素都分布在以主对角线为中心的倾斜带状区城内）。9-5 9-5 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵3 3、先处理法处理有中间铰刚架、先处理法处理有中间铰刚架n 图9-129-12所示所示为具有具有铰结点的点的刚架。架。现说明具有明具有铰结点点刚架的处理方法；刚架的处理方法；将中将中间铰视为二个半独立二个半独立的结点的结点 即：即：中间铰处的两杆杆端中间铰处的两杆杆端的的线位移相同线位移相同（不独立），而（不独立），而角位移不同角位移不同（独立）。（独立）。故：故：它们的它们的线位移采用同线位移采用同码码，而，而角位移采用异码角位移采用异码。9-5 9-5 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵(1(1、2 2、3)3)(4 4、5 5、6 6)(0(0、0 0、8)8)(4 4、5 5、7 7)(0(0、0 0、0)0)1 12 23 34 45 5中间铰中间铰图图9-129-12n 在上面在上面讨论的的问题（连续梁、梁、刚架）中，均架）中，均假假定定荷载作用在结点上，即荷载作用在结点上，即结点荷载结点荷载。但在实际问题中，。但在实际问题中，不可避免地会遇到不可避免地会遇到非结点荷载非结点荷载，对于非结点荷载需将，对于非结点荷载需将其变换为其变换为等效等效结点荷载。结点荷载。以以图示示刚架架为例具体例具体说明明非结荷载的处理方法，即：非结荷载的处理方法，即：(1(1、2 2、3)3)(4(4、5 5、6)6)1 12 23 34 4x xy yo oFP原问题的解原问题的解=固端力（等效结点荷载）固端力（等效结点荷载）+杆端力杆端力载常数计算载常数计算刚度方程计算刚度方程计算9-6 9-6 等效结点荷载等效结点荷载1 1、非结点荷载处理、非结点荷载处理 转化化为等效等效结点点荷荷载1 1）固定固定(附加附加链杆杆或或刚臂臂)，求固端力，求固端力（图（图9-13b9-13b）。）。图图9-139-13（b b）固定（求固端力）固定（求固端力）x xy yo oFPFP-FP/2-FPl/8 -FP/2FPl/8(1(1、2 2、3)3)(4(4、5 5、6)6)1 12 23 34 4x xy yo oFP（a a）原问题原问题9-6 9-6 等效结点荷载等效结点荷载图图9-139-13（b b）固定（求固端力）固定（求固端力）x xy yo oFPFPFP/2-FPl/8 -FP/2FPl/8 （c c）放松（放松（反作用后反作用后 求等效结点荷载）求等效结点荷载）FPl/8FP/2FP/2FPl/8等效结点力等效结点力(1(1、2 2、3)3)(4(4、5 5、6)6)1 12 23 34 4x xy yo oFP（a a）原问题原问题9-6 9-6 等效结点荷载等效结点荷载2 2）放松，求等效）放松，求等效结点荷点荷载。n 2 2、等效结点荷载求解、等效结点荷载求解固端力反号固端力反号1 1）求各）求各单元在局部坐元在局部坐标系中的固端力系中的固端力 与等效与等效结点点荷荷载载 ：1 2 3 4 5 6定位向量定位向量9-6 9-6 等效结点荷载等效结点荷载2)2)求各求各单元在整体坐元在整体坐标系中的等效系中的等效结点荷点荷载P P e e：3)3)求求结构（构（刚架）的等效架）的等效结点荷点荷载P P 按按单元定位向量元定位向量对号入座集成号入座集成 。即：即：（局部坐标系中）（局部坐标系中）或或 （整体坐标系中）（整体坐标系中）3 3、各单元最后杆端力、各单元最后杆端力 为固端力与固端力与结点位移结点位移产生的杆端力之和。生的杆端力之和。注：若结点原有直接作用的结点荷载，则最后的结点注：若结点原有直接作用的结点荷载，则最后的结点荷载应为直接结点荷载与等效结点荷载之和。荷载应为直接结点荷载与等效结点荷载之和。9-6 9-6 等效结点荷载等效结点荷载1 1、计算步骤计算步骤1)1)单元、元、结点、点、结点位移点位移编号号，坐坐标系系（整体、局（整体、局部）部）2)2)形成形成总刚K K9-7 9-7 计算步骤及示例计算步骤及示例 3)3)形成形成总结点荷点荷载P P（1 1）非结点荷载非结点荷载处理处理（2 2）结点荷载结点荷载处理处理 根据根据对应结点位移点位移编号，直接号，直接按按对号入对号入 P9-7 9-7 计算步骤及示例计算步骤及示例4 4）求求解解总刚方程方程KK=P=P，求结点位移求结点位移 5 5）根据结点位移）根据结点位移 ，求单元杆端力求单元杆端力9-7 9-7 计算步骤及示例计算步骤及示例2 2、例题、例题n 例例1 1试求图试求图9-149-14（a a）所示所示 梁的内力。梁的内力。解：解：1 1）单元、结点、位移编号；）单元、结点、位移编号；坐标系（如图坐标系（如图b b）。）。2 2）形成）形成总刚k k（1 1）计算计算图图9-149-14 =iiii4224 =iiii42249-7 9-7 计算步骤及示例计算步骤及示例50KNm10KN/mi6m6mi（a a）x xy y1 12 23 3(0)(2)(1)（b b）n（2 2）计算）计算K K e e（3 3）列出）列出e e=2 1=2 1T T，=0 2=0 2T Tk k=2 12 1k k=0 20 2（4 4）对号入座集成）对号入座集成kk 1 21 29-7 9-7 计算步骤及示例计算步骤及示例50KNm10KN/mi6m6mi（a a）x xy y1 12 23 3(0)(2)(1)（b b）n 3 3）形成）形成总结点荷点荷载P P（1 1）非结点荷载处理非结点荷载处理求固端力求固端力2 1注：若是一般单元，则注：若是一般单元，则 即为即为6 61 1阶列向量，单元结阶列向量，单元结点位移编码也应是点位移编码也应是6 6个，而现个，而现在是在是2 2个。个。9-7 9-7 计算步骤及示例计算步骤及示例50KNm10KN/mi6m6mi（a a）x xy y1 12 23 3(0)(2)(1)（b b）（2 2）原始结点荷载处理）原始结点荷载处理1 2求等效结点荷载求等效结点荷载2 1P P（3 3）对号入座集成）对号入座集成P29-7 9-7 计算步骤及示例计算步骤及示例50KNm10KN/mi6m6mi（a a）x xy y1 12 23 3(0)(2)(1)（b b）n 4 4）解）解总刚方程方程kk=P=P，求求 1 21 21 21 29-7 9-7 计算步骤及示例计算步骤及示例50KNm10KN/mi6m6mi（a a）x xy y1 12 23 3(0)(2)(1)（b b）5 5）求各杆杆端力）求各杆杆端力9-7 9-7 计算步骤及示例计算步骤及示例50KNm10KN/mi6m6mi（a a）x xy y1 12 23 3(0)(2)(1)（b b）同理同理n 6 6）根据各）根据各单元杆端力元杆端力绘制制M M内内力力图（图（KNKNm m），），如图如图9-14c9-14c190/7190/7380/7380/730/730/7ql2 2/8=45/8=451 12 23 3(1)(2)(0)图图9-14 9-14（c c）MM图（图（KNmKNm）9-7 9-7 计算步骤及示例计算步骤及示例50KNm10KN/mi6m6mi（a a）x xy y1 12 23 3(0)(2)(1)（b b）图图9-159-15n 实际实际工程中由工程中由横梁与横梁与竖柱柱组成的矩形成的矩形刚架架，通常，通常轴向变形的轴向变形的影响很小，可以忽略不计。影响很小，可以忽略不计。9-89-8忽略轴向变形时矩形刚架计算忽略轴向变形时矩形刚架计算x xy yo o1 12 23 34 4(1(1、0 0、2)2)(1(1、0 0、3)3)(0(0、0 0、0)0)(0(0、0 0、0)0)n 这类刚架这类刚架求解过程与前相同求解过程与前相同，但由于忽略了轴向变形的影响，在但由于忽略了轴向变形的影响，在进行整体结点位移编号时，应进行整体结点位移编号时，应注意注意竖柱柱,水平梁水平梁的的编号问题编号问题；以以图图9-9-1515为例为例 。单元刚度矩阵单元刚度矩阵 。9-89-8忽略轴向变形时矩形刚架计算忽略轴向变形时矩形刚架计算9-89-8忽略轴向变形时矩形刚架计算忽略轴向变形时矩形刚架计算k k =k k =T=TT T T T1 0 2(3)0 0 01 0 2(3)0 0 0 1 0 2 1 0 31 0 2 1 0 39-89-8忽略轴向变形时矩形刚架计算忽略轴向变形时矩形刚架计算n 单元单元，0okk=各单元定位向量各单元定位向量e e。其它步其它步骤相同，此相同，此处不再重述。不再重述。根据定位向量集成总刚根据定位向量集成总刚kk。=（1 0 2 0 0 01 0 2 0 0 0）T T =（1 0 2 1 0 31 0 2 1 0 3）T T =（1 0 3 0 0 01 0 3 0 0 0）T T1 2 3 1 2 39-89-8忽略轴向变形时矩形刚架计算忽略轴向变形时矩形刚架计算n 1 1、桁架、桁架 分析步分析步骤与与刚架完全相同，只是在架完全相同，只是在编码时，注意到时，注意到桁架单元的结点转角桁架单元的结点转角不是基本未知量。不是基本未知量。以以图9-169-16所示桁架所示桁架总刚的集成的集成说明其明其处理方法。理方法。1 1）单元、元、结点点编号；号；结点位移编号（位移编号）结点位移编号（位移编号）顺序为顺序为 ；坐标系；坐标系9-99-9桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析图图9-169-16(1(1、2)2)(3(3、4)4)(0(0、0)0)(0(0、0)0)x xy yo o1 12 23 34 4 2 2）局）局部单刚部单刚桁架桁架单元的单元刚元的单元刚度矩阵。度矩阵。3 3）整体）整体单刚9-99-9桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析图图9-169-16(1(1、2)2)(3(3、4)4)(0(0、0)0)(0(0、0)0)x xy yo o1 12 23 34 44 4）单元定位向量元定位向量 =(1 2 0 0)=(1 2 0 0)T T =(1 2 3 4)=(1 2 3 4)T T =(3 4 0 0)=(3 4 0 0)T T =(0 0 0 0)=(0 0 0 0)T T =(1 2 0 0)=(1 2 0 0)T T =(0 0 3 4)=(0 0 3 4)T T(1(1、2)2)(3(3、4)4)(0(0、0)0)(0(0、0)0)1 12 23 34 4x xy yo o5 5）集成总刚：集成总刚：1 2 3 41 2 3 49-99-9桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析2 2、组合结构、组合结构n 计算算组合合结构构时，先区分，先区分梁式杆和桁架杆梁式杆和桁架杆，并，并分分别处理。别处理。9-99-9桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析 梁式杆梁式杆采用采用一般一般单元元刚度方程度方程及相及相应的的计算公式；算公式；桁架杆桁架杆采用采用桁架桁架单元的元的单元元刚度方程度方程及及相相应的的计算公式。算公式。单元、结点、单元、结点、位移编号，位移编号，坐坐标系系例：试求图例：试求图9-179-17所示组合结构的内力。设横梁的抗拉和抗弯刚度所示组合结构的内力。设横梁的抗拉和抗弯刚度分别为分别为EAEA和和EIEI，且，且EA=2EI/mEA=2EI/m2 2，吊杆吊杆E E1 1A A1 1=EI/20m=EI/20m2 2。9-99-9桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析(1(1、2 2、3)3)(0(0、0 0、0)0)(0(0、0 0、0)0)(4(4、5 5、6)6)(1(1、2)2)(0(0、0)0)(0(0、0)0)8 8(4(4、5)5)1 12 23 35 54 46 67 7y yx x15m20m20m20mq=10KN/m图图9-172 2）形成）形成总刚kk 单元元、为梁式杆梁式杆，按一般，按一般单元元单元元刚度度矩阵形矩阵形式求，整体单刚与式求，整体单刚与局部单刚相同：局部单刚相同：（1）计算单刚：）计算单刚：=4 5 6 0 0 04 5 6 0 0 01 2 3 4 5 61 2 3 4 5 60 0 0 1 2 30 0 0 1 2 39-99-9桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析15m20m20m20mq=10KN/m(1(1、2 2、3)3)(0(0、0 0、0)0)(0(0、0 0、0)0)1 12 23 35 54 46 6(4(4、5 5、6)6)(1(1、2)2)(4(4、5)5)(0(0、0)0)(0(0、0)0)7 78 8y yx xn 单元元、为桁架杆桁架杆，按桁架，按桁架单元的局部单元单元的局部单元刚度矩阵形式，刚度矩阵形式，求得求得=15m20m20m20mq=10KN/m(1(1、2 2、3)3)(0(0、0 0、0)0)(0(0、0 0、0)0)1 12 23 35 54 46 6(4(4、5 5、6)6)(1(1、2)2)(4(4、5)5)(0(0、0)0)(0(0、0)0)7 78 8y yx x9-99-9桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析n单元单元：T=4 5 0 0 4 5 0 0k=TT 15m20m20m20mq=10KN/m(1(1、2 2、3)3)(0(0、0 0、0)0)(0(0、0 0、0)0)1 12 23 35 54 46 6(4(4、5 5、6)6)(1(1、2)2)(4(4、5)5)(0(0、0)0)(0(0、0)0)7 78 8y yx x9-99-9桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析k=TT T0 0 1 2 0 0 1 215m20m20m20mq=10KN/m(1(1、2 2、3)3)(0(0、0 0、0)0)(0(0、0 0、0)0)1 12 23 35 54 46 6(4(4、5 5、6)6)(1(1、2)2)(4(4、5)5)(0(0、0)0)(0(0、0)0)7 78 8y yx xn单元单元：9-99-9桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析单元定位向量单元定位向量 =(0 0 0 1 2 3)T=(1 2 3 4 5 6)T=(4 5 6 0 0 0)T=(0 0 1 2)T=(4 5 0 0)T（3 3）集成总刚度）集成总刚度kk按单元定位向量按单元定位向量e e，对号入座累加到对号入座累加到kk：集成集成时注意利用注意利用 的关系。的关系。15m20m20m20mq=10KN/m(1(1、2 2、3)3)(0(0、0 0、0)0)(0(0、0 0、0)0)1 12 23 35 54 46 6(4(4、5 5、6)6)(1(1、2)2)(4(4、5)5)(0(0、0)0)(0(0、0)0)7 78 8y yx x9-99-9桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 69-99-9桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析结构整体刚度矩阵结构整体刚度矩阵kkn 3)3)总结点荷点荷载PP（1 1）求单元固端约）求单元固端约束力束力 ：只有只有单元元有有 ，且无需变，且无需变换，得换，得=图图9-1715m20m20m20mq=10KN/m(1(1、2 2、3)3)(0(0、0 0、0)0)(0(0、0 0、0)0)1 12 23 35 54 46 6(4(4、5 5、6)6)(1(1、2)2)(4(4、5)5)(0(0、0)0)(0(0、0)0)7 78 8y yx x9-99-9桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析P=F p=0 100 333 0 100 333T4 4）解）解总刚度方程度方程K=Pn即：即：9-99-9桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析5 5）求各）求各单元杆端力元杆端力=F=25.34 42.99 684.2 25.34 42.99 175.6T单元单元：=0 0 0 12.67 3976 254.3T=0 0 0 1 2 3图图9-1715m20m20m20mq=10KN/m(1(1、2 2、3)3)(0(0、0 0、0)0)(0(0、0 0、0)0)1 12 23 35 54 46 6(4(4、5 5、6)6)(1(1、2)2)(4(4、5)5)(0(0、0)0)(0(0、0)0)7 78 8y yx x9-99-9桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析图图9-1715m20m20m20mq=10KN/m(1(1、2 2、3)3)(0(0、0 0、0)0)(0(0、0 0、0)0)1 12 23 35 54 46 6(4(4、5 5、6)6)(1(1、2)2)(4(4、5)5)(0(0、0)0)(0(0、0)0)7 78 8y yx x单元单元：=0 0 12.67 3976T0 0 1 2单元单元：=12.67 3976 254.3 12.67 3976 254.3T1 2 3 4 5 69-99-9桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析=50.68 100 175.6 50.68 100 175.6T=95.02 0 95.02 0T6)6)作内力作内力图M M、F FQ Q、F FN N如下图所示如下图所示.其中利用了对称关系其中利用了对称关系.684.2684.2175.6175.6675.6q l 2/8=500(a)M图图(K Nm)9-99-9桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析10010043.043.0 (b)F Q图图(KN)50.725.325.395.095.0 (c)FN图图(KN)做各单元内力图时应做各单元内力图时应注注意符号意符号：单元杆端力中符单元杆端力中符号与号与局部坐标系局部坐标系一致为正。一致为正。