数值分析 ch6-2特征值.ppt

微分方程数值解哈工大计算数学7刚性问题刚性问题化学反应、自动控制、电力系统等领域经化学反应、自动控制、电力系统等领域经常遇到一类病态方程组称为刚性方程组或常遇到一类病态方程组称为刚性方程组或者者Stiff方程组。例如方程组。例如 y1=-0.01y1 -99.99y2 y2=-100y2 y1(0)=2,y2(0)=1其解为其解为y1=e-0.01x+e-100 x,y1=e-100 x由于由于e-0.01x 变化很慢，当变化很慢，当x391391时，时，y1 y1(0)/100，即，即y1变化不到变化不到1%。(7-1)4/2/2023阜师院数科院微分方程数值解哈工大计算数学如果用经典的如果用经典的Runge-Kutta方法求解，该方方法求解，该方法的稳定区间是法的稳定区间是(-2.78，0)所以由第二个方所以由第二个方程看到，步长程看到，步长h应该满足应该满足 100h2.78 h0.0278这样，在求解区间（这样，在求解区间（0，391）上必须计算）上必须计算14065步，计算量很大。步，计算量很大。4/2/2023阜师院数科院微分方程数值解哈工大计算数学对于一般问题对于一般问题 y=Ay +b(x)y(x0)=y0 其中其中A是是m阶方阵。阶方阵。如果系数矩阵如果系数矩阵A的特征值的特征值i具有如下特具有如下特征征 Re i 0,它们分它们分别称为第一、二、三边界问题。别称为第一、二、三边界问题。4/2/2023阜师院数科院微分方程数值解哈工大计算数学8-1打靶法打靶法考虑第一边界问题考虑第一边界问题 y=f(x,y,y)x(a,b)(8-1)y(a)=A,y(b)=B (8-2)通常采取逐次逼近的方法，基本过程如下：通常采取逐次逼近的方法，基本过程如下：取初值问题取初值问题y=f(x,y,y)x(a,b)y(a)=A,y(a)=tk (8-3)其中其中tk是一个数列，假设解是是一个数列，假设解是y(x,tk)，而，而且要求且要求y(x,tk)y(b)=B(k)。这时所得的解这时所得的解y(x)就是问题的解。如图就是问题的解。如图4/2/2023阜师院数科院微分方程数值解哈工大计算数学问题归结成非线性问题归结成非线性方程求根问题：方程求根问题：y(x,t)B=0通常可以采取二分通常可以采取二分法、插值法、牛顿法、插值法、牛顿法。并且把这些方法。并且把这些方法称为打靶法。法称为打靶法。y(a)=tk 称为试射称为试射速度。速度。a b xyBy(x,t2)y(x,t1)y(x,t3)y(x,tk)4/2/2023阜师院数科院微分方程数值解哈工大计算数学9有限差分方法有限差分方法的中心思想是有限差分方法的中心思想是:分化区间分化区间a,b，例如，例如h=(b-a)/n,xk=a+kh,k=0,1,n用差商逼近导数，离散方程和边界条件，建用差商逼近导数，离散方程和边界条件，建立关于解函数在离散点处函数值的代数方程立关于解函数在离散点处函数值的代数方程组进行求解。组进行求解。例如例如 y=f(x,y,y)x(a,b)(8-1)y(a)=A,y(b)=B (8-2)用差商代替微商离散化用差商代替微商离散化4/2/2023阜师院数科院微分方程数值解哈工大计算数学略去高阶无穷小，得到相应的非线性方程略去高阶无穷小，得到相应的非线性方程组组4/2/2023阜师院数科院