线性代数4-4.ppt

444 4 行列式按一行（列）展开行列式按一行（列）展开 降阶降阶可以将较高阶的行列式的计算转化为可以将较高阶的行列式的计算转化为较低阶的行列式计算，它所用的基本方法是把较低阶的行列式计算，它所用的基本方法是把行列式按一行（列）展开。行列式按一行（列）展开。由剩余的由剩余的(n-1)2个元素按原来的排法构成一个个元素按原来的排法构成一个n-1阶的行列式阶的行列式定义定义 在在n阶行列式阶行列式D=中，划去元素中，划去元素 所在的第所在的第i行和第行和第j列，列，称之为元素称之为元素 的的余子式余子式，记为，记为 ；称；称 为元素为元素 的的代数余子式代数余子式，记为，记为 。例如例如定理定理 n 阶行列式阶行列式 等于它的任意一行（列）的所有元素与它们各自的代数等于它的任意一行（列）的所有元素与它们各自的代数余子式的乘积之和，即余子式的乘积之和，即 称上式为行列式称上式为行列式D按第按第 i 行展开行展开(i=1,2,n)。例例 计算行列式计算行列式解解按按第一行展开，得第一行展开，得按第二行展开，得按第二行展开，得例例3 证证用用数学归纳法数学归纳法例例证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式对对 n 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式做变换i=n-1,n-2,1 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式例例 计算行列式计算行列式解解 用加边升阶法。用加边升阶法。加边加边例例则则定理定理 n 阶行列式阶行列式 的的一行（第一行（第i 行）行）元素与元素与另一行（第另一行（第j 行）行）对应元素的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即代数余子式乘积之和等于零，即 ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=行列式计算的常用方法：行列式计算的常用方法：（1）对角线法则；对角线法则；（2）利用性质；利用性质；（3）变形为三角形行列式；变形为三角形行列式；（4）降低行列式的阶数；降低行列式的阶数；（5）利用与矩阵的关系。利用与矩阵的关系。求求第一行各元素的代数余子式之和第一行各元素的代数余子式之和思考题思考题解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成