第四章态和力学量的表象用.ppt

Chap.4 The representation for the states and dynamical variable1ChChapterapter.4.4 态和力学量的表象态和力学量的表象西安电子科技大学技术物理学院量子力学课程组西安电子科技大学技术物理学院量子力学课程组The representation for the states and dynamical variableThe representation for the states and dynamical variable Chap.4 The representation for the states and dynamical variable2引引 言言 按量子力学基本原理，按量子力学基本原理，体系体系的状态用波函数描述，的状态用波函数描述，力学量用线性厄米算符力学量用线性厄米算符表示表示。前面所使用的波函数及。前面所使用的波函数及力学量算符是以坐标这个力学量算符的本征值为变量力学量算符是以坐标这个力学量算符的本征值为变量写出它们写出它们的的具体形式的。那么，是否还可以选择其它具体形式的。那么，是否还可以选择其它力学量力学量算符的本征值作为变量而写出波函数及力学量算符的本征值作为变量而写出波函数及力学量算符的具体形式算符的具体形式呢？回答是肯定的。呢？回答是肯定的。这就是说这就是说量子力量子力学中学中波函数和力学量算符波函数和力学量算符的的描述方式不是唯一的描述方式不是唯一的，这，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。的描写是完全是等价的。量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable3动动量量表表象象能能量量表表象象角角动动量量表表象象常常 用用 的的 表表 象象坐坐标标表表象象 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable4n4.1 态的表象态的表象 The representation of the state n4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示 Matrix representation of operatorsn4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示 Matrix representation of formula for quantum mechanismn4.4 幺正变换幺正变换 Unitary transformationn4.5 狄喇克符号狄喇克符号 Dirac symbolsn4.6 线形谐振子与占有数表象线形谐振子与占有数表象 Linear oscillator and occupation number representation 研研究究内内容容 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable5重重点点掌掌握握的的内内容容 二个表示：二个表示：态在任意表象中的表示；态在任意表象中的表示；算符在任意表象中的表示。算符在任意表象中的表示。三个公式：三个公式：在任意表象中在任意表象中的表示的表示平均值公式平均值公式本征值方程本征值方程薛定谔方程薛定谔方程 狄喇克符号及应用狄喇克符号及应用 幺正变换的基本性质幺正变换的基本性质表象的定义表象的定义 一个定义：一个定义：产生算符、湮灭算符、粒子数算符及它产生算符、湮灭算符、粒子数算符及它 们们的物理意义的物理意义 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable6矩阵力学矩阵力学主要数学工具主要数学工具矩矩 阵阵 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable71 1态的动量表象态的动量表象4.1 态的表象态的表象动量算符本征函数：动量算符本征函数：组成组成完备系完备系展开系数展开系数构成付构成付里叶变里叶变换与逆换与逆变换变换 从数学上从数学上讲，讲，知道其一知道其一,必可唯一地求出另一。必可唯一地求出另一。从物理角度从物理角度看看，描述粒子状态，那么描述粒子状态，那么 也可用于描述粒子也可用于描述粒子同一同一状态。状态。任一状态任一状态 可按其展开：可按其展开：Chap.4 The representation for the states and dynamical variable8 称为坐标表象中的称为坐标表象中的状态状态波函数，波函数，称称为为动量表象中的动量表象中的状态状态波函数。波函数。4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）物理意物理意义？是在是在 所描写的状态中，测量所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果粒子的位置所得结果为为 的几率。的几率。是在是在 所描写的状态中，测量粒所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果为子的动量所得结果为 的几率。的几率。两者从不同的侧面两者从不同的侧面描写粒子的状态描写粒子的状态,给出了粒子的给出了粒子的不同不同信息（力学量信息（力学量 和和 的信息）。的信息）。Chap.4 The representation for the states and dynamical variable9证（归一化条件）（归一化条件）命命题若若 是归一化波函数，则是归一化波函数，则 也归一。也归一。4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable102 2Q Q 表象表象力学量算符力学量算符 的正交归一的本征函数的正交归一的本征函数完备完备系：系：任一状态任一状态 可按其展开：可按其展开：展开系数：展开系数：由由上上述述两两式式给给出出了了 与与 函函数数集集之之间间的相互变换关系，将的相互变换关系，将 写成矩阵写成矩阵本征方程：本征方程：4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable11 给出在给出在 态中测量粒子的力学量态中测量粒子的力学量Q Q 取取值的几率值的几率 对对于于 与与 ，知知道道其其一一就就可可求求得得另另一一，因因而而 与与 描描述述粒粒子子同同一一状状态态。是是粒粒子状态波函数在子状态波函数在Q Q 表象中的表示，称为表象中的表示，称为Q Q 表象波函数表象波函数4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable12归一化条件归一化条件（归一化条件的矩阵（归一化条件的矩阵 表述形式）表述形式）以以上上讨讨论论可可推推广广到到 Q Q 有有连连续续谱谱的的情情况况。粒子处于一维无限深势阱的基态：粒子处于一维无限深势阱的基态：求该态在动量和能量表象中的表示形式求该态在动量和能量表象中的表示形式。Ex.1.4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）注注 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable13动量本征函数动量本征函数Solve选择动量表象选择动量表象:展开系数展开系数：4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable14能量表象能量表象：本征函数本征函数可见能量算符的本征函数在能量自身表象中取可见能量算符的本征函数在能量自身表象中取符号形式。符号形式。4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable15基态的表示基态的表示 一般结论一般结论:力学量算符属于分立本征值的本征函数力学量算符属于分立本征值的本征函数在该力学量自身表象中为一在该力学量自身表象中为一符号符号,其矩阵为单位元其矩阵为单位元矩阵。矩阵。能级态的表示能级态的表示第第n n行行4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable16Ex.2:Solve：自由粒子自由粒子动动量量算符的算符的本本征函数征函数 求自由粒子动量算符求自由粒子动量算符 具有确定本征值具有确定本征值 的本征函数在动量自身表象中的形式的本征函数在动量自身表象中的形式Ch.4 The representation for the states and dynamical variable 动量算符动量算符 具有确定本征值具有确定本征值 的本征函数的本征函数:可见，动量算符具有确定本征动量值可见，动量算符具有确定本征动量值 的本征函数的本征函数在动量自身表象中是以动量在动量自身表象中是以动量 为变量的为变量的函数。函数。4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable17动量算符的本征方程动量算符的本征方程一般结论一般结论:力学量算符属于连续本征值的本征函数在力学量算符属于连续本征值的本征函数在该力学量自身表象中为一该力学量自身表象中为一函数函数。Ch.4 The representation for the states and dynamical variable在坐标表象中，坐标算符在坐标表象中，坐标算符 的本征函数的本征函数同样同样4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）本征值方程本征值方程:Chap.4 The representation for the states and dynamical variable18以以上上讨讨论论与与三三维维矢矢量量空空间矢量的表示很类似间矢量的表示很类似。H Hi il lb be er rt t空空间间与与态态矢矢量量在在三三维维矢矢量量空空间间选选一一组组正正交交归一完备基归一完备基正交归一条件正交归一条件4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable19HilbertHilbert空间：空间：满足态迭加原理的状态全体构成的复满足态迭加原理的状态全体构成的复 线性空间线性空间 态矢量：态矢量：HilbertHilbert空间中的矢量，即体系的状态波空间中的矢量，即体系的状态波 函数视为一个矢量称为函数视为一个矢量称为态矢量态矢量（简称（简称态矢态矢）力学量力学量算符算符 的正交归一完备函数系的正交归一完备函数系 构成构成HilbertHilbert空间中的一组正交空间中的一组正交归一归一完备基底。完备基底。任一态矢任一态矢4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）注意：注意：由于波函数必须归一化，因而态矢的大小一由于波函数必须归一化，因而态矢的大小一定，不同的态矢只是方向不同。定，不同的态矢只是方向不同。Chap.4 The representation for the states and dynamical variable20表象与表象与几何空间坐标系几何空间坐标系的比较的比较4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable21量子力学表象量子力学表象几何空间坐标系几何空间坐标系某某一表象一表象本征本征态态矢量矢量某一坐标系的一组基矢 正交正交归一归一正交正交归一归一量子态量子态矢量：矢量：矢量矢量:4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable22选定一个特定选定一个特定 表象，就相当于在表象，就相当于在HilbertHilbert空间空间中中选选定一个特定的坐标系定一个特定的坐标系,力学量力学量算符算符 的正交归一的正交归一完备函数系完备函数系 构成构成HilbertHilbert空间中的一组正交空间中的一组正交归归一一完备基底。完备基底。.任意态矢量任意态矢量 在在 表象中的表示表象中的表示是是一一列矩阵，列矩阵，矩阵元矩阵元 是态矢量是态矢量 在在 算符的本征矢算符的本征矢 上的投影。上的投影。3 3选取不同力学量选取不同力学量表象表象，就是选取不同完备正交基，就是选取不同完备正交基底，态矢底，态矢的的表述具有不同矩阵形式，这就是态的不同表述具有不同矩阵形式，这就是态的不同表象波函数。表象波函数。结结论论4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable23作业4.1 4.1 态的表象态的表象（续（续5）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable244.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示力学量算符在坐标表象与动力学量算符在坐标表象与动 量表象中的表示量表象中的表示坐坐 标标 表表 象象动动 量量 表表 象象问问题题力学量算符力学量算符在在 表象中如表象中如何表示？何表示？在在坐坐标标表表象象中中，力力学学量量 F F 用用算算符符 表表示，设示，设 作用于作用于 得到得到 。Chap.4 The representation for the states and dynamical variable25（1）即即 选定力学量选定力学量 表象，表象，算符的算符的正交归一的本征函正交归一的本征函数数完备完备系记为系记为将将 和和 分别按函数系分别按函数系 展开展开代入坐标表象表达式（代入坐标表象表达式（1 1）以以 乘该式，对乘该式，对 全部范围积分全部范围积分4.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable26记为记为记为记为矩阵矩阵 和和 分别是分别是波函数波函数 和和 在在Q Q 表象中表象中的形式。的形式。Q Q表象的表表象的表达方式达方式4.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示（续（续2）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable27讨讨 论论1 1 是厄米矩阵是厄米矩阵Prove：显而易见，对角矩阵元为实数显而易见，对角矩阵元为实数可可见见，算算符符 在在Q Q表表象象中中是是一一个个矩矩阵阵 ，其其矩矩阵元为阵元为即即 是厄米矩阵。是厄米矩阵。4.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示（续（续3）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable282 2力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵。力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵。3 3当当 具具有有连连续续本本征征值值谱谱 时时，力力学学量量算算符符的的表表示矩阵元示矩阵元4.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示（续（续4）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable29 在在Q Q 表象中乃是一个矩阵，不过其行列不再表象中乃是一个矩阵，不过其行列不再是可数的，故用连续变化的下脚标表示。是可数的，故用连续变化的下脚标表示。求求力力学学量量算算符符矩矩阵阵的的关关键键是是求求其其矩矩阵阵元元Ex：设一维粒子设一维粒子Hamilton量量 1、求、求x表象中表象中x,p和和H的的“矩阵元矩阵元”，2、求、求p表象中表象中x,p和和H的的“矩阵元矩阵元”。Solve：1、在在 表象表象中中，的本征函数的本征函数4.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示（续（续5）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable302、在在 象中，象中，算符的本征函数算符的本征函数4.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示（续（续6）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable314.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示（续（续7）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable321 1归一化条件归一化条件4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable332 2、平平均均值值公公式式4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续1）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable34其中其中为算符为算符 的矩阵元的矩阵元在在 表象中：表象中：（续（续7）4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable354.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续3）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable363 3、本征值方程、本征值方程在在Q Q表象中，其矩阵形式为表象中，其矩阵形式为：（1 1）移项得移项得：4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续4）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable37（m=1m=1，2 2，3 3）（2 2）此式即为线性齐次方程组：此式即为线性齐次方程组：非零解的条件是系数行列式等于非零解的条件是系数行列式等于0 0，即久期方程：，即久期方程：4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续5）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable38求出本征值求出本征值将每个将每个 值分别代入矩阵方程（值分别代入矩阵方程（1 1）或（）或（2 2），求出），求出,即得本征函数即得本征函数 这样变解微分方程这样变解微分方程为解代数方程。为解代数方程。4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续6）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable39 Ex.已知在已知在 和和 的共同表象中，算符的共同表象中，算符 和和 的矩阵分别为的矩阵分别为求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将矩阵求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将矩阵 和和 对角化。对角化。本征方程为本征方程为Solve:设设 的本征值为的本征值为 ,本征波函数为本征波函数为4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续7）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable40 要使本征波函数不为零，亦即要求要使本征波函数不为零，亦即要求a,b,ca,b,c不全为零，不全为零，其条件是（其条件是（1 1）中的系数矩阵的行列式为零。）中的系数矩阵的行列式为零。（1 1）久期方程久期方程本征值本征值 4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续8）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable41当当 时，时，由（由（2 2）有）有4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续9）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable42由归一化条件由归一化条件:4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续10）归一化常数归一化常数归一化的波函数归一化的波函数 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable43当当 时时,由（由（2 2）有）有4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续11）归一化条件归一化条件归一化的归一化的波函数：波函数：Chap.4 The representation for the states and dynamical variable44当当 ,由（由（2 2）有：）有：4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续12）归一化条件归一化条件归一化的归一化的波函数：波函数：Chap.4 The representation for the states and dynamical variable45构成一个构成一个正交归一正交归一本征函数本征函数完备系完备系的对角矩阵的对角矩阵正交归一化条件：正交归一化条件：4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续13）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable46 类似地类似地,可求出可求出 的本征值、归一化的本征函数的本征值、归一化的本征函数系和对角阵。系和对角阵。本征值本征值 4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（14）本征波函数：本征波函数：正交归一化条件：正交归一化条件：Chap.4 The representation for the states and dynamical variable47的对角矩阵的对角矩阵：4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续15）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable48薛定谔方程薛定谔方程以以 左乘等式两边左乘等式两边,再对再对 变化的整个空间积分变化的整个空间积分,得得n式中n是哈米顿算符 在 表象中的矩阵元,其矩阵形式为48 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable49简写为：简写为：其中其中4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续17）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable504.4 4.4 幺正变换幺正变换为了找到为了找到 和和 的联系，将的联系，将 按按 展开展开：1 1、幺正变换、幺正变换设算符设算符 的正交归一的正交归一本征函数系为本征函数系为 算符算符 的正交归一本的正交归一本征函数系为征函数系为（1 1）（2 2）讨论波函数和力学量从一个表象变换到另一个讨论波函数和力学量从一个表象变换到另一个表象的一般情况表象的一般情况 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable51其展开系数为：其展开系数为：（3 3）（4 4）由由 为为矩矩阵阵元元所所构构成成的的矩矩阵阵称称为为变变换换矩矩阵阵。通通过过（1 1）和（）和（2 2）就把）就把 表象的基矢表象的基矢 变换为变换为 表象的基矢表象的基矢 。由由 和和 的正交归一性有：的正交归一性有：4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续1）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable52同理同理 4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 2）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable53将按展开将按展开:4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 3）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable54即即 是幺正矩阵，由幺正矩阵表示的变换称为幺正是幺正矩阵，由幺正矩阵表示的变换称为幺正变换变换结论结论:一个表象到另一个表象的变换是幺正一个表象到另一个表象的变换是幺正变换。变换。2 2 力学量的表象变换力学量的表象变换力学量力学量 在表象在表象A A中的表示矩阵：中的表示矩阵：在表象在表象B B中的表示矩阵中的表示矩阵：4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 4）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable55此为力学量此为力学量 从表象从表象A A变换到表象变换到表象B B的变换公式的变换公式4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 5）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable563.3.态的表象变换态的表象变换 任意态矢量任意态矢量4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 6）在在A A表象中：表象中：在在B B表象中：表象中：?如何变换如何变换 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable574.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 8）两边左乘两边左乘 ,并对并对 积分积分 写成写成矩阵形式矩阵形式:Chap.4 The representation for the states and dynamical variable58简写为简写为从从B B表象变换到表象变换到A A表象表象 从从A A表象变换到表象变换到B B表象表象 反之，反之，4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 9）4 4.幺幺正正变变换换的的两两个个重重要要性性质质（1 1）幺正变换不改变算符的本征值）幺正变换不改变算符的本征值 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable59 在在 表象中的矩阵为表象中的矩阵为 ,本征矢为本征矢为算符算符 在在 表象中的矩阵为表象中的矩阵为 ,本征矢为本征矢为4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 10）本征方程本征方程本征方程本征方程（1）（2）本征值不变本征值不变比较比较(1)(1)、(2)(2)式式,可知可知 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable60由此定义有由此定义有:故故 迹迹 不不 变变，的的 迹迹 等等 于于 的的 迹迹 4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 12）（2 2）幺正变换不改变矩阵的迹）幺正变换不改变矩阵的迹 矩阵矩阵A A的对角元素之和称为矩阵的对角元素之和称为矩阵A A的迹，以的迹，以 表表示，则示，则 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable61态矢量态矢量 微观体系的状态用一种矢量来表示，这种微观体系的状态用一种矢量来表示，这种矢量称为态矢量矢量称为态矢量 （一般是复矢量）（一般是复矢量）态态矢矢量量空空间间 由由一一切切可可能能的的态态矢矢量量所所构构成成的的一一种种抽抽象的线性空间，称为态矢量空间象的线性空间，称为态矢量空间 (希尔伯特空间希尔伯特空间)。对偶态矢量空间对偶态矢量空间 由共轭态矢量所构成的线性空间由共轭态矢量所构成的线性空间称为对偶态矢量空间。称为对偶态矢量空间。一一、狄狄喇喇克克符符号号的的引引入入4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号刃矢刃矢 表示态矢量空间中一个态矢量表示态矢量空间中一个态矢量,又称为又称为 右矢右矢(ketket)刁矢刁矢 表示对偶态矢量空间中一个态矢量表示对偶态矢量空间中一个态矢量,又又 称为称为左矢左矢（brabra）在在 ketket、brabra中加入符号，可用于表示某具体的态中加入符号，可用于表示某具体的态 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable62在在Q Q表象中的表示表象中的表示在在Q Q表象中的表示表象中的表示 表示波函数表示波函数 所描述的共轭状态所描述的共轭状态即即 表示波函数表示波函数 所描述的状态所描述的状态力学量的本征态，常用本征值或相应的量子数来表示：力学量的本征态，常用本征值或相应的量子数来表示：坐标算符的本征态坐标算符的本征态 （为为 的本征值）的本征值）动量算符的本征态动量算符的本征态 （为为 的本征值）的本征值）能量算符的本征态能量算符的本征态 或或 （为为 本征值）本征值）4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable63 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable64 坐标坐标算符算符的本征函数正交归一化条件的本征函数正交归一化条件：动量动量算符算符的本征函数正交归一化条件：的本征函数正交归一化条件：则其正交归一化条件为则其正交归一化条件为 对连续值谱，对连续值谱，正交归一化条件为：正交归一化条件为：Ex:若力学量算符若力学量算符 的本征矢记为的本征矢记为 ，本征值为，本征值为 和和 的共同本征函数正交归一化条件：的共同本征函数正交归一化条件：4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable65三三、态态矢矢量量在在具具体体表表象象中中的的表表示示分立谱情况分立谱情况：考虑考虑 表象，表象，的正交归一本征矢为的正交归一本征矢为 任意态矢任意态矢 按按 展开展开 是是 在基矢在基矢 上的分量上的分量 由由构成构成 在在Q Q表象中的表示。表象中的表示。4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable66 基矢的封闭性关系基矢的封闭性关系 由于态矢由于态矢 是任意的，由上式给出。是任意的，由上式给出。连续连续谱谱情况：情况：基矢用基矢用 表示表示利用利用 可得可得(1)(1)封闭性关系：封闭性关系：4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable67有分立谱又有连续谱的情况，封闭性关系：有分立谱又有连续谱的情况，封闭性关系：Ex.坐标本征函数坐标本征函数 的封闭性的封闭性Ex.动量本征函数动量本征函数 的封闭性的封闭性标标 积积 关关 系系分立谱情况：分立谱情况：4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable68例如坐标表象例如坐标表象连续谱情况连续谱情况令令 4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable69四四、公公 式式 的的 表表 示示1 1平均值平均值 (F F 为本征值为本征值 )在在Q Q 表象中，用表象中，用 的本征刁矢的本征刁矢 左乘左乘2 2本征值方程：本征值方程：利用基矢利用基矢 的封闭性：的封闭性：4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable70上式可写成上式可写成 3 3薛定格方程薛定格方程在在表象中，以表象中，以 左乘左乘 4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号（续）（续）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable71利用封闭性利用封闭性 可得可得4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号（续（续1）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable72哈密顿算符：哈密顿算符：（1 1）1 1 算算 符符 、的的 引引 入入 令令 （3 3）本征能量：本征能量：（2）4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable73则则 或或 令令 （4）（注意）（注意）不是厄米算符不是厄米算符记记 4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续1）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable742 2 、的的对对易易关关系系Prove:4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续2）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable753 3 、的的 物物 理理 意意 义义在坐标表象中，线性谐振子哈密顿算符在坐标表象中，线性谐振子哈密顿算符 的本征函数的本征函数或或4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续3）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable76利用利用4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续4）Chap.4 The representation for the states and dynamical variable77因因 如果不用具体表象，用如果不用具体表象，用DiracDirac符号表示态矢，以上两结果可写为符号表示态矢，以上