第1讲 微分方程模型方法.ppt
二、案例分析二、案例分析一、微分方程模型建模步骤一、微分方程模型建模步骤第一部分第一部分 微分分方程微分分方程 建模基础建模基础1对外经济贸易大学 应用数学系一、举例子说明微分方程模型建模步骤一、举例子说明微分方程模型建模步骤1 翻译或转化：2 匹备物理单位：3 建立表达式：4 确定条件：2对外经济贸易大学 应用数学系1 1 翻译或转化：翻译或转化：在实际问题中许多表示导数的常用词导数的常用词，如“速率”、增长”(在生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等 2 2 建立瞬时表达式：建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变t时，因变量的增量W，建立起在时段t上的增量表达式增量表达式，令t 0，即得到 的表达式3 3 配备物理单位：配备物理单位：在建模中应注意每一项采用同样的物理单位单位 4 4 确定条件：确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻特定时刻或边界上边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。3对外经济贸易大学 应用数学系建立微分方程的方法建立微分方程的方法1、按变化规律直接列方程按变化规律直接列方程：利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律,边际效用递减规律,曲线切线的性质等。这些都涉及某些函数的变化率,我们就可以根据相应的规律,直接列出微分方程.3、模拟近似法模拟近似法：在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。2、微元法建模微元法建模:该方法是寻求一些微元之间的关系式,在建立这些关系式时也要用到已知的规律或定律,与第一种方法不同之处在于这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定律来求关系式,而是对某些微元应用规律.4对外经济贸易大学 应用数学系例例 某人的食量是10467焦天，其中5038焦天用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69焦公斤.天乘以他的体重(公斤)假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪合热量41868焦。试研究此人的体重随时间变化的规律5对外经济贸易大学 应用数学系1、“每天”体重的变化输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量吸收；输出是进行健身训练时的消耗(WPE)2、上述陈述更好的表示结构式：体重的变化天=净吸收量天一WPE天其中：净吸收量天10467 5038 5429（焦天)净输出量天69(焦公斤天)W(公斤)69W(焦天)3、体重的变化天 (公斤天)翻译或转化：翻译或转化：6对外经济贸易大学 应用数学系单位匹配单位匹配有些量是用能量(焦)的形式给出的，而另外一些量是用重量的形式(公斤)给出，考虑单位的匹配，利用建立表达式建立表达式加上初始条件 w=150;(5429-69*w)/41868 ans=-2.34247对外经济贸易大学 应用数学系求解问题求解问题function dx=tizhong(t,w)dx=(10467-5038)-69*w)/41868;ts=1:90;w0=150;t,w=ode45(tizhong,ts,w0);t,wplot(t,w,rd)t,w:88.0000 140.473689.0000 140.371990.0000 140.27038对外经济贸易大学 应用数学系二、案例分析二、案例分析案例案例1某人从某人从正午正午开始清扫某条街的人行道，他的铲雪速度（以开始清扫某条街的人行道，他的铲雪速度（以m3/h度量）和清扫面的宽度均不变。度量）和清扫面的宽度均不变。到到下午下午2点他扫了两个街区点他扫了两个街区，到，到下午下午4点他扫了一个街区点他扫了一个街区。请问：雪是从什么时候开始下的？请问：雪是从什么时候开始下的？假设他没有回头清扫落在已扫过的路面上的雪假设他没有回头清扫落在已扫过的路面上的雪一场降雪开始于午前的某个时刻，并持续到下午，雪量稳定。一场降雪开始于午前的某个时刻，并持续到下午，雪量稳定。9对外经济贸易大学 应用数学系11示示 意意 图图下雪速度：下雪速度：a(单位单位)3/小时小时.面积面积 铲雪速度：铲雪速度：b(单位单位)3/小时小时已知量：已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3 S(t)：正午后正午后t小时的铲雪位移小时的铲雪位移下雪时间：下雪时间：午前午前x010对外经济贸易大学 应用数学系模模 型型t到t+t时刻：（1）铲雪容量：b*t（3）微分表达式：（4）模型：（2）忽略t下雪量，雪量减少容量：下雪速度：a(单位)3/小时.面积11对外经济贸易大学 应用数学系求解求解已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3c,k,x=solve(k*log(x)+c,k*log(x+2)+c-2,k*log(x+4)+c-3)double(c,k,x)-0.4404 2.0781 1.2361 12对外经济贸易大学 应用数学系案例案例2 2 人口指数增长模型人口指数增长模型1.1.指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 (1798)常用的计算公式常用的计算公式今年人口今年人口 x0,年增长率年增长率 rk年后人口年后人口x(t)时刻时刻t的的人口人口基本假设基本假设:人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长.与常用公式的一致与常用公式的一致?13对外经济贸易大学 应用数学系2.2.阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设r固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是是x的减函数的减函数14对外经济贸易大学 应用数学系dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)指数增指数增长模型长模型15对外经济贸易大学 应用数学系
