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第六章第六章 平稳随机过程平稳随机过程6.1 平稳平稳随机过程的概念随机过程的概念 定义定义6.1 设设 X(t)，t T 是是随机过程，随机过程，对任意常数对任意常数 和正整数和正整数n，t1,t2,tn T,t1+,t2+,tn+T，若若(X(t1),X(t2),X(tn)与与 (X(t1+),X(t2+),X(tn+)有相同的联合分布，则称有相同的联合分布，则称 X(t)，t T 为为严平稳过程严平稳过程，也称，也称狭义平稳过程狭义平稳过程。26.1 平稳平稳随机过程的概念随机过程的概念 定义定义6.2 设设 X(t)，t T 是是随机过程，随机过程，并满足：并满足：(1)(1)X(t)，t T 是二阶矩过程；是二阶矩过程；(2)(2)对任意对任意t T，mX(t)=EX(t)=常数；常数；(3)(3)对任意对任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(t-s)，则称则称 X(t)，t T 为为宽平稳过程宽平稳过程，也称，也称广义平稳过程广义平稳过程，简称，简称平稳过程平稳过程。若若T为离散集，为离散集，称称平稳过程平稳过程 Xn，n T 为为平稳序列平稳序列。36.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念宽平稳过程宽平稳过程 严平稳过程严平稳过程严平稳过程严平稳过程 宽平稳过程宽平稳过程严平稳过程严平稳过程 宽平稳过程宽平稳过程正态过程正态过程二阶矩存在二阶矩存在46.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念例例6.1 设设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t),t0，且且Y,Z相互独立，相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2，试讨论随机过程试讨论随机过程X(t),t0的平稳性的平稳性。解解 56.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念 所以所以 X(t)，t T 为宽平稳过程。为宽平稳过程。66.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念例例6.2 设设Xn,n=0,1,2,是实的互不是实的互不相关随机变量序列，且相关随机变量序列，且EXn=0，DXn=2，试讨论随机序列的平稳性，试讨论随机序列的平稳性。解解 因为因为EXn=0，所以所以Xn,n=0,1,2,是平稳随机序列。是平稳随机序列。76.2 联合平稳联合平稳随机过程随机过程 定义定义6.4 设设 X(t)，t T 和和 Y(t)，t T 是两个平稳是两个平稳过程，若它们的互相关函过程，若它们的互相关函数数EX(t)Y(t-)及及EY(t)X(t-)仅与仅与 有关，有关，而与而与t无关，即无关，即 RXY(t,t-)=EX(t)Y(t-)=RXY()RYX(t,t-)=EY(t)X(t-)=RYX()则称则称X(t)和和Y(t)是是联合平稳随机过程联合平稳随机过程。106.2 6.2 联合平稳随机过程联合平稳随机过程 命题：当命题：当X(t)和和Y(t)是联合平稳随机过程是联合平稳随机过程 时，时，W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程是平稳随机过程。事实上，事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数，常数，116.3 随机分析简介随机分析简介微积分中普通函数的连续、导数和积分微积分中普通函数的连续、导数和积分等概念推广到随机过程的连续、导数和等概念推广到随机过程的连续、导数和积分上即随机分析积分上即随机分析156.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定义定义6.5 设有二阶矩随机序列设有二阶矩随机序列Xn和二和二阶矩随机变量阶矩随机变量X，若有若有 成立，则称成立，则称Xn均方收敛均方收敛于于X。记作记作 或或(mean square)(limit in mean)166.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定理定理6.1（柯西收敛定理）（柯西收敛定理）二阶矩随机序列二阶矩随机序列Xn收敛于二阶矩随机收敛于二阶矩随机变量变量X的充要条件是的充要条件是176.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定理定理6.2 设设Xn,Yn,Zn,都是二阶矩随都是二阶矩随机序列，机序列，U是二阶矩随机变量，是二阶矩随机变量，cn为常为常数序列，数序列，a,b,c为常数，令为常数，令 则则(1)(2)(3)186.3 6.3 随机分析简介随机分析简介(4)(5)(6)196.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定理定理6.3 设设Xn 为二阶矩随机序列，为二阶矩随机序列，则则Xn均方收敛的充要条件是下列极限均方收敛的充要条件是下列极限存在存在206.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定义定义6.6 设有二阶矩过程设有二阶矩过程X(t),t T，若对每一个若对每一个t T，有，有 则称则称X(t)在在t点均方连续，记作点均方连续，记作 若对若对T中的一切点都均方连续，则称中的一切点都均方连续，则称X(t)在在T上上均方连续均方连续。216.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定理定理6.4（均方连续准则）（均方连续准则）二阶矩过程二阶矩过程X(t),t T，在在t点均方连续点均方连续的充要条件为相关函数的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点在点(t,t)处连续。处连续。推论推论 若相关函数若相关函数RX(t1,t2)在在(t,t)，t T上连续，则它在上连续，则它在T T上连续。上连续。226.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定义定义6.7 二阶矩过程二阶矩过程X(t),t T，若存若存在随机过程在随机过程X(t)，满足满足 则称则称X(t)在在t点点均方可微均方可微，记作记作 并称并称X(t)为为X(t)在在t点的点的均方导数均方导数。236.3 6.3 随机分析简介随机分析简介若若X(t)在在T上每一点均方可微，则称上每一点均方可微，则称X(t)在在T上均方可微。上均方可微。类似地可定义二阶均方导数类似地可定义二阶均方导数相关函数相关函数RX(t1,t2)的广义二阶导数定义为的广义二阶导数定义为246.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定理定理6.5（均方可微准则）（均方可微准则）二阶矩过程二阶矩过程X(t),t T，在在t点均方可点均方可微的充要条件为相关函数微的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点在点(t,t)的广义二阶导数存在。的广义二阶导数存在。推论推论1 二阶矩过程二阶矩过程X(t),t T 在在T上均上均方可微的充要条件为相关函数方可微的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在在(t,t)，t T上每一点广义二阶可微。上每一点广义二阶可微。推论推论2 若相关函数若相关函数RX(t1,t2)在在(t,t)，t T上每一点广义二阶可微，则上每一点广义二阶可微，则256.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 266.3 6.3 随机分析简介随机分析简介均方积分均方积分设设X(t),t T为二阶矩过程，为二阶矩过程，f(t)为普通为普通函数，其中函数，其中T=a,b，用一组分点将用一组分点将T划分划分如下：如下：a=t0t1tn=b，276.3 6.3 随机分析简介随机分析简介定义定义6.8 如果当如果当 n0时，时，Sn均方收敛于均方收敛于S，即即 ，则称在，则称在区间区间a,b上上均方可积均方可积，并记为，并记为286.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定理定理6.6（均方可积准则）（均方可积准则）f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方可积的充要条上均方可积的充要条件为件为 存在，存在，特别地，二阶矩过程特别地，二阶矩过程X(t)在区间在区间a,b上上均方可积的充要条件为均方可积的充要条件为RX(t1,t2)在在a,b a,b上可积。上可积。296.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定理定理6.7 设设 f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方上均方可积，则有可积，则有(1)(2)306.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定理定理6.8 设二阶矩过程设二阶矩过程X(t),t T 在区在区间间a,b上均方连续，则上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程在均方意义下存在，且随机过程Y(t),t T在区间在区间a,b上均方可微，上均方可微，有有Y(t)=X(t)。推论推论 设设X(t)均方可微，且均方可微，且X(t)均方连均方连续，则续，则316.3 6.3 随机分析简介随机分析简介例例6.5 设设 X(t),t T 是实均方可微过是实均方可微过程，求其导数过程程，求其导数过程X(t),t T的协方差的协方差函数函数BX (s,t)。解解 由定理由定理6.5推论推论2(1)由定理由定理6.6推论推论2(4)326.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 所以所以336.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 定义定义6.9 设设 X(t),-t 是均方连续是均方连续的平稳过程，则的平稳过程，则时间均值时间均值时间相关函数时间相关函数346.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 定义定义6.10 设设 X(t),-t 是均方是均方连续的平稳过程，连续的平稳过程，若若 则称平稳过程的则称平稳过程的均值具有遍历性均值具有遍历性；若若 则称平稳过程的则称平稳过程的相关函数具有遍历性相关函数具有遍历性。356.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 定义定义6.11 如果均方连续的平稳过程如果均方连续的平稳过程X(t),-t 的均值和相关函数都具有的均值和相关函数都具有遍历性，则称该遍历性，则称该平稳过程具有遍历性平稳过程具有遍历性。例例6.9 设随机相位过程设随机相位过程X(t)=acos(t+)，a,为常数，为常数，为服从为服从(0,2)上均匀上均匀分布的随机变量，讨论分布的随机变量，讨论X(t)的的遍历性。遍历性。解解366.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 376.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 386.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 396.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性例例6.7 讨论讨论随机过程随机过程X(t)=Y的的遍历性，其遍历性，其中中Y是方差不为零的随机变量。是方差不为零的随机变量。解解 X(t)=Y是平稳过程，因为是平稳过程，因为 EX(t)=EY=常数，常数，故均值不具有遍历性。406.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 416.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性定理定理6.10 对于均方连续平稳过程对于均方连续平稳过程X(t),-t ，均值遍历的充要条件是均值遍历的充要条件是42436.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 定理定理6.11 对于均方连续平稳过程对于均方连续平稳过程X(t),-t ，相关函数各态历经的充要相关函数各态历经的充要条件是条件是 其中其中44