高等数学第二章.ppt

湖南教育出版社湖南教育出版社第二章 导数与微分 2.1 导数的概念2.2 函数的和、差、积、商的求导法则2.3 复合函数的求导法则2.4 隐函数的导数2.5 初等函数的导数2.6 导数的经济定义2.7 高阶导数2.8 函数的微分湖南教育出版社湖南教育出版社下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.1导数的概念导数的概念1.导数的定义导数的定义2.导数的几何意义导数的几何意义3.可导与连续的关系可导与连续的关系首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.1导数的概念导数的概念1.导数的定义导数的定义例例1：求变速直线运动的瞬时速度求变速直线运动的瞬时速度.设物体作变速直线运动，它的运动方程设物体作变速直线运动，它的运动方程取从取从 时刻到时刻到 这段时间间隔，时间的增量为这段时间间隔，时间的增量为 ，物体，物体运动路程的增量为运动路程的增量为瞬时速度瞬时速度v，即可定义，即可定义 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.1导数的概念导数的概念例例2：求曲线切线的斜率求曲线切线的斜率.如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转旋转而趋向极限位置而趋向极限位置MT,直直线线MT就称为就称为http:/曲曲线线C在点在点M处的处的切线切线.设曲线设曲线C所对应的函数为所对应的函数为其中其中是割线是割线MN的倾斜角的倾斜角.首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.1导数的概念导数的概念定义定义1设函数设函数y=f(x)在点在点x0的的湿疹偏方湿疹偏方某个邻域内有某个邻域内有定义，当定义，当自变量自变量x在点在点x0处有增量处有增量D D x（点（点x0+D D x仍在该邻域内）时，仍在该邻域内）时，函数有相应的增量函数有相应的增量如果当如果当 时，两个增量之比的极限时，两个增量之比的极限存在，则称函数存在，则称函数y=f(x)在点在点x0处处可导可导，并称这个极限值为函数，并称这个极限值为函数y=f(x)在点在点x0处的处的导数导数，记作：，记作：首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.1导数的概念导数的概念即即此时，也称函数此时，也称函数y=f(x)在点在点x0处具有导数，或处具有导数，或导数存在导数存在。如果上述极限不存在，则称函数如果上述极限不存在，则称函数y=f(x)在点在点x0处处不可导不可导，如果极限为无穷大，这时函数如果极限为无穷大，这时函数y=f(x)在点在点x0处不导，但为了方处不导，但为了方便，也称函数便，也称函数y=f(x)在点在点 的导数是无穷大。的导数是无穷大。首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.1导数的概念导数的概念注意注意 上述导数的定义式还有以下几种常用的形式：可以看到，在导数的定义中，比值首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.1导数的概念导数的概念例例3：求函数求函数f(x)=x2在点在点 x=x0处的导数处的导数.解解：给自变量给自变量x在在x=1处以增量处以增量x,对应函数的增量是对应函数的增量是两个增量之比是两个增量之比是对上式两端取极限，得对上式两端取极限，得首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.1导数的概念导数的概念定义定义2如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间I内的每一点内的每一点x都有导数都有导数,则称函则称函数数y=f(x)在区间在区间I内可导内可导,这时这时,对于区间对于区间I内每一点内每一点x,都都有一个导数值有一个导数值f(x)与它对应与它对应,因此因此f(x)是是x的函数的函数,称称为为x的的导函数导函数,记作记作即即首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例4 设设 ,求：求：解解于是于是2.1导数的概念导数的概念首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.1导数的概念导数的概念用定义求导数，可分为以下三个步骤：用定义求导数，可分为以下三个步骤：（1）求增量求增量 给自变量x以增量x，湿疹偏方湿疹偏方求出对应的函数增量（2）算比值算比值 计算出两个http:/增量的比值（3）取极限取极限 对上式两端取极限首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例5 求函数求函数f(x)=c(c为常数为常数)的导数的导数.（1）求增量）求增量（2）算比值）算比值（3）取极限）取极限即即2.1导数的概念导数的概念解解首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例6 求函数求函数f(x)=x3的导数的导数.解解（1）求增量）求增量（2）算比值）算比值（3）取极限）取极限2.1导数的概念导数的概念首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.1导数的概念导数的概念例例7 求函数求函数y=sinx的导数的导数.（2）算比值）算比值（3）取极限）取极限即即首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社 例例8 求函数求函数的导数的导数.解解（1）求增量）求增量（2）算比值）算比值（3）取极限）取极限即即特别地，当特别地，当a=e时，时，lne=1,则则2.1导数的概念导数的概念首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例9 2.1导数的概念导数的概念令令则则即即解解（1）求增量）求增量（2）算比值）算比值（3）取极限）取极限首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.1导数的概念导数的概念2.导数的几何意义导数的几何意义首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.1导数的概念导数的概念例例10 求曲线求曲线在点（在点（2，8）湿疹偏方湿疹偏方处得切线方程和法处得切线方程和法线方程。线方程。解解 在点（在点（2，8）处的切线斜率为）处的切线斜率为所以，所求切线方程为所以，所求切线方程为所求法线斜率为所求法线斜率为于是所求法线方程为于是所求法线方程为首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社定理定理3.可导与连续的关系可导与连续的关系如果函数如果函数y=f(x)在点在点x0处可导，则它在点处可导，则它在点x0处处一定连续一定连续.注意注意上述定理的逆定理是不成立的上述定理的逆定理是不成立的.例如例如，函数，函数在在x=0连续但不可导，因为连续但不可导，因为于是有于是有2.1导数的概念导数的概念首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.2 函数的和、差、商的求导法则函数的和、差、商的求导法则1.函数和、差的求导法则函数和、差的求导法则2.函数积的求导法则函数积的求导法则3.函数商的求导法则函数商的求导法则首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.2 函数的和、差、商的求导法则函数的和、差、商的求导法则1.函数和、差的求导法则函数和、差的求导法则定理定理1如果函数如果函数u=u(x)和和v=v(x)在点在点x处都可导，则函数处都可导，则函数f(x)=u(x)+v(x)在点在点x处可导，且处可导，且 由此可得函数和差的求导法则：由此可得函数和差的求导法则：两个可导函数的和（差）两个可导函数的和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差）.例例1 求求的导数的导数.解解首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.2函数的和、差、商的求导法则函数的和、差、商的求导法则例例2 设设，求，求解解定理定理2如果函数如果函数u=u(x)和和v=v(x)在点在点x处都可导，则函数处都可导，则函数f(x)=u(x)v(x)在点在点x处可导，且处可导，且 由此可得函数积的求导法则：由此可得函数积的求导法则：两个可导函数积的导数等于两个可导函数积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数子的导数.2.函数积的求导法则函数积的求导法则首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.2函数的和、差、商的求导法则函数的和、差、商的求导法则例例3 求求的导数的导数.解解 例例4 求求的导数的导数.解解 例例5 求求的导数的导数.解解 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社定理定理32.2函数的和、差、商的求导法则函数的和、差、商的求导法则如果函数如果函数u=u(x)和和v=v(x)在点在点x处都可导，且处都可导，且则函数则函数f(x)=u(x)/v(x)在点在点x处可导，且处可导，且 由此可得函数商的求导法则：由此可得函数商的求导法则：两个可导函数的商的导数等两个可导函数的商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积，再于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积，再除以分母的平方除以分母的平方.3.函数商的求导法则函数商的求导法则首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.2 函数的和、差、商的求导法则函数的和、差、商的求导法则例例6 求函数求函数的导数的导数.例例7 求函数求函数的导数的导数.解解 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.2函数的和、差、商的求导法则函数的和、差、商的求导法则例例8 求函数求函数的导数的导数.即即 解解 类似地，可以求得余割函数的导数公式类似地，可以求得余割函数的导数公式首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.3复合函数的求导法则复合函数的求导法则定理定理如果函数如果函数在点在点x处可导，而函数处可导，而函数在对应点在对应点处可导，则复合函数处可导，则复合函数在点在点x处可导，且其导数为处可导，且其导数为 由此可得函数商的求导法则：由此可得函数商的求导法则：两个可导函数的复合函数的两个可导函数的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.复合函数的求导法则也称为链式法则链式法则，它可以推广到多个变量的的情形.首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.3 复合函数的求导法则复合函数的求导法则例例1 求函数求函数的导数的导数.解解 例例2 求函数求函数的导数的导数.解解 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.3 复合函数的求导法则复合函数的求导法则例例3 求函数求函数的导数的导数.解解 例例4 求函数求函数的导数的导数.解解 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.3复合函数的求导法则复合函数的求导法则例例5 求函数求函数的导数的导数.解解 例例6 求函数求函数的导数的导数.解解 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.3复合函数的求导法则复合函数的求导法则例例7 求函数求函数的导数的导数.解解 例例8 证明幂函数的导数公式：证明幂函数的导数公式：证证 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.4 隐函数的导数隐函数的导数我们把由方程我们把由方程所确定的函数叫作所确定的函数叫作隐函数隐函数.例例1 求由方程求由方程所确定的隐函数的导数所确定的隐函数的导数解解 自变量自变量x和函数和函数y之间的函数关系用明显的表达式给出之间的函数关系用明显的表达式给出的函数的函数,叫做叫做显函数显函数.利用复合函数的求导法则，方程两端同时对x求导数,得在方程中，将y看作x的函数，则是x的复合函数.首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.4隐函数的导数隐函数的导数例例2 求由方程求由方程所确定的隐函数的导数所确定的隐函数的导数解解 方程两端对方程两端对x求导数，得求导数，得例例3 求椭圆求椭圆在点在点处的切线方程处的切线方程.解解 所求切线斜率为所求切线斜率为方程两边对方程两边对x求导求导,得得首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.4隐函数的导数隐函数的导数将将代入上式，得代入上式，得于是所求切线方程为于是所求切线方程为即即例例4 求幂指函数求幂指函数的导数的导数.解解 两边取对数，得 两边对x求导，得先取对数先取对数,再利用隐函数的求导法求导的方法叫做再利用隐函数的求导法求导的方法叫做对数求导法对数求导法.对数求导法对数求导法 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.4 隐函数的导数隐函数的导数例例5的导数的导数.解解 例例6 求函数求函数的导数的导数.解解 两边取对数，得 两边对x求导数，得首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例7 求函数求函数2.4 隐函数的导数隐函数的导数的导数的导数.解解 两边对x求导数，得首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例8 求函数求函数的导数的导数.解解 类似地，可求得类似地，可求得2.4 隐函数的导数隐函数的导数两边对x求导数，得首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.5 初等函数的导数初等函数的导数1.导数的基本公式导数的基本公式2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.5 初等函数的导数初等函数的导数1.导数的基本公式导数的基本公式首页首页湖南教育出版社湖南教育出版社2.5 初等函数的导数初等函数的导数2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例1 设设，求，求解解 例例2 设设，求，求解解 2.5 初等函数的导数初等函数的导数首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.5 初等函数的导数初等函数的导数例例3 设设，求，求解解 例例4 设设，求，求解解 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社 2.6导数的经济意义导数的经济意义1.边际分析边际分析2.函数的弹性函数的弹性首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社 2.6导数的经济意义导数的经济意义1.边际分析边际分析一般地一般地,设函数设函数可导，则导数可导，则导数叫作叫作边际函数边际函数.成本函数成本函数的导数的导数叫作叫作边际成本边际成本，收入函数，收入函数的导数的导数叫作叫作边际收入边际收入，利润函数，利润函数的导数的导数叫作叫作边际利润边际利润.“平均平均”“边际边际”首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例1 某产品生产某产品生产x个单位的总成本个单位的总成本C为为x的函数的函数求求:（1）生产）生产1000件产品时的总成本和平均单位成本件产品时的总成本和平均单位成本 （2）生产）生产1000件产品时的边际成本件产品时的边际成本解解 （1）生产）生产1000件产品的总成本为件产品的总成本为每件产品的平均成本为每件产品的平均成本为（2）2.6导数的经济意义导数的经济意义首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社 2.6导数的经济意义导数的经济意义例例2 某企业每月生产的总成本C（千元）是产量x（吨）的函数如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产8吨、10吨、15吨、20吨时的边际利润.解解 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.函数的弹性函数的弹性定义定义设函数设函数可导，函数可导，函数在在x处的增量为处的增量为，自变量的增量为，自变量的增量为，则比值，则比值分别称为在点分别称为在点x处函数处函数y的相对改变量及自变量的相对改变量及自变量x的相对改变量的相对改变量.当当时，两个相对改变量之比的极限时，两个相对改变量之比的极限 2.6导数的经济意义导数的经济意义首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社 2.6导数的经济意义导数的经济意义表示在点表示在点x处函数处函数y的相对变化率的相对变化率,称为函数称为函数y=f(x)在点在点x处的处的弹性弹性,记作记作 经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求的经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求的价格弹性价格弹性.例例3 某部门对市场上某种商品的需求量某部门对市场上某种商品的需求量Q与价格与价格P之间的之间的关系进行研究后，建立了下面的函数关系关系进行研究后，建立了下面的函数关系试求在试求在 、2（元）的价格水平下，需求（元）的价格水平下，需求的价格弹性的价格弹性.首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社 2.6导数的经济意义导数的经济意义解解 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社 2.6导数的经济意义导数的经济意义例例4 某商品的需求函数为某商品的需求函数为（1）求需求的价格弹性）求需求的价格弹性.（2）讨论当价格为多少时，需求是单位弹性、低弹性和有弹）讨论当价格为多少时，需求是单位弹性、低弹性和有弹性的？性的？解解 （1）（2）首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.7 高阶导数高阶导数如果函数如果函数的导函数的导函数仍然可导，则我们把仍然可导，则我们把的导数叫作函数的导数叫作函数的的二阶导数二阶导数，记作，记作即即一般地，一般地，的的阶导数的导数叫作阶导数的导数叫作的的阶导数阶导数，分别记作，分别记作首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例1求函数求函数(a,b,c,为常数为常数)二阶导数二阶导数.解解 对对依次求导，得依次求导，得例例2 设设，求，求解解 2.7 高阶导数高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例3证证 验证函数验证函数（C1,C2为常数）的二阶导数为常数）的二阶导数满足关系式满足关系式例例4 求由方程求由方程所确定的隐函数所确定的隐函数的二阶导数的二阶导数解解 2.7 高阶导数高阶导数首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例5 求求的的阶导数阶导数.解解 一般地，可得一般地，可得例例6解解 求求的的阶导数阶导数.2.7 高阶导数高阶导数一般地，可得一般地，可得首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例7 求求的的阶导数阶导数.解解 例例8 求求(为任意常数为任意常数)的的阶导数阶导数.解解 一般地，可得一般地，可得2.7 高阶导数高阶导数一般地，可得一般地，可得首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例9 已知物体作直线运动的方程是已知物体作直线运动的方程是(都是常数都是常数),求物体运动的加速度求物体运动的加速度.解解 2.7 高阶导数高阶导数速度速度加速度加速度首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.7 高阶导数高阶导数例例10已知物体运动的方程为已知物体运动的方程为，其中，其中都是常数。求物体运动的加速度都是常数。求物体运动的加速度.解解 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.8 函数的微分函数的微分1.微分的定义微分的定义2.微分的几何意义微分的几何意义3.微分公式与微分运算法则微分公式与微分运算法则4.微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.8 函数的微分函数的微分1.微分的定义微分的定义定义定义设函数设函数在点在点处可导，则处可导，则叫作叫作在点在点处的处的微分微分，记作，记作此时，也称函数此时，也称函数在点在点处处可微可微.例例1 求函数求函数当当，时的增量及微分时的增量及微分.解解 即即微商微商首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.微分的几何意义微分的几何意义的纵坐标对应于的纵坐标对应于的增量的增量.2.8函数的微分函数的微分 P TNM）函数函数在点在点的微分就是曲线的微分就是曲线 在点在点处的切线处的切线首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社3.微分公式与微分运算法则微分公式与微分运算法则 I.微分的基本公式微分的基本公式2.8函数的微分函数的微分首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社II函数的和、差、积、商的微分法则函数的和、差、积、商的微分法则2.8函数的微分函数的微分其中其中u，v都是都是x的函数，的函数，C为常数为常数.复合函数的微分法则复合函数的微分法则复合函数的微分法则复合函数的微分法则 如果如果且都可导，且都可导，则复合函数则复合函数 的微分的微分微分形式不变性微分形式不变性 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例2 设设，求，求解解 法一法一 利用微分的定义利用微分的定义 解解 法二法二 利用微分形式不变性利用微分形式不变性 2.8函数的微分函数的微分首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例3 设设，求，求解解2.8函数的微分函数的微分首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例4 求方程求方程确定的隐函数确定的隐函数的微分的微分及导数及导数解解2.8函数的微分函数的微分首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例5在下列等式左边的括号中填入适当的函数，使等式成立在下列等式左边的括号中填入适当的函数，使等式成立.解解（1）一般地，有一般地，有（2）一般地，有一般地，有2.8函数的微分函数的微分首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社4.微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用由微分的概念知，当由微分的概念知，当，且当，且当很小时，有很小时，有（1）（2）（3）利用（利用（1）式可以求解增量）式可以求解增量在在邻近的近似值邻近的近似值.的近似值的近似值,利用利用(2),(3)式式可以求函数可以求函数 2.8函数的微分函数的微分首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例6 有一批半径为有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为一层铜，厚度定为0.01cm.估计一下每只球需要铜多少克估计一下每只球需要铜多少克（铜的密度是（铜的密度是8.9g/cm3)解解于是，每只球需用的铜约为于是，每只球需用的铜约为2.8函数的微分函数的微分镀层的体积等于两个球体积之差镀层的体积等于两个球体积之差首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例7求求的近似值的近似值.解解设设则则所以所以,根据公式根据公式得得 2.8函数的微分函数的微分首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社2.8函数的微分函数的微分（其中（其中（4），（），（5）式中）式中x用弧度作单位）用弧度作单位）.首页首页上页上页下页下页