高等代数第2章行列式.ppt

第第2章章 行列式行列式n2.0 数域数域n2.1 2阶、阶、3阶行列式阶行列式n2.2 n 元排列元排列n2.3 n 阶行列式阶行列式n2.4 n 阶行列式的性质阶行列式的性质n2.5 行列式按一行行列式按一行(列列)展开展开n2.6 Cramer 法则法则n*2.7 Laplace 定理定理0 数域数域数与数集的约定数与数集的约定数与数集的约定数与数集的约定定理定理 任何数域都包含有理数域任何数域都包含有理数域.注：有理数域有理数域Q是最小的数域是最小的数域.用用消元法解二元线性方程组消元法解二元线性方程组2.1.2 二阶行列式二阶行列式方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义1 1即即主主对角线对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶二阶行列式的计算行列式的计算 若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式则二元则二元线性方程组的解为线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.例例例例1 1 1 1解解2.1.3 2.1.3 三阶行列式三阶行列式定义定义定义定义2 2记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标 对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的的系数行列式系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.若记若记或或记记即即得得得得则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:例例例例2 2 2 2 解解解解按按对角线法则，有对角线法则，有例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算三、小结三、小结n说明：说明：(1)(1)项数：项数：2 2阶行列式含阶行列式含2 2项，项，3 3阶行列式含阶行列式含6 6项项,这恰好就是这恰好就是2!,3!.2!,3!.(2)(2)每项构成每项构成:2:2阶和阶和3 3阶行列式的每项分别是位于阶行列式的每项分别是位于不同行不同列的不同行不同列的2 2个和个和3 3个元素的乘积个元素的乘积.(3)(3)各项符号各项符号:2:2阶行列式含阶行列式含2 2项项,其中其中1 1正正1 1负负,3,3阶阶行列式行列式6 6项项,3,3正正3 3负负.对角线法则对角线法则只适用于二阶与三阶行列式只适用于二阶与三阶行列式为此，我们用排列与逆序来定义为此，我们用排列与逆序来定义n阶行列式阶行列式.2.2 2.2 n元排列元排列2.2.1 2.2.1 排列与逆序排列与逆序2.2.2 2.2.2 排列的奇偶性排列的奇偶性2.2.1 2.2.1 排列与逆序排列与逆序定义定义3 3由自然数由自然数1 1，2 2，n 组成的组成的一个有序数组称为一个一个有序数组称为一个n阶阶排列排列.例如：例如：1，2，3，4，55，1，2，3，45，3，2，1，4都是数都是数1，2，3，4，5的一个排列的一个排列.问题：问题：n个数的不同排列有个数的不同排列有 个个.n!自然序排列自然序排列.按数的大小次序，由小到大的排列称为按数的大小次序，由小到大的排列称为定义定义4 4n阶排列阶排列1234 n称为称为n阶阶自然序排列自然序排列.在一个排列中，若某个较大的数排在某个在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆逆序序.一个排列中出现的逆序的总数一个排列中出现的逆序的总数注意注意n阶排列中，自然排列只有一种，阶排列中，自然排列只有一种，除此之外，任一除此之外，任一n阶排列都一定出现较大数码阶排列都一定出现较大数码排在较小数码之前的情况排在较小数码之前的情况.定义定义5 5称为这个排列的称为这个排列的逆序数，逆序数，求排列求排列 3 3，2 2，5 5，1 1，4 4 的逆序数的逆序数.解解（法法1 1）（法（法2 2）例例2求排列求排列 4 4，5 5，3 3，1 1，6 6，2 2 的逆序数的逆序数.例例1解解逆序数为奇数的排列逆序数为奇数的排列奇排列奇排列.逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列偶排列偶排列.定义定义6 6例如例如所以所以32514是是奇排列奇排列.所以所以123 n是是偶偶排列排列.n(n-1)-1)321是是偶偶排列排列.n(n-1)-1)321是是奇奇排列排列.考虑，在考虑，在 1，2，3 的全排列中的全排列中有有 个偶排列个偶排列：有有 个奇排列：个奇排列：123，231，312132，213，32133一般说来，在一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各个数码的全排列中，奇偶排列各占一半占一半.定义定义7 7把一个排列中的任意两个数交换位置，把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码不动，叫做对该排列作一次对其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称换，简称对换对换.将相邻的两个数对换，称为将相邻的两个数对换，称为相邻对换相邻对换.例如例如2.2.2 2.2.2 排列的奇偶性排列的奇偶性定理定理2-1 2-1 一个排列中的任意两个元素对换，排一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性列改变奇偶性证明证明设排列为设排列为对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1,当当 时，时，当当 时，时，经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变，的逆序数减少的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为现来对换现来对换 与与次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.定理定理2-22-2时，时，n n个数的所有排列中，奇偶排列各占个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各一半，各为为个个.证明证明 设设n个数的排列中，个数的排列中，奇排列有奇排列有 p 个，偶排列有个，偶排列有 q 个个，则则 pqn！对对 p 个奇排列，施行同一对换，个奇排列，施行同一对换，则由定理则由定理2-1得到得到 p 个偶排列个偶排列.（而且是（而且是p个不同个不同的偶排列）的偶排列）因为总共有因为总共有 q 个偶排列，所以个偶排列，所以,同理同理所以所以定理定理2-32-3任意一个任意一个n阶排列都可以经过一系列阶排列都可以经过一系列对换变成对换变成自然序排列，自然序排列，并且并且所作对换的次数与所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性该排列有相同的奇偶性.证明证明用数学归纳证明用数学归纳证明当当n=1时时，结论显然成立结论显然成立.假设结论对假设结论对n-1阶排列阶排列成立成立,现证对现证对n阶排列阶排列也成立也成立.由假设知，由假设知，可经过一系列对换变成可经过一系列对换变成自然序排列，从而自然序排列，从而可经过一系列可经过一系列对换变成对换变成自然序排列自然序排列.这就归结为上面的情形，结论成立这就归结为上面的情形，结论成立.所以任意一个所以任意一个n阶排列都可以经过一系列对换变成阶排列都可以经过一系列对换变成自然序排列自然序排列.由于自然序排列是由于自然序排列是偶排列，由偶排列，由定理定理2-12-1，对换一个对换一个改变改变排列奇偶性，所以将一奇排列变成排列奇偶性，所以将一奇排列变成自然序排列自然序排列推论推论需要作奇数次对换，而将一偶排列变成需要作奇数次对换，而将一偶排列变成自然序排列自然序排列则需要作偶数次对换则需要作偶数次对换,证毕证毕.任意两个任意两个n阶排列都可以经过一系列对换阶排列都可以经过一系列对换互变，而且互变，而且若这若这两个两个排列的奇偶性相同，则所作的排列的奇偶性相同，则所作的则所作的对换次数是则所作的对换次数是奇数奇数.对换次数是对换次数是偶数；若这偶数；若这两个两个排列的奇偶性相反，排列的奇偶性相反，作业作业:p96:2,52.3 2.3 n 阶行列式阶行列式2.3.1 2.3.1 n阶行列式的定义阶行列式的定义2.3.2 2.3.2 n阶行列式的计算阶行列式的计算(1)1.概念的引入概念的引入三阶行列式三阶行列式注注（1）项数）项数:三阶共有三阶共有 项，即项，即 项项（2 2）每项构成）每项构成:都是位于不同行不同列的三个都是位于不同行不同列的三个元素的乘积元素的乘积2.3.1 2.3.1 n n阶行列式的定义阶行列式的定义（3）各项符号）各项符号:正负各半正负各半分析发现分析发现,每项的正负号都取决于位于不同行不每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列同列的三个元素的下标排列例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排列奇排列2.2.n n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义说明说明1 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为的符号为2、阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和,其中正负项各其中正负项各各占一半，行列式是一个数各占一半，行列式是一个数;6、上式称为上式称为n阶行列式的阶行列式的完全展开式完全展开式.定理定理2-42-4令令是是n阶行列式中的任一项，阶行列式中的任一项，则项则项的符号等于的符号等于证明证明 由行列式定义可知，确定项由行列式定义可知，确定项的符号的符号，需要把各元素的次序进行调动，使其行标成自然排列需要把各元素的次序进行调动，使其行标成自然排列.为此，我们先来研究若交换项（为此，我们先来研究若交换项（1）中某两个元素的）中某两个元素的位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化.对换任意两元素，相当于项（对换任意两元素，相当于项（1）的元素行标排列及）的元素行标排列及列标排列同时经过一次对换列标排列同时经过一次对换.设对换前行标排列的逆序数为设对换前行标排列的逆序数为s，列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为t.设经过一次对换后行标排列的逆序数为设经过一次对换后行标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为由定理，对换改变排列的奇偶性由定理，对换改变排列的奇偶性所以，所以，是奇数是奇数也是奇数也是奇数所以所以是偶数是偶数，即即是偶数，是偶数，所以所以与与同时为奇数或同时为偶数同时为奇数或同时为偶数.即，交换项（即，交换项（1）中任意两个元素的位置后，其行标）中任意两个元素的位置后，其行标和列标所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变和列标所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变.另一方面，经过若干次对换项（另一方面，经过若干次对换项（1）中元素的次序，）中元素的次序，总可以把项（总可以把项（1）变为）变为所以所以得证得证.由此，得行列式的由此，得行列式的等价定义等价定义(特别地）特别地）例例1 1 在在6 6阶行列式中，下列项应带什么符号阶行列式中，下列项应带什么符号.解解431265的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.342165的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.行标排列行标排列234516的逆序数为的逆序数为列标排列列标排列312645的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.2.3.2 2.3.2 n阶行列式的计算阶行列式的计算(1)-利用定义计利用定义计算算例例2 2计算对角行列式计算对角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 ,同理可得同理可得解解即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为例例3 3 计算上计算上三角行列式三角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解例例4同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式例例5 5 证明证明对角行列式对角行列式证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记则依行列式定义则依行列式定义证毕证毕例例6 6设设证明证明证证由行列式定义有由行列式定义有由于由于 所以所以故故1、行列式是一种特定的、行列式是一种特定的算式算式，它是根据求解，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的要而定义的.2、阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排正负号由下标排列的逆序数决定列的逆序数决定.2.3.3 小结3 3、行列式的、行列式的三种三种表示方法表示方法其中其中 是两个是两个n阶排列，阶排列，为为行行标排列逆序数与标排列逆序数与列列标排列逆序数的和标排列逆序数的和.作业作业:p96:6,7,8(2,3),10性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式.记记2.4 2.4 n 阶阶行列式的性质行列式的性质证明证明按定义按定义例如n说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立.性质性质2 2 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论行列式的某一行（列）中所有元素行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面的公因子可以提到行列式符号的外面记法记法第第s行乘以行乘以k：第第s列乘以列乘以k:性质性质3 3若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.则则D D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如性质性质4 4 如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零则此行列式为零.性质性质5行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零证明证明性质性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如记法记法数数k乘第乘第t 行加到第行加到第s 行上：行上：nnnjninnjinjiaaaaaaaaaaaaLLLMMMMLLLLLL12222111111性质性质7 7 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式行列式变号变号.例如例如记法记法 行列式的第行列式的第s行：行：,交换交换s、t两行：两行：行列式的第行列式的第s列：列：交换交换s、t两列：两列：例例2.5 2.5 行列式计算行列式计算(2)(2)计算行列式计算行列式常用方法常用方法：利用运算把行列式：利用运算把行列式化为上化为上(下）下）三角形行列式三角形行列式，从而算得行列式的，从而算得行列式的值值解解例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将将第第 都加到第一列得都加到第一列得例例3 3计算计算例例4 4计算计算注意：注意：上述各例都用到把几个运算写在一起的省上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法，要注意各个运算次序一般不能颠略写法，要注意各个运算次序一般不能颠倒，因为后一次运算是作用在前一次运算倒，因为后一次运算是作用在前一次运算结果上结果上.例如：例如：课堂练习：课堂练习：1.1.计算行列式计算行列式2.2.一个一个n阶行列式，它的元素满足阶行列式，它的元素满足证明证明:当当 n 为奇数时，此行列式为零为奇数时，此行列式为零.41例例5 5证明证明证明证明思考题思考题解解n作业作业:nP97.11,13(1,2,5,6)2.6 2.6 行列式按一行行列式按一行(列列)展开展开2.6.3 小结小结2.6.1 展开公式展开公式2.6.2 行列式的计算行列式的计算(3)容易容易验证验证：可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算的计算.问题：问题：一个一个n 阶行列式是否可以转化为若干个阶行列式是否可以转化为若干个 n-1 阶行列式来计算？阶行列式来计算？1.余子式与代数余子式余子式与代数余子式2.6.1 展开公式展开公式定义定义1-91-9 在在 n n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素所在的第所在的第 i i 行和行和 第第j j 列划去后，余下的列划去后，余下的n n1 1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素的的余子式余子式.记为记为 称称为元素为元素的的代数余子式代数余子式.例如：例如：注意：注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式和一个代数余子式.行列式等于它的任一行（列）的各元素与行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即其对应的代数余子式乘积之和，即定理定理2-52-5证明证明（先特殊，再一般先特殊，再一般）分分三种三种情况讨论，我们只对行来证明此定理情况讨论，我们只对行来证明此定理.(1)假定行列式假定行列式D的第一行除的第一行除外都是外都是 0.2.行列式按一行（列）展开法则行列式按一行（列）展开法则由行列式定义，由行列式定义，D 中仅含下面形式的项中仅含下面形式的项其中其中恰是恰是的一般项的一般项.所以所以(2)设设 D 的第的第 i 行除了行除了外都是外都是 0.把把D转化为转化为(1)的情形的情形把把 D 的第的第行依次与第行依次与第行，第行，第行，行，第第2行，第行，第1行交换；再将第行交换；再将第列依次与第列依次与第列，列，第第列，列，第第2列，第列，第1列交换，这样共经过列交换，这样共经过次交换行与交换列的步骤次交换行与交换列的步骤.由性质由性质7 7，行列式互换两行（列）行列式变号，行列式互换两行（列）行列式变号，得得(3)一般情形一般情形例如例如，行列式行列式按第一行展开，得按第一行展开，得证毕证毕.行列式任一行行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于零，即定理定理2-62-6证明证明由定理由定理2-5，行列式等于某一行的元素分别与它们，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和代数余子式的乘积之和.在在中，如果令第中，如果令第 i 行的元素行的元素等于另外一行，譬如第等于另外一行，譬如第 k 行的元素行的元素则则第第i行行 左端的行列式含有两个相同的行，值为左端的行列式含有两个相同的行，值为 0.综上，得综上，得公式公式简记为简记为称为称为克罗内克克罗内克符号符号.利用按行按列展开定理，并结合性质，可简化行列利用按行按列展开定理，并结合性质，可简化行列式计算：式计算：计算行列式时，可计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含（列）化为仅含1 1个非零元素，再按此行（列）展个非零元素，再按此行（列）展开开,变为低一阶的行列式变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式为三阶或二阶行列式.在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个并不一定简化计算，因为把一个n n阶行列式换成阶行列式换成n n个个（n n1 1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的但展开定理在理论上是重要的.例例1 计算行列式计算行列式解解按按第一行展开，得第一行展开，得2.6.2 行列式的计算行列式的计算(3)如果按第二行展开，就非常方便如果按第二行展开，就非常方便 例例2 计算行列式计算行列式解解例例3 3 计算行列式计算行列式n作业作业:p99 16(1),17(1,2,3,5)例例4 4证明证明范德蒙德范德蒙德(VandermondeVandermonde)行列式行列式 证明证明用数学归纳法用数学归纳法(1)(1)当当n=2=2时时,结论成立结论成立.(2)(2)设设n1 1阶范德蒙德行列式成立，往证阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也阶也成立成立.n-1-1阶阶范德蒙德范德蒙德行列式行列式证毕证毕.思考题思考题求求第一行各元素的代数余子式之和第一行各元素的代数余子式之和思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成例例6 6计算计算特点特点:“0”多多方法方法:降阶降阶找递推公式找递推公式.4/3/2023解解 按按第第1 1行行展开展开,有有4/3/2023递推公式递推公式4/3/2023例例7 7解解(1)(2)(n-1)关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质2.6.3 小结小结n作业作业:p100 18(2,5)复习n阶行列式的性质DD例例6 6例例7 7箭形行列式箭形行列式目标：把第一列化为目标：把第一列化为成成上上三角形三角形行列式行列式例例8 8例例9 9（可以化为（可以化为箭形箭形行列式）行列式）例例1010 计算计算解解(化化上三角形上三角形法法)例例1111 证明证明证明证明1 1左边左边=右边右边左边左边证明证明2 2=右边右边(按按列列拆开拆开)证明证明3 3左边左边=右边右边.n作业作业:p98.15,17(1,3,5),18(2,3)2.7 Cramer 法则法则一、一、Cramer 法则法则二、小结二、小结引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，当系数行列式当系数行列式时，方程组有惟一解，时，方程组有惟一解，含有含有n个未知数，个未知数，n个方程的线性方程组，与二、个方程的线性方程组，与二、三元线性方程组类似，它的解也可以用三元线性方程组类似，它的解也可以用n n阶行列阶行列式表示式表示.一、一、Cramer 法则法则定理定理2-7 2-7 （Cramer法则）法则）如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即则线性方程组则线性方程组(1)有有惟一解惟一解，证明证明 先证先证是方程组是方程组(1)的解的解.因为因为所以所以即即是方程组是方程组(1)的解的解.所以所以 设xi=ci是解,i=1,n，则再证惟一性再证惟一性 再把再把 个式子依次相加，得个式子依次相加，得于是于是所以所以由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知,上式中除了上式中除了的系数的系数等于等于D,其余其余的系数均等于的系数均等于0，而等式右，而等式右端为端为这就证明了唯一性。于是这就证明了唯一性。于是是是(1)的唯一解的唯一解.cj例例1 1 用用Cramer法则法则解线性方程组解线性方程组.解解注意注意:1.Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数法则仅适用于方程个数与未知量个数相等相等的情形的情形.2.2.理论意义：给出了解与系数的明显关系理论意义：给出了解与系数的明显关系.3.3.但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取.3.3.撇开求解公式撇开求解公式Cramer法则法则可叙述为下面定理：可叙述为下面定理：定理定理2-82-8如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)无解或至少有两个不同无解或至少有两个不同的解，则它的系数行列式必为的解，则它的系数行列式必为零零.线性方程组线性方程组则称此方程组为则称此方程组为非齐次线性非齐次线性方程方程组组.此时称方程组为此时称方程组为齐次线性齐次线性方程方程组组.非齐次非齐次与与齐次齐次线性方程组的定义线性方程组的定义:齐次齐次线性方程组线性方程组易知，易知，一定是一定是(3)(3)的解，的解，称为称为零解零解.若有一组不全为零的数是若有一组不全为零的数是(3)(3)的解，称为的解，称为非零解非零解.有有非零解非零解.定理定理2-92-9定理定理2-102-10下一章将证明：若系数行列式下一章将证明：若系数行列式 如果齐次线性方程组有非零解，如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式则它的系数行列式必为必为0.0.如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组则齐次线性方程组没有非零解没有非零解.例例2 2 问问 取何值时，取何值时，齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解？有非零解？解解若齐次方程组有若齐次方程组有非零解非零解，则则所以所以经验证经验证 ，或或时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解或或解解例例3 3问问取何值时取何值时,齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解?由由得得经验证经验证 ，时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解1.1.用用克拉默法则克拉默法则解方程组的两个条件解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.2.2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导.二、小结二、小结思考题思考题:当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默能否用克拉默法则解方程组法则解方程组?为什么为什么?此时方程组的解为何此时方程组的解为何?解答解答:不能不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解此时方程组的解为无解或有无穷多解.2.8 Laplace定理定理n一一、子式、余子式与代数余子式、子式、余子式与代数余子式n定义定义 设设D是是n阶行列式阶行列式,在在D中任取中任取k k行和行和k k列列(1kn).位于这些行和列交点处的位于这些行和列交点处的k2个元素按个元素按原来的相对位置作成一个原来的相对位置作成一个k阶行列式阶行列式M,称为行列称为行列式式 D的一个的一个k阶子式阶子式.即即n余下的元素按原来的相对位置作成的余下的元素按原来的相对位置作成的n-k阶行列式阶行列式M称为称为k阶子式阶子式M的余子式。的余子式。n注：注：由定义，由定义，M和和M是一对互余的子式。是一对互余的子式。n定义定义 记记A=如下，如下，称为称为M的的代数余子式代数余子式.n例例n二、展开定理二、展开定理n 定理定理(Laplace expansion theorem)设在设在n阶行列阶行列式式D中任意取定中任意取定k行行(1kn),),由这由这k k行元素所组成行元素所组成的一切子式与它们的代数余子式的乘积之和等于的一切子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式行列式D.即若取定即若取定k k行后得到的子式为行后得到的子式为M1,M2,Mt,他们的代数余子式分别为他们的代数余子式分别为A1,A2,At，则则n D=M1A1+M2A2+MtAtn其中其中n注注(1)若取定若取定k行为行为1i1i2ikn，则定理可则定理可表示为表示为n(2)若取定若取定k列为列为1j1j2jkn，则定理也可则定理也可表示为表示为 n n例例 计算计算n解解 若固定若固定1,2行行,则共有则共有C42=6个阶子式，即个阶子式，即n则则n由由Laplace定理定理n D=M1A1+M2A2+M3A3n +M4A4+M5A5+M6A6n =42n例例 证明证明n三、乘法定理三、乘法定理n定理定理n其中其中n证证