第8章MATLAB数值积分与微分.ppt
第第8章章 MATLAB数值积分与微分数值积分与微分8.1 数值积分数值积分8.2 数值微分数值微分 8.1 数值积分数值积分8.1.1 数值积分基本原理数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿法、牛顿柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区方法。它们的基本思想都是将整个积分区间间a,b分成分成n个子区间个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就。这样求定积分问题就分解为求和问题。分解为求和问题。8.1.2 数值积分的实现方法数值积分的实现方法1变步长辛普生法变步长辛普生法基于变步长辛普生法，基于变步长辛普生法，MATLAB给出了给出了quad函数来函数来求定积分。该函数的调用格式为：求定积分。该函数的调用格式为：I,n=quad(fname,a,b,tol,trace)其中其中fname是被积函数名。是被积函数名。a和和b分别是定积分的下分别是定积分的下限和上限。限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取则不展现，缺省时取trace=0。返回参数。返回参数I即定积分值，即定积分值，n为被积函数的为被积函数的调用次数。调用次数。例例8-1 求定积分。求定积分。(1)建立被积函数文件建立被积函数文件fesin.m。function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)调用数值积分函数调用数值积分函数quad求定积分。求定积分。S,n=quad(fesin,0,3*pi)S=0.9008n=772牛顿柯特斯法牛顿柯特斯法基于牛顿柯特斯法，基于牛顿柯特斯法，MATLAB给出了给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式函数来求定积分。该函数的调用格式为：为：I,n=quad8(fname,a,b,tol,trace)其中参数的含义和其中参数的含义和quad函数相似，只是函数相似，只是tol的的缺省值取缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于数明显小于quad函数，从而保证能以更高函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。的效率求出所需的定积分值。例例8-2 求定积分。求定积分。(1)被积函数文件被积函数文件fx.m。function f=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x);(2)调用函数调用函数quad8求定积分。求定积分。I=quad8(fx,0,pi)I=2.4674例例8-3 分别用分别用quad函数和函数和quad8函数求定积分的近函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。次数。调用函数调用函数quad求定积分：求定积分：format long;fx=inline(exp(-x);I,n=quad(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254766n=65 调用函数调用函数quad8求定积分：求定积分：format long;fx=inline(exp(-x);I,n=quad8(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254754n=333被积函数由一个表格定义被积函数由一个表格定义在在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用题用trapz(X,Y)函数。其中向量函数。其中向量X,Y定义函数关系定义函数关系Y=f(X)。例例8-4 用用trapz函数计算定积分。函数计算定积分。命令如下：命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X);%生成函数关系数据向量生成函数关系数据向量trapz(X,Y)ans=0.285796824163938.1.3 二重定积分的数值求解二重定积分的数值求解使用使用MATLAB提供的提供的dblquad函数函数就可以直接求出上述二重定积分的就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：数值解。该函数的调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)该函数求该函数求f(x,y)在在a,bc,d区域区域上的二重定积分。参数上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数的用法与函数quad完全相同。完全相同。例例8-5 计算二重定积分计算二重定积分(1)建立一个函数文件建立一个函数文件fxy.m：function f=fxy(x,y)global ki;ki=ki+1;%ki用于统计被积函数的调用次数用于统计被积函数的调用次数f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y);(2)调用调用dblquad函数求解。函数求解。global ki;ki=0;I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1)kiI=1.57449318974494ki=10388.2 数值微分数值微分8.2.1 数值差分与差商数值差分与差商8.2.2 数值微分的实现数值微分的实现在在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数向前差分的函数diff，其调用格式为：，其调用格式为：DX=diff(X)：计算向量：计算向量X的向前差分，的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。DX=diff(X,n)：计算：计算X的的n阶向前差分。例如，阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X)。DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵：计算矩阵A的的n阶差分，阶差分，dim=1时时(缺省状缺省状态态)，按列计算差分；，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。，按行计算差分。例例8-6 生成以向量生成以向量V=1,2,3,4,5,6为基础的范得蒙矩为基础的范得蒙矩阵，按列进行差分运算。阵，按列进行差分运算。命令如下：命令如下：V=vander(1:6)DV=diff(V)%计算计算V的一阶差分的一阶差分例例8-7 用不同的方法求函数用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个坐标的数值导数，并在同一个坐标系中做出系中做出f(x)的图像。的图像。程序如下：程序如下：f=inline(sqrt(x.3+2*x.2-x+12)+(x+5).(1/6)+5*x+2);g=inline(3*x.2+4*x-1)./sqrt(x.3+2*x.2-x+12)/2+1/6./(x+5).(5/6)+5);x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,f(x),5);%用用5次多项式次多项式p拟合拟合f(x)dp=polyder(p);%对拟合多项式对拟合多项式p求导数求导数dpdpx=polyval(dp,x);%求求dp在假设点的函数值在假设点的函数值dx=diff(f(x,3.01)/0.01;%直接对直接对f(x)求数值导数求数值导数gx=g(x);%求函数求函数f的导函数的导函数g在假设点的导数在假设点的导数plot(x,dpx,x,dx,.,x,gx,-);%作图作图
