2019年数学新同步湘教版必修2第2章 2．1.2 第一课时 椭圆的简单几何性质.doc

21.2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质第一课时第一课时 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质读教材读教材·填要点填要点1椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点的位置焦点在焦点在 x 轴上轴上焦点在焦点在 y 轴上轴上图形图形标准方程标准方程 1(ab0)x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b2范围范围axa 且且bybbxb 且且aya顶点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴长短轴长短轴长2b，长轴长，长轴长2a焦点焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距焦距|F1F2|2c对称性对称性对称轴对称轴 x 轴和轴和 y 轴轴，对称中心，对称中心(0,0)离心率离心率e (0e1)ca2椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度间的关系椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度间的关系(1)当椭圆的离心率越接近于当椭圆的离心率越接近于 1，则椭圆越扁；，则椭圆越扁；(2)当椭圆的离心率越接近于当椭圆的离心率越接近于 0，则椭圆越圆，则椭圆越圆小问题小问题·大思维大思维1椭圆椭圆1 的长轴长、短轴长、离心率各为何值？焦点坐标和顶点坐标各是什的长轴长、短轴长、离心率各为何值？焦点坐标和顶点坐标各是什x225y29么？么？提示：提示：根据椭圆的标准方程根据椭圆的标准方程1，x225y29得得 a5，b3，则，则 c4.259因此，长轴长因此，长轴长 2a10，短轴长，短轴长 2b6.离心率离心率 e 0.8.ca45焦点为焦点为 F1(4,0)和和 F2(4,0)，顶点为顶点为 A1(5,0)，A2(5,0)，B1(0，3)，B2(0,3)2如何用如何用 a，b 表示离心率？表示离心率？提示：提示：由由 e 得得 e2，cac2a2a2b2a2e .1(ba)2e.1b2a23借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？提示：提示：短轴端点短轴端点 B1和和 B2到中心到中心 O 的距离最近；长轴端点的距离最近；长轴端点 A1和和 A2到中心到中心 O 的距离最的距离最远远4借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值？借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值？提示：提示：点点(a,0)，(a,0)与焦点与焦点 F1(c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点的距离分别是椭圆上的点与焦点 F1的最大距离的最大距离和最小距离，分别为和最小距离，分别为 ac 和和 ac.由椭圆方程研究简单几何性质由椭圆方程研究简单几何性质求椭圆求椭圆 x29y281 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标自主解答自主解答 把已知方程化成标准方程为把已知方程化成标准方程为1，于是，于是 a9，b3，c6x281y29819，2所以椭圆的长轴长所以椭圆的长轴长 2a18，短轴长，短轴长 2b6，离心率，离心率 e .ca2 23两个焦点的坐标分别为两个焦点的坐标分别为 F1(6，0)，F2(6，0)，四个顶点的坐标分别为，四个顶点的坐标分别为 A1(9,0)，22A2(9,0)，B1(0，3)，B2(0,3)已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准 a 与与 b，才能，才能正确地写出其相关性质在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴正确地写出其相关性质在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴1已知椭圆已知椭圆 C1：1，设椭圆，设椭圆 C2与椭圆与椭圆 C1的长轴长、短轴长分别相等，且的长轴长、短轴长分别相等，且x2100y264椭圆椭圆 C2的焦点在的焦点在 y 轴上轴上(1)求椭圆求椭圆 C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆写出椭圆 C2的方程，并研究其性质的方程，并研究其性质解：解：(1)由椭圆由椭圆 C1：1 可得其长半轴长为可得其长半轴长为 10，短半轴长为，短半轴长为 8，焦点坐标，焦点坐标(6,0)，x2100y264(6,0)，离心率，离心率 e ；35(2)椭圆椭圆 C2：1，y2100x264性质：性质：范围：范围：8x8，10y10；对称性：关于对称性：关于 x 轴、轴、y 轴、原点对称；轴、原点对称；顶点：长轴端点顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：焦点：(0,6)，(0，6)；离心率：离心率：e .35由椭圆的简单几何性质求方程由椭圆的简单几何性质求方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点过点(3,0)，离心率，离心率 e；63(2)焦距为焦距为 6，在，在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直自主解答自主解答 (1)当椭圆的焦点在当椭圆的焦点在 x 轴上时，轴上时，因为因为 a3，e，63所以所以 c.从而从而 b2a2c23，6所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为1；x29y23当椭圆的焦点在当椭圆的焦点在 y 轴上时，因为轴上时，因为 b3，e，63所以所以.所以所以 a227.a2b2a63所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为1.y227x29综上可知，所求椭圆的标准方程为综上可知，所求椭圆的标准方程为1 或或1.x29y23y227x29(2)设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为1(a>b>0)，x2a2y2b2由已知，得由已知，得 c3，b3，a2b2c218.故所求椭圆的标准方程为故所求椭圆的标准方程为1.x218y29(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数选标准，定参数” ，一般步骤是：，一般步骤是：确确定焦点所在的坐标轴；定焦点所在的坐标轴；求出求出 a2，b2的值；的值；写出标准方程写出标准方程2求满足下列各条件的椭圆的标准方程求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的长轴长是短轴长的 2 倍且经过点倍且经过点 A(2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.3解：解：(1)若椭圆的焦点在若椭圆的焦点在 x 轴上，轴上，设方程为设方程为1(a>b>0)，x2a2y2b2椭圆过点椭圆过点 A(2,0), 1，a2.4a22a2·2b，b1.方程为方程为y21.x24若椭圆的焦点在若椭圆的焦点在 y 轴上轴上设椭圆方程为设椭圆方程为1(a>b>0)，y2a2x2b2椭圆过点椭圆过点 A(2,0)，1.02a24b2b2,2a2·2b.a4.方程为方程为1.y216x24综上所述，椭圆方程为综上所述，椭圆方程为y21 或或1.x24y216x24(2)由已知由已知Error!Error!Error!Error!从而从而 b29，所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为1 或或1.x212y29x29y212求椭圆的离心率求椭圆的离心率设椭圆设椭圆 C：1(a>b>0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是是 C 上的点，上的点，x2a2y2b2PF2F1F2，PF1F230°，则，则 C 的离心率为的离心率为( )A. B. C. D.36131233自主解答自主解答 法一：法一：由题意可设由题意可设|PF2|m，结合条件可知，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故，故3离心率离心率 e .ca2c2a|F1F2|PF1|PF2|3m2mm33法二：法二：由由 PF2F1F2可知可知 P 点的横坐标为点的横坐标为 c，将，将 xc 代入椭圆方程可解得代入椭圆方程可解得 y±，所，所b2a以以|PF2|.又由又由PF1F230°可得可得|F1F2|PF2|，故，故 2c·，变形可得，变形可得(a2c2)b2a33b2a32ac，等式两边同除以，等式两边同除以 a2，得，得(1e2)2e，解得，解得 e或或 e(舍去舍去)3333答案答案 D若将本例中若将本例中“PF2F1F2，PF1F230°”改为改为“C 上存在点上存在点 P，使，使F1PF2为钝角为钝角” ，求求 C 的离心率的取值范围的离心率的取值范围解：解：由题意，知由题意，知 c>b，c2>b2.又又 b2a2c2，c2>a2c2，即，即 2c2>a2.e2> ，c2a212e>.故故 C 的离心率的取值范围为的离心率的取值范围为.22(22， ，1)椭圆的离心率的求法椭圆的离心率的求法求椭圆的离心率，关键是寻找求椭圆的离心率，关键是寻找 a 与与 c 的关系，一般地：的关系，一般地：(1)若已知若已知 a，c，则直接代入，则直接代入 e 求解；求解；ca(2)若已知若已知 a，b，则由，则由 e 求解；求解；1(ba)2(3)若已知若已知 a，b，c 的关系，则可转化为的关系，则可转化为 a，c 的齐次式，再转化为含的齐次式，再转化为含 e 的方程求解即的方程求解即可可3已知椭圆的两个焦点已知椭圆的两个焦点 F1，F2与短轴的端点与短轴的端点 B 构成等腰直角三角形，求椭圆的离心构成等腰直角三角形，求椭圆的离心率率解：解：如图，如图，|F1F2|2c，|BF1|BF2|2a，且，且BF1F2为等腰直角三角形为等腰直角三角形|BF1|BF2|ac.2离心率离心率 e .ca22解题高手解题高手 妙解题妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路椭圆椭圆1(a>b>0)的右顶点是的右顶点是 A(a,0)，其上存在一点，其上存在一点 P，使，使APO90°，求椭圆，求椭圆x2a2y2b2的离心率的取值范围的离心率的取值范围巧思巧思 由由APO90°可知：点可知：点 P(x，y)在以在以 OA 为直径的圆上，且为直径的圆上，且 P 点又在椭圆上点又在椭圆上然后由圆的方程和椭圆的方程组成方程组求出然后由圆的方程和椭圆的方程组成方程组求出 P 点的横坐标利用点的横坐标利用 0.ab2a2b222又又0b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的x2a2y2b2离心率离心率 e_.解析：解析：由题意知椭圆焦点在由题意知椭圆焦点在 x 轴上，轴上，在直线在直线 x2y20 中，中，令令 y0 得得 c2；令；令 x0 得得 b1.a.e .b2c25ca2 55答案：答案：2 555已知椭圆已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为轴上，离心率为，且，且 G 上一点到上一点到 G 的的32两个焦点的距离之和为两个焦点的距离之和为 12，则椭圆，则椭圆 G 的方程为的方程为_解析：解析：e，2a12，a6，b3，32椭圆方程为椭圆方程为1.x236y29答案：答案：1x236y296已知椭圆已知椭圆1(m0)的离心率的离心率 e，求，求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的的值及椭圆的长轴和短轴的x22m1y2m32长、焦点坐标、顶点坐标长、焦点坐标、顶点坐标解：解：椭圆方程为椭圆方程为1，x22m1y2ma22m1，b2m.c.a2b2m1由由 e，得，得 ，解得，解得 m ，32m12m13212椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为1.x22y212a，b，c.22262椭圆的长轴长为椭圆的长轴长为 2，短轴长为，短轴长为，22两焦点坐标分别为两焦点坐标分别为 F1，F2，(62， ，0)(62， ，0)顶点坐标分别为顶点坐标分别为 A1(，0)，A2(，0)，B1，B2.22(0， ，22)(0， ，22)一、选择题一、选择题1已知椭圆已知椭圆 C1：1，C2：1，则，则( )x212y24x216y28AC1与与 C2顶点相同顶点相同 BC1与与 C2长轴长相同长轴长相同CC1与与 C2短轴长相同短轴长相同DC1与与 C2焦距相等焦距相等解析：解析：由两个椭圆的标准方程可知：由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为，长轴长为 43，短轴长为，短轴长为 4，焦距为，焦距为 4；C2的顶点坐标为的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为，长轴长为 8，短轴长为，短轴长为3224，焦距为，焦距为 4.故选故选 D.22答案：答案：D2椭圆椭圆1 上的点上的点 P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )x225y29A8,2 B5,4C5,1D9,1解析：解析：因为因为 a5，c4，所以最大距离为，所以最大距离为 ac9，最小距离为，最小距离为 ac1.答案：答案：D3已知椭圆已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，离心率是，则椭圆，则椭圆 C2263的方程为的方程为( )A.y21Bx21x23y23C.1D.1x23y22x22y23解析：解析： ，且，且 c，ca632a，b1.3a2c2椭圆方程为椭圆方程为y21.x23答案：答案：A4(2017·全国卷全国卷)已知椭圆已知椭圆 C：1(a>b>0)的左、右顶点分别为的左、右顶点分别为 A1，A2，且以，且以x2a2y2b2线段线段 A1A2为直径的圆与直线为直径的圆与直线 bxay2ab0 相切，则相切，则 C 的离心率为的离心率为( )A.B.6333C.D.2313解析：解析：以线段以线段 A1A2为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为 x2y2a2，由原点到直线，由原点到直线 bxay2ab0的距离的距离 da，得，得 a23b2，所以，所以 C 的离心率的离心率 e .2abb2a21b2a263答案：答案：A二、填空题二、填空题5过椭圆过椭圆1 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为的焦点的最长弦和最短弦的长分别为_x24y23解析：解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为 2a4；最短弦为垂直于长轴的弦，因；最短弦为垂直于长轴的弦，因为为 c1，将，将 x1 代入代入1，得，得1，解得，解得 y2 ，即，即 y± ，所以最短弦的长，所以最短弦的长x24y23124y239432为为 2×× 3.32答案：答案：4,36若椭圆若椭圆 b2x2a2y2a2b2(a>b>0)的左焦点为的左焦点为 F，右顶点为，右顶点为 A，上顶点为，上顶点为 B，若，若ABF90°，则椭圆的离心离为，则椭圆的离心离为_解析：解析：由已知由已知|AB|2|BF|2|AF|2，(a2b2)a2(ac)2.a2b22acc2.又又 b2a2c2，c2aca20，即即 e2e10.e.512答案：答案： 5127已知椭圆的中心在原点，一个焦点为已知椭圆的中心在原点，一个焦点为 F(3,0)，若以其四个顶点为顶点的四边形的面，若以其四个顶点为顶点的四边形的面积是积是 40，则该椭圆的方程是，则该椭圆的方程是_解析：解析：以椭圆顶点为顶点的四边形是对角线长分别为以椭圆顶点为顶点的四边形是对角线长分别为 2a 和和 2b 的菱形，因此其面积为的菱形，因此其面积为S ·2a·2b2ab40，12ab20.又又 c3，且，且 a2b2c2.a29，a49a24000.400a2a225 或或 a216(舍去舍去)a5，b4，所求方程为，所求方程为1.x225y216答案：答案：1x225y2168若点若点 O 和点和点 F 分别为椭圆分别为椭圆1 的中心和左焦点，点的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，为椭圆上的任意一点，x24y23则则·的最大值为的最大值为_OPFP解析：解析：由椭圆由椭圆1，可得点，可得点 F(1,0)，点，点 O(0,0)，设，设 P(x，y)，2x2，则，则x24y23·x2xy2x2x3 x2x3 (x2)22，当且仅当，当且仅当 x2 时，时，OPFP(1x24)1414·取得最大值取得最大值 6.OPFP答案：答案：6三、解答题三、解答题9已知椭圆已知椭圆1(a>b>0)的离心率的离心率 e，过点，过点 A(0，b)和和 B(a,0)的直线与原点的直线与原点x2a2y2b263的距离为的距离为，求椭圆的标准方程，求椭圆的标准方程32解：解：e ， .caa2b2a63a2b2a223a23b2，即，即 ab.3过过 A(0，b)，B(a,0)的直线为的直线为 1，xayb把把 ab 代入，即代入，即 xyb0.333又由点到直线的距离公式得又由点到直线的距离公式得，解得，解得 b1，a.| 3b|1 3 2323所求方程为所求方程为y21.x2310.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2在在 x 轴上，轴上，A，B 是椭是椭圆的顶点，圆的顶点，P 是椭圆上一点，且是椭圆上一点，且 PF1x 轴，轴，PF2AB，求此椭圆的离心，求此椭圆的离心率率解：解：设椭圆的方程为设椭圆的方程为1(ab0)，则，则x2a2y2b2F1(c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)直线直线 PF1的方程为的方程为 xc，代入方程代入方程1，得，得 y±，P.x2a2y2b2b2a(c， ，b2a)PF2AB，且 kPF，2b2accb22ac又 kAB ，由 kPF kAB，得 .ba 2b22acbab2c.ac.b2c25e ，即椭圆离心率为，即椭圆离心率为.ca5555