2019年数学新同步湘教版必修2第4章 4.3.2 函数的极大值和极小值.doc

43.2 函数的极大值和极小值函数的极大值和极小值读教材读教材·填要点填要点1极值与极值点极值与极值点(1)极大值点与极大值：极大值点与极大值：设函数设函数 yf(x)在区间在区间(a，b)内有定义，内有定义，x0是是(a，b)内的一个点，若点内的一个点，若点 x0附近的函数值附近的函数值都都小于小于 f(x0)(即即 f(x)f(x0)，x(a，b)，就说，就说 f(x0)是函数是函数 yf(x)的一个的一个极大值极大值，x0称为称为 f(x)的一个的一个极大值点极大值点(2)极小值点与极小值：极小值点与极小值：设函数设函数 yf(x)在区间在区间(a，b)内有定义，内有定义，x0是是(a，b)内的一个点，若点内的一个点，若点 x0附近的函数值附近的函数值都都大于大于 f(x0)(即即 f(x)f(x0)，x(a，b)，就说，就说 f(x0)是函数是函数 yf(x)的一个的一个极小值极小值，x0称为称为 f(x)的一个的一个极小值点极小值点极大值和极小值统称极大值和极小值统称极值极值，极大值点和极小值点统称为，极大值点和极小值点统称为极值点极值点2极大值与极小值的判断极大值与极小值的判断(1)如果如果 f(x)在在(a，x0上上递增递增，在，在x0，b)上上递减递减，则，则 f(x)在在 xx0处取到极大值；处取到极大值；(2)如果如果 f(x)在在(a，x0上上递减递减，在，在x0，b)上上递增递增，则，则 f(x)在在 xx0处取到极小值处取到极小值3极值的求法极值的求法(1)求求导数导数 f(x)；(2)求求 f(x)的的驻点驻点，即求，即求 f(x)0 的根的根；(3)检查检查 f(x)在在驻点左右驻点左右的符号，得到极大值或极小值的符号，得到极大值或极小值小问题小问题·大思维大思维1导数为导数为 0 的点都是极值点吗？的点都是极值点吗？提示：提示：不一定不一定yf(x)在在 xx0及附近有定义，且及附近有定义，且 f(x0)0，yf(x)是否在是否在 xx0处处取得极值，还要看取得极值，还要看 f(x)在在 x0两侧的符号是否异号例如两侧的符号是否异号例如 f(x)x3，由，由 f(x)3x2知知f(0)0，但，但 x0 不是不是 f(x)x3的极值点的极值点2函数函数 f(x)的定义域为开区间的定义域为开区间(a，b)，导函数，导函数 f(x)在在(a，b)内的图象如图所示，则函数内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间在开区间(a，b)内有几个极小值点？内有几个极小值点？提示：提示：由图可知，在区间由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内内 f(x)>0；在区间；在区间(x1，x2)，(x3，b)内内 f(x)0 且且 f(x)极小值极小值0 恒成立，恒成立，即函数在即函数在(，)上单调递增，上单调递增，此时函数没有极值点此时函数没有极值点当当 a>0 时，令时，令 f(x)0，得，得 x1，x2，aa当当 x 变化时，变化时，f(x)与与 f(x)的变化如下表：的变化如下表：x(，)aa(，)aaa(，a)f(x)00f(x)极大值极大值极小值极小值因此，函数因此，函数 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(，)和和(，)，单调递减区间为，单调递减区间为(，aaa)，a此时此时 x是是 f(x)的极大值点，的极大值点，x是是 f(x)的极小值点的极小值点aaa 为何值时，方程为何值时，方程 x33x2a0 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？有可能无实根？巧思巧思 方程方程 x33x2a0 根的个数，即为直线根的个数，即为直线 ya 和函数和函数 f(x)x33x2图象交点图象交点的个数，因此可借助函数的单调性和极值画出函数的个数，因此可借助函数的单调性和极值画出函数 f(x)x33x2的图象，然后借助图象判的图象，然后借助图象判断根的个数断根的个数妙解妙解 令令 f(x)x33x2，则，则 f(x)的定义域为的定义域为 R，由由 f(x)3x26x0，得，得 x0 或或 x2.所以当所以当 x0 或或 x2 时，时，f(x)0；当当 0x2 时，时，f(x)0.函数函数 f(x)在在 x0 处有极大值处有极大值 0，在，在 x2 处有极小值处有极小值4，如图所示，故当如图所示，故当 a0 或或 a4 时，原方程有一个根；时，原方程有一个根；当当 a0 或或 a4 时，原方程有两个不等实根；时，原方程有两个不等实根；当当4a0 时，原方程有三个不等实根；时，原方程有三个不等实根；由图象可知，原方程不可能无实根由图象可知，原方程不可能无实根1若函数若函数 f(x)x3ax23x9 在在 x3 时取得极值，则时取得极值，则 a 等于等于( )A2 B3C4 D5解析：解析：f(x)3x22ax3，由题意知，由题意知 f(3)0，即即 3××(3)22××(3)a30，解得，解得 a5.答案：答案：D2.设函数设函数 f(x)在在 R 上可导，其导函数为上可导，其导函数为 f(x)，且函数，且函数 y (1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A函数函数 f(x)有极大值有极大值 f(2)和极小值和极小值 f(1)B函数函数 f(x)有极大值有极大值 f(2)和极小值和极小值 f(1)C函数函数 f(x)有极大值有极大值 f(2)和极小值和极小值 f(2)D函数函数 f(x)有极大值有极大值 f(2)和极小值和极小值 f(2)解析：解析：由题图可知，当由题图可知，当 x0；当；当22 时，时，f(x)>0.由此可以得到函数由此可以得到函数 f(x)在在 x2 处取得极大值，在处取得极大值，在 x2 处处取得极小值取得极小值答案：答案：D3若若 a0，b0，且函数，且函数 (x)4x3ax22bx2 在在 x1 处有极值，则处有极值，则 ab 的最大的最大值等于值等于( )A2 B3C6 D9解析：解析：函数的导数为函数的导数为 (x)12x22ax2b，由函数，由函数 (x)在在 x1 处有极值，处有极值，可知函数可知函数 (x)在在 x1 处的导数值为零，处的导数值为零，即即 122a2b0，所以，所以 ab6.由题意知由题意知 a，b 都是正实数，所以都是正实数，所以 ab229，(ab2)(62)当且仅当当且仅当 ab3 时取到等号时取到等号答案：答案：D4若函数若函数 f(x)x36x2m 的极大值为的极大值为 13，则实数，则实数 m 等于等于_解析：解析：f(x)3x212x3x(x4)由由 f(x)0，得，得 x0 或或 x4.当当 x(，0)(4，)时，时，f(x)0；x(0,4)时，时，f(x)0，x4 时时 f(x)取到极大值故取到极大值故6496m13，解得，解得 m19.答案：答案：195若函数若函数 f(x)x3x2ax4 在区间在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数上恰有一个极值点，则实数 a 的取值范的取值范围为围为_解析：解析：由题意，由题意，f(x)3x22xa，则则 f(1)f(1)0；当；当 x(2，ln 2)时，时，f(x)0，即，即 x(0,2)(4，)时，时，f(x)0，a0，所以所以 f(x)在在(2,0)，(1，)上单调递增；在上单调递增；在(，2)，(0,1)上单调递减上单调递减10设函数设函数 f(x) x3bx2cxd(a0)，且方程，且方程 f(x)9x0 的两个根分别为的两个根分别为 1,4.a3(1)当当 a3 且曲线且曲线 yf(x)过原点时，求过原点时，求 f(x)的解析式；的解析式；(2)若若 f(x)在在(，)内无极值点，求内无极值点，求 a 的取值范围的取值范围解：解：由由 f(x) x3bx2cxd，a3得得 f(x)ax22bxc.因为因为 f(x)9xax22bxc9x0 的两个根分别为的两个根分别为 1,4，所以所以Error!Error!(*)(1)当当 a3 时，由时，由(*)式得式得Error!Error!解得解得 b3，c12.又因为曲线又因为曲线 yf(x)过原点，所以过原点，所以 d0，故故 f(x)x33x212x.(2)由于由于 a0，所以，所以“f(x) x3bx2cxd 在在(，)内无极值点内无极值点a3”等价于等价于“f(x)ax22bxc0 在在(，)内恒成立内恒成立” 由由(*)式得式得 2b95a，c4a.又又 (2b)24ac9(a1)(a9)解解Error!Error!得得 a1,9即即 a 的取值范围是的取值范围是1,9