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数学物理方法概论数学物理方法概论之之（格林函数）（格林函数）（格林函数）（格林函数）主讲教师：白璐主讲教师：白璐主讲教师：白璐主讲教师：白璐联系电话：联系电话：联系电话：联系电话：1529145699615291456996Email:bluxidian.edu.cEmail: nhttp:/ 格林函数格林函数 格林函数格林函数在电磁场理论中有广泛的应用，本节在电磁场理论中有广泛的应用，本节将在线性空间的框架下，建立格林函数的定义和应将在线性空间的框架下，建立格林函数的定义和应用分析。用分析。事实上，希尔伯特空间中的事实上，希尔伯特空间中的S-L系统（微分算子系统（微分算子方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联系中我们可以引入格林函数的定义，同时，利用这系中我们可以引入格林函数的定义，同时，利用这些格林函数，也就将微分方程的表述转化为积分方些格林函数，也就将微分方程的表述转化为积分方程，进而得到问题的求解。程，进而得到问题的求解。1、点源点源函数函数法回顾法回顾；2、格林函数的引入；格林函数的引入；3、格林函数与格林函数与 函数函数；4、一维格林函数；一维格林函数；5、三维格林函数；三维格林函数；6、格林函数在电磁学中的应用；格林函数在电磁学中的应用；7、并矢格林函数并矢格林函数第四章第四章 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 经典的经典的格林函数方法格林函数方法在力学、电磁场理论中有在力学、电磁场理论中有广泛的应用。广泛的应用。从从点源点源的概念出发（如质点、点电荷、点热源的概念出发（如质点、点电荷、点热源等），根据等），根据叠加原理叠加原理，通过点源场的有限积分来得，通过点源场的有限积分来得到任意源的场。到任意源的场。这种求解数学物理方程的方法即这种求解数学物理方程的方法即经典的格林函经典的格林函数法数法，又称为点源函数法或影响函数法。，又称为点源函数法或影响函数法。4 格林函数格林函数 4.1.1 格林函数法的回顾格林函数法的回顾 首先，找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产首先，找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产生的场或影响，即点源的影响函数（格林函数）；然后，由生的场或影响，即点源的影响函数（格林函数）；然后，由于任意分布的源总可以看作是许许多多这样的点源的叠加，于任意分布的源总可以看作是许许多多这样的点源的叠加，利用场的叠加原理，对格林函数在整个源域上积分，即可得利用场的叠加原理，对格林函数在整个源域上积分，即可得到任意源的场，这就是格林函数法的主要思想。到任意源的场，这就是格林函数法的主要思想。回顾内容包括：回顾内容包括：1、点源函数的性质；、点源函数的性质；2、格林函数的一般求法（电像法）等；、格林函数的一般求法（电像法）等；3、格林函数求解边值问题的途径。、格林函数求解边值问题的途径。4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 例如：空间中，静电荷产生的电势问题，例如：空间中，静电荷产生的电势问题，MOXYZ电荷源电荷源 电荷密度电荷密度空间空间M处的电势满足泊松方程：处的电势满足泊松方程：实际上：由静电学可知，位于实际上：由静电学可知，位于 点的单位正电荷在点的单位正电荷在r处的电势为处的电势为4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 表明：上方程的求解，可以通过以下思想获得：表明：上方程的求解，可以通过以下思想获得：1）找到一个点源在一定边界或初值条件下的场）找到一个点源在一定边界或初值条件下的场即格林函即格林函数（或称点源函数，影响函数）数（或称点源函数，影响函数）2）根据线性迭加原理，将各点源的场迭加起来，得到一般）根据线性迭加原理，将各点源的场迭加起来，得到一般源的场源的场即通过有限积分表示原问题的解。即通过有限积分表示原问题的解。格林函数法（点源法）格林函数法（点源法）根据迭加原理，任意电荷分布的电势为：根据迭加原理，任意电荷分布的电势为：4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 从以上例题的分析可见，格林函数法的主要特点是：从以上例题的分析可见，格林函数法的主要特点是：1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和边界）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和边界条件的局限），条件的局限），2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示，）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示，物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解问题；物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解问题；3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就转换出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就转换为关键是求解点源的相对简单的问题。为关键是求解点源的相对简单的问题。4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 4.1.2 函数函数4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 2、定义、定义 函数函数更普遍的定义为更普遍的定义为4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 3、三维、三维 函数函数其中其中为三维为三维 函数函数且具有性质：且具有性质：这表明，高维函数等于一维情况的乘积，由此，高维函数这表明，高维函数等于一维情况的乘积，由此，高维函数也具有一维函数的所有的性质。也具有一维函数的所有的性质。4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 其中，其中，为不同时为零的常数。为了得到定解问题为不同时为零的常数。为了得到定解问题(1)(2)4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4.1.3 泊松方程的边值问题泊松方程的边值问题的解的积分表达式，首先引入格林公式的解的积分表达式，首先引入格林公式一、泊松方程的基本形式一、泊松方程的基本形式4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 二、格林公式二、格林公式此式称为此式称为化为体积分化为体积分4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 此式称为此式称为4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 三、积分公式三、积分公式格林函数法格林函数法 目标：求解目标：求解4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 由于由于其中其中 为为M与与M0之间的距离之间的距离(3)4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 若能由此式化简整理得到若能由此式化简整理得到u(M),则一定是方程（则一定是方程（1）的解）的解这里这里G就相当于格就相当于格林第二公式中的林第二公式中的v4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 负号来自内小球面的负号来自内小球面的法向与矢径方向相反法向与矢径方向相反4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 注意到格林函数的对称性：注意到格林函数的对称性：上式的物理意义很难解释清楚，右边第一项，上式的物理意义很难解释清楚，右边第一项，G(M,M0)代表代表M0点的点源在点的点源在M点产生的场，而点产生的场，而h(M)代表的却是代表的却是M点的源。点的源。将上式中的将上式中的G(M0,M)用用G(M,M0)代替且，将代替且，将M和和M0在公式在公式中互换，可得中互换，可得4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 （4）4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 物理意义：物理意义：（1）右边第一项积分代表在积分区域）右边第一项积分代表在积分区域 中体分布源中体分布源h(M0)在在M点产生的场的总和；点产生的场的总和；（2）右边第二、三积分项则是边界上的源所产生的场。这两种）右边第二、三积分项则是边界上的源所产生的场。这两种影响都是由同一格林函数给出的。影响都是由同一格林函数给出的。上式给出了泊松方程解的积分表达，但由于上式给出了泊松方程解的积分表达，但由于G(M,M0)未知未知且不同边值条件也需做进一步的分析。且不同边值条件也需做进一步的分析。4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 2、泊松方程边值问题的积分公式、泊松方程边值问题的积分公式(A)第一类边界条件第一类边界条件基本公式变为基本公式变为由由边界条件变为边界条件变为只要只要G(M,M0)，满足定解问题，则上式，满足定解问题，则上式u(M)就都为已知量表示就都为已知量表示G(M,M0)所构成的定解问题即所构成的定解问题即 下式称为泊松方程的下式称为泊松方程的狄氏问题狄氏问题 满足狄氏问题的格林函数，简称为满足狄氏问题的格林函数，简称为狄氏格林函数狄氏格林函数。4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 狄氏积分公式狄氏积分公式基本积分公式变为基本积分公式变为 4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 (B)第二类边界条件第二类边界条件由由边界条件变为边界条件变为但此式不存在，因为但此式不存在，因为 在第二类在第二类齐次边界条件齐次边界条件 下无解。下无解。表示在边界上是绝热的，由于边界绝热，从点源出来的表示在边界上是绝热的，由于边界绝热，从点源出来的4 格林函数格林函数 4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 从物理上看，其意义十分明显。方程从物理上看，其意义十分明显。方程可看成稳定的热传导方程在可看成稳定的热传导方程在M0点有一个点热源，而边界条件点有一个点热源，而边界条件热量，会使体积内的温度不断升高，而不可能达到稳定状态。热量，会使体积内的温度不断升高，而不可能达到稳定状态。显然，为了解决这一矛盾，或者修改格林函数所满足的方程显然，为了解决这一矛盾，或者修改格林函数所满足的方程使之与边界条件使之与边界条件 相容，相容，这就要引入所谓的广义格林函数方程；或者修改边界条件使之这就要引入所谓的广义格林函数方程；或者修改边界条件使之与格林函数所满足的方程相容，这里不再详细讨论。与格林函数所满足的方程相容，这里不再详细讨论。4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 代入基本积分公式，得代入基本积分公式，得(C)第三类边界条件第三类边界条件若要求若要求G(M,M0)满足第三类的齐次边界，即满足第三类的齐次边界，即则当则当G(M,M0)乘乘 ，以，以u(M)乘上式再相减，得乘上式再相减，得4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 由上面的讨论可见，在各类非齐次边界条件下解泊松方程由上面的讨论可见，在各类非齐次边界条件下解泊松方程可以先在相应的同类齐次边界条件下解格林函数所满足的方程可以先在相应的同类齐次边界条件下解格林函数所满足的方程再通过基本积分公式得到再通过基本积分公式得到 u(M)。1)格林函数的定解问题，其方程形式比原泊松方程简单，且格林函数的定解问题，其方程形式比原泊松方程简单，且边界条件又是齐次的，因此求解相对容易。边界条件又是齐次的，因此求解相对容易。2)且不同泊松方程的非齐次项且不同泊松方程的非齐次项h(M)和边界条件中的不同和边界条件中的不同g(M)，只要属于同类边值问题，函数只要属于同类边值问题，函数G(M,M0)都相同。这就将泊松方都相同。这就将泊松方程的边值问题化为几种类型边界条件下求解格林函数的问题。程的边值问题化为几种类型边界条件下求解格林函数的问题。4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 4.1.4 格林函数的一般求法格林函数的一般求法 一、无界空间的格林函数一、无界空间的格林函数 基本解基本解 从前讨论可知，确定了从前讨论可知，确定了G，就能利用积分表达式求得，就能利用积分表达式求得泊松方程边值问题的解。但一般求解泊松方程边值问题的解。但一般求解G，并非易事。，并非易事。只有某些特殊情况下，比较容易求出。只有某些特殊情况下，比较容易求出。无界区域的格林函数无界区域的格林函数G0,又又 称为相应方程的称为相应方程的基本解基本解。将一般边值问题的格林函数将一般边值问题的格林函数G分为：分为：对于三维泊松方程，基本解对于三维泊松方程，基本解G0满足满足G1则满足相应的齐次方程则满足相应的齐次方程(拉普拉斯方程拉普拉斯方程)它描述的是点它描述的是点 的点源在无界空间产生的稳定场。以静的点源在无界空间产生的稳定场。以静电场为例，它描述在点电场为例，它描述在点 电量为电量为 的点电荷在无界的点电荷在无界空间中所产生电场在空间中所产生电场在 点的电势，即点的电势，即4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 及相应的边界条件，例如在第一边值问题中，及相应的边界条件，例如在第一边值问题中，从而有从而有拉普拉斯方程的边值问题的求解是熟知的，至于方程拉普拉斯方程的边值问题的求解是熟知的，至于方程类似的对于二维泊松方程，可用平面极坐标求得其基本解类似的对于二维泊松方程，可用平面极坐标求得其基本解G0满足满足在接地导体球内放置电荷时，导体球面上将产生感应电荷。在接地导体球内放置电荷时，导体球面上将产生感应电荷。因此，球内电势应为球内电荷直接产生的电势与感应电荷所因此，球内电势应为球内电荷直接产生的电势与感应电荷所产生的电势之和。可将产生的电势之和。可将G写为写为边界条件为边界条件为4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 此处此处G便是泊松方程第一边值问题的格林函数。从电磁学知便是泊松方程第一边值问题的格林函数。从电磁学知考虑物理问题，设有一接地导体球内的考虑物理问题，设有一接地导体球内的 点放置一电量点放置一电量为为 的点电荷。则球内电势满足泊松方程的点电荷。则球内电势满足泊松方程二、用电像法求格林函数二、用电像法求格林函数 其中其中G0是不考虑球面边界影响的电势，是不考虑球面边界影响的电势，G1是感应电荷引起的是感应电荷引起的G1则可以由则可以由 及上式的边界条件用分离变量法得到。及上式的边界条件用分离变量法得到。以及边界条件以及边界条件4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 这样这样G0就是基本解，就是基本解，由前面的讨论可知，由前面的讨论可知，G0满足满足从而从而G1满足满足但这样得到的解往往是无穷级数。以下介绍另一种方法即但这样得到的解往往是无穷级数。以下介绍另一种方法即电像法电像法，用电像法可以得到有限形式的解。，用电像法可以得到有限形式的解。电像法的基本思想：电像法的基本思想：用一设想的等效点电荷来代替所有的感应电荷，于是可求得用一设想的等效点电荷来代替所有的感应电荷，于是可求得G1的类似于的类似于G0的有限形式的解。显然，这一等效的点电荷不能的有限形式的解。显然，这一等效的点电荷不能位于球内，因为感应电荷在球内的场满足位于球内，因为感应电荷在球内的场满足 即球内即球内是无源的。又根据对称性，这个等效电荷必位于是无源的。又根据对称性，这个等效电荷必位于OM0的延长的延长线上的某点线上的某点M1，记等效电荷的电量为，记等效电荷的电量为 q，其在空间任意点，其在空间任意点M引起的电势为引起的电势为4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 若将场点取在球面若将场点取在球面P点，则若点，则若则则 相似，从而相似，从而4.1 点源点源函数函数法回顾法回顾 4 格林函数格林函数 因此若取因此若取 ，则球面上的总电势为，则球面上的总电势为正好满足正好满足这个设想的位于这个设想的位于M1点的等效点电荷称为点的等效点电荷称为M0点点电荷的电像。这样，球内任一点点点电荷的电像。这样，球内任一点的总电势是的总电势是其中其中4.2.1 格林函数的引入格林函数的引入 在希尔伯特空间中的在希尔伯特空间中的S-L系统（微分算子方程）与积分算系统（微分算子方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联系中可以引入格林函数的子之间有着密切的联系，从这个联系中可以引入格林函数的定义，同时，利用这些格林函数，可将微分方程的表述转化定义，同时，利用这些格林函数，可将微分方程的表述转化为积分方程，进而得到问题的求解。为积分方程，进而得到问题的求解。注意到积分算子方程：注意到积分算子方程：其中其中K是积分算子，如果定义为是积分算子，如果定义为 4.2 格林函数的引入格林函数的引入 4 格林函数格林函数 而而 是一个积分算子的核，当这个核来自于是一个积分算子的核，当这个核来自于包含微分算子方程的解时，被称为微分算子在相应边界条包含微分算子方程的解时，被称为微分算子在相应边界条件下的件下的格林函数格林函数，记为：，记为：它是服从边界条件它是服从边界条件 的系统相对应于的系统相对应于 的格林函数。的格林函数。为赫维赛函数：为赫维赛函数：由此，根据微分积分方程的关系，可以引入格林函数，事实上，由此，根据微分积分方程的关系，可以引入格林函数，事实上，可以仿照以上方法，构造不同边界条件下的格林函数。可以仿照以上方法，构造不同边界条件下的格林函数。4.2 格林函数的引入格林函数的引入 4 格林函数格林函数 例：方程例：方程下的解为下的解为 因此，可以引入因此，可以引入格林函数格林函数 作为算子作为算子 在本问题边界条件下的格林函数。在本问题边界条件下的格林函数。4.2 格林函数的引入格林函数的引入 4 格林函数格林函数 在边界条件在边界条件同样这个方程，改变边界条件为同样这个方程，改变边界条件为 时时 方程的解为方程的解为 因此，根据格林函数的定义有因此，根据格林函数的定义有 即：即：4.2 格林函数的引入格林函数的引入 4 格林函数格林函数 可见：可见：1、边界条件对格林函数的形式影响很大；、边界条件对格林函数的形式影响很大；2、格林函数的对称性与边界条件有关，后一个边界下是、格林函数的对称性与边界条件有关，后一个边界下是对称的，满足对称的，满足事实上，格林函数的对称性与算子的厄米性密切相关。事实上，格林函数的对称性与算子的厄米性密切相关。4.2.2 格林函数的对称性格林函数的对称性 若算子若算子L对任意函数对任意函数 f 和和 g 有有 则则L是对称的，即自伴算子。是对称的，即自伴算子。在给定边界条件下，正因为微分算子的对称性，格林函数在给定边界条件下，正因为微分算子的对称性，格林函数也具有对称性。也具有对称性。4.2 格林函数的引入格林函数的引入 4 格林函数格林函数 4.2.3 微分方程与积分方程微分方程与积分方程 显然，在显然，在 ，通过格林函数，可以把微分方程转化，通过格林函数，可以把微分方程转化为积分方程，从而使问题简化。这种作用是通过将微分算为积分方程，从而使问题简化。这种作用是通过将微分算子转化为以格林函数为核的平方可积的积分算子，这种平子转化为以格林函数为核的平方可积的积分算子，这种平方可积类型的核具有许多很好的性质，可以把任何有界函方可积类型的核具有许多很好的性质，可以把任何有界函数的无穷序列变成一个包含有平均收敛子序列的序列，容数的无穷序列变成一个包含有平均收敛子序列的序列，容易和矩阵理论相结合，使问题容易求解。易和矩阵理论相结合，使问题容易求解。4.2 格林函数的引入格林函数的引入 4 格林函数格林函数 4.2 格林函数的引入格林函数的引入 4 格林函数格林函数 若需求解若需求解它不能直接积分求解，在此意义下它才是真正的微分方程。它不能直接积分求解，在此意义下它才是真正的微分方程。积分号下包含有未知函数的方程称为积分号下包含有未知函数的方程称为积分方程积分方程类似的，对类似的，对其中其中可得相应的积分方程可得相应的积分方程设有算子方程设有算子方程 不妨设不妨设L具有一个正交完备的本征函数集合具有一个正交完备的本征函数集合 ，即有，即有 则将解则将解y 和已知函数和已知函数f 都表示为都表示为代入算子方程，有代入算子方程，有 1、格林函数的本征表述、格林函数的本征表述4.3 格林函数与格林函数与 函数函数 4 格林函数格林函数 即即 由于由于 线性无关，因此线性无关，因此 所以所以 注意，这里的注意，这里的 ，并且假设对所有的，并且假设对所有的n 有有4 格林函数格林函数 4.3 格林函数与格林函数与 函数函数 可得：可得：因此因此 格林函数的本征函数表达式为格林函数的本征函数表达式为 是实数，算子是实数，算子L是厄米的，则格林函数是对称的是厄米的，则格林函数是对称的。4 格林函数格林函数 4.3 格林函数与格林函数与 函数函数 例：例：求在区间求在区间0,1 内，算子内，算子对应的格林函数的本征函数表示。对应的格林函数的本征函数表示。解：解：L的端点值为零的归一化的本征函数是的端点值为零的归一化的本征函数是 本征值是本征值是 故格林函数为故格林函数为它一致收敛于一个连续函数，即前边所给的它一致收敛于一个连续函数，即前边所给的 4 格林函数格林函数 4.3 格林函数与格林函数与 函数函数 2、格林函数与、格林函数与 函数函数进一步，把进一步，把L作用到作用到G上，上，注意到，对任意函数注意到，对任意函数f(x)有有而而 是一个正交归一完备集合，右端就是是一个正交归一完备集合，右端就是f(x)的本征函的本征函数展开，因此有数展开，因此有 4 格林函数格林函数 4.3 格林函数与格林函数与 函数函数 因此因此I 具有具有 函数的性质，从而得到函数的性质，从而得到 这正是我们预期的结果。这正是我们预期的结果。至此，格林函数表示方程的解为至此，格林函数表示方程的解为 对对有有其中其中 是对应齐次方程是对应齐次方程 的通解，常数项由边界条件确定。的通解，常数项由边界条件确定。4 格林函数格林函数 4.3 格林函数与格林函数与 函数函数 设一般的二阶线性微分算子为设一般的二阶线性微分算子为 对齐次方程：对齐次方程：的两个线性无关的解为的两个线性无关的解为 ，我们希望求解方程，我们希望求解方程 比较上两个方程可以看到，除了比较上两个方程可以看到，除了 外，外，G必须满足方必须满足方程，因此，对程，因此，对 ，G应该是方程（应该是方程（1）的两个解的）的两个解的线性组合，对线性组合，对 类似。于是我们得到类似。于是我们得到（1）（2）4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 而在而在 处，处，G必须连续，因为如果它不连续，必须连续，因为如果它不连续，就包含一个就包含一个 函数，因此函数，因此 就应包含就应包含 函数的导数，函数的导数，但是（但是（2）式中只有一个）式中只有一个 函数，所以函数，所以G是连续的。是连续的。但是但是 是不连续的，而且我们可以从（是不连续的，而且我们可以从（2）式两边从）式两边从 从从 到到 进行积分来确定它的跃进行积分来确定它的跃度。即把（度。即把（2）式两边积分）式两边积分（3）4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 假设假设 连续，由考虑到连续，由考虑到 很小，这些函数在积分很小，这些函数在积分范围内的变化可以忽略（即提到积分号外），用它们在范围内的变化可以忽略（即提到积分号外），用它们在 处的值替代，再化简，得到处的值替代，再化简，得到G的导数在的导数在 的跃度为：的跃度为：（4）利用利用G在在 处的连续性，加上（处的连续性，加上（4）式，可得）式，可得，其中其中W是朗斯基行列式，它是是朗斯基行列式，它是 因此，因此，G可以表示为：可以表示为：4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 可以证明可以证明 总不为零，总不为零，可以通过边界条件确可以通过边界条件确定，格林函数的最终形式与边界条件的类型有很强的依赖关系。定，格林函数的最终形式与边界条件的类型有很强的依赖关系。如果边界条件是各种单点型，则要求如果边界条件是各种单点型，则要求 ，格林函数，格林函数可表示为：可表示为：4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 而由格林函数表示的解为而由格林函数表示的解为 其中其中 为初始时刻，当我们用单点边界条件为初始时刻，当我们用单点边界条件 时，可以把积分项看作不存在一样来确定时，可以把积分项看作不存在一样来确定A和和B.对于边界条件是两端点型时，如对于边界条件是两端点型时，如 同样可以把解写成（同样可以把解写成（5）式，只是恰当选择）式，只是恰当选择G中的中的 ，使，使（5）从而再由解（从而再由解（5）式确定）式确定A和和B的值。的值。4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 那么对非齐次微分方程，如那么对非齐次微分方程，如 它能够被写成积分方程的形式它能够被写成积分方程的形式其中其中 是齐次方程是齐次方程 满足边界条件的解的满足边界条件的解的线性组合，线性组合，G是是L满足相应边界条件的格林函数。满足相应边界条件的格林函数。4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 例：例：算子算子 在给定两点边界条件下的格林函数：在给定两点边界条件下的格林函数：4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 解：解：因为因为 而：而：从而从而 为了方便，把端点为了方便，把端点 。由。由 得得 4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 又由又由 得得所以：所以：代入代入G的表达式，得的表达式，得 可见边界条件影响格林函数的结果。可见边界条件影响格林函数的结果。对比单点边界条件（经典力学）对比单点边界条件（经典力学）的格林函数的格林函数(5.35a)为为在三维情况下，研究算子在三维情况下，研究算子 其中其中 是拉普拉斯算子，是拉普拉斯算子，事实上，三维算子方程计算格林函数的方法不同于一维的情事实上，三维算子方程计算格林函数的方法不同于一维的情况，我们作如下讨论：况，我们作如下讨论：对算子方程对算子方程（1）4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下的格林函数三维情况下的格林函数 假设式假设式 和和 的傅立叶变换存在的傅立叶变换存在 对（对（1）两边进行傅立叶变换，有）两边进行傅立叶变换，有 利用格林公式利用格林公式 令令 则有则有（2）4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下的格林函数三维情况下的格林函数 4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下的格林函数三维情况下的格林函数 积分域是整个三维空间，因此在计算表面积分时，我们把表面积分域是整个三维空间，因此在计算表面积分时，我们把表面取成半径为取成半径为R的球面，然后取的球面，然后取R趋于无穷的极限即可。此时趋于无穷的极限即可。此时 正好是径向的单位矢，所以面积分项为正好是径向的单位矢，所以面积分项为 其中其中如果当如果当 时，时，足够快地趋于零，那么面积分将为足够快地趋于零，那么面积分将为趋于零，则有趋于零，则有其中其中，因此方程（，因此方程（2）变为）变为 4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下的格林函数三维情况下的格林函数 以下分两种情况考虑：以下分两种情况考虑：1.的情况的情况令令 ，此时，此时 总不为零，有总不为零，有 所以所以其中其中 表示齐次方程表示齐次方程解的任意线性组合。带入解的任意线性组合。带入 ，写成由格林函数表示的写成由格林函数表示的解为解为4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下的格林函数三维情况下的格林函数 其中格林函数其中格林函数利用复变函数理论，得到利用复变函数理论，得到在实际物理问题中，经常要求在实际物理问题中，经常要求 r 非常大时解非常大时解(3)仍有界，因仍有界，因此，解最终表示为此，解最终表示为(3)4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下的格林函数三维情况下的格林函数 （4）在这种情况下，忽略在这种情况下，忽略(5.49)式中的面积分是合理的，式中的面积分是合理的，当当 足够大，足够大，因此，当因此，当 足够大时，足够大时，按指数形式下降。按指数形式下降。4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下的格林函数三维情况下的格林函数 (源的分布源的分布)下降得足够快下降得足够快(有限有限)，则，则例：例：静电场的泊松方程静电场的泊松方程 解：解：当当 足够大，足够大，其中，其中这个结果在我们的期盼之中，足够远距离处，可以把这个结果在我们的期盼之中，足够远距离处，可以把任何的电荷分部都看成是任何的电荷分部都看成是点电荷点电荷。4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下的格林函数三维情况下的格林函数 在在中令中令给出给出2.的情况的情况中中 当当 时为零。为了避开这个困难，时为零。为了避开这个困难，我们假定我们假定 是一个正实数和一个虚数之和，即是一个正实数和一个虚数之和，即 最后让最后让 ，得到正常的结果。由，得到正常的结果。由得得采用和采用和 情况相同的处理步骤，得到情况相同的处理步骤，得到 4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下的格林函数三维情况下的格林函数 对它的处理要更细致些，因为现在对它的处理要更细致些，因为现在（5）4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下的格林函数三维情况下的格林函数 其中其中 由于插入了虚部，积分道路上没有了极点，可以像前边由于插入了虚部，积分道路上没有了极点，可以像前边的情况继续进行下去，最后得的情况继续进行下去，最后得代回（代回（5）式得）式得 其中，其中，是齐次方程是齐次方程 的解，它的形式的解，它的形式4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下的格林函数三维情况下的格林函数 为为所以完全解为所以完全解为 A,q由初始条件确定。由初始条件确定。例：求解薛定谔方程例：求解薛定谔方程在在 时的解。时的解。解：解：这种情况正是上述情况，令这种情况正是上述情况，令 ，立刻得到波函数，立刻得到波函数所满足的积分方程所满足的积分方程4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下的格林函数三维情况下的格林函数 其中其中 ，这是量子力学中散射问题的李普曼，这是量子力学中散射问题的李普曼许温格（许温格（LippmannSchwinger）方程）方程。在远区，在远区，其中其中 是径向单位矢量，分母上的是径向单位矢量，分母上的则则4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下的格林函数三维情况下的格林函数 其中其中 ，则，则 称为称为散射振幅散射振幅，它表示散射粒子流和入射流之比。，它表示散射粒子流和入射流之比。令：令：1、拉普拉斯方程在笛卡儿坐标系下的格林函数、拉普拉斯方程在笛卡儿坐标系下的格林函数 例：例：如图所示，一无限长矩形波导管，如图所示，一无限长矩形波导管，管壁接地，管内放一均匀细线电荷，求管管壁接地，管内放一均匀细线电荷，求管内电势分布。内电势分布。解：此问题可归结为解：此问题可归结为 这样的问题中，仍可用前边讨论的一维微分算子格林函数的这样的问题中，仍可用前边讨论的一维微分算子格林函数的思想，即把包含思想，即把包含 源的空间分为唯一的两个区域，而源只考源的空间分为唯一的两个区域，而源只考虑一次。对本二维问题，可以按源的左边和右边划分，也可虑一次。对本二维问题，可以按源的左边和右边划分，也可按源的上边和下边划分。结果相同。按源的上边和下边划分。结果相同。4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中的应用格林函数在电磁学中的应用 (1)在在 的区域，有的区域，有 代入上式得代入上式得 从而有：从而有：注意到上边界条件，得解为注意到上边界条件，得解为 4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中的应用格林函数在电磁学中的应用 令令注意到上边界条件上式化为注意到上边界条件上式化为 4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中的应用格林函数在电磁学中的应用 相应的本征函数为相应的本征函数为本征值为本征值为故考虑了边界条件的方程的解为故考虑了边界条件的方程的解为(2)在在 的区域，有的区域，有 其解为：其解为：(3)由由 ,处的处的G的性质确定系数的性质确定系数 和和 ：由由G的连续性（即电势的连续性）：的连续性（即电势的连续性）：4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中的应用格林函数在电磁学中的应用 即：即：由三角函数的正交性，得由三角函数的正交性，得(a)下边讨论下边讨论G 对对 y 的导数在源处的跃度的导数在源处的跃度其中：其中：4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中的应用格林函数在电磁学中的应用 令：令：把把G 代入原微分方程代入原微分方程得得两边乘以两边乘以 ，并在，并在0,a上积分，由正交性得上积分，由正交性得 这就是这就是 所满足的常微分方程，由前边讨论的跃度公所满足的常微分方程，由前边讨论的跃度公式式4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中的应用格林函数在电磁学中的应用 可得可得 即：即：结合结合可得可得 4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中的应用格林函数在电磁学中的应用 最后可得格林函数为最后可得格林函数为 4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中的应用格林函数在电磁学中的应用 或或2、拉普拉斯方程在柱面坐标系下的格林函数、拉普拉斯方程在柱面坐标系下的格林函数 例例:如右图所示，求接地的圆柱形导电匣内的电位问题，匣内如右图所示，求接地的圆柱形导电匣内的电位问题，匣内的一个单位源在点的一个单位源在点 上。上。解：格林函数满足的方程是解：格林函数满足的方程是 类似上例，把圆柱导电匣内分成两个区域：类似上例，把圆柱导电匣内分成两个区域：（1）4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中的应用格林函数在电磁学中的应用 (1)在区域在区域 用分离变量法可求得其解为用分离变量法可求得其解为 其中其中 是是 的第的第n个根。个根。(2)在区域在区域4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中的应用格林函数在电磁学中的应用 (3)在在 处处G的性质决定系数的性质决定系数 。由。由G的连续性的连续性 得：得：令：令：其中：其中：4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中的应用格林函数在电磁学中的应用 代入原方程（代入原方程（1），并化简得），并化简得 将两边乘以将两边乘以 并在并在 和和 上对上对 积分，并考虑正交性得积分，并考虑正交性得G z 满足：满足：其中其中 从而从而 4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中的应用格林函数在电磁学中的应用 即：即：联立前边得到的联立前边得到的4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中的应用格林函数在电磁学中的应用 可得系数可得系数进而得进而得 4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中的应用格林函数在电磁学中的应用 当当 时时当当 时时由于所得格林函数解对所有的由于所得格林函数解对所有的a,l 值都成立，所以我们可以把值都成立，所以我们可以把所得结果推广而求得另外一些问题的格林函数。所得结果推广而求得另外一些问题的格林函数。推广推广1:如果使如果使l 变成无穷大，则能够求出具有一端开路的一个变成无穷大，则能够求出具有一端开路的一个半无穷长接地圆柱形匣的格林函数。这个问题还能够进一步推半无穷长接地圆柱形匣的格林函数。这个问题还能够进一步推广以得到一个无限长接地圆柱的格林函数。这个问题的解是广以得到一个无限长接地圆柱的格林函数。这个问题的解是 4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中的应用格林函数在电磁学中的应用 推广推广2:若再使若再使a 变为无穷大，就得自由空间中的一个单位源变为无穷大，就得自由空间中的一个单位源在柱面坐标下的格林函数。此时格林函数的径向关系的傅立在柱面坐标下的格林函数。此时格林函数的径向关系的傅立叶级数的表达式转化为一个傅立叶积分表达式，成为叶级数的表达式转化为一个傅立叶积分表达式，成为 式中用式中用 取代了取代了 并且使用了由并且使用了由 的渐近式所的渐近式所得出的得出的 值。然而从静电学知道，柱面坐标下自由空间的值。然而从静电学知道，柱面坐标下自由空间的格林函数是格林函数是