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第九章第九章 自相关自相关 9.1 9.1 自相关的含义及其表现形式自相关的含义及其表现形式 9.2 9.2 自相关的来源自相关的来源 9.3 9.3 忽视自相关的后果忽视自相关的后果 9.4 9.4 自相关的检验自相关的检验 9.5 9.5 误差项一阶自相关的校正方法误差项一阶自相关的校正方法 9.6 9.6 误差项高阶自相关的校正方法误差项高阶自相关的校正方法 9.7 9.7 修正标准误的尼威修正标准误的尼威韦斯特方法韦斯特方法 9.8 ARCH9.8 ARCH模型模型 9.9 9.9 例子：我国货币需求函数的估计例子：我国货币需求函数的估计 9.10 9.10 广义最小二乘法校正自相关广义最小二乘法校正自相关蒙特卡洛实验结果蒙特卡洛实验结果 计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著前言o本章继续探讨违背经典假定的模型，在第三章所介绍的经典假定6要求随机误差没有自相关。o但实际问题研究中，如果数据观测值的顺序有一定含义，就有可能存在自相关。因而在时间序列数据中，自相关问题经常发生。计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著9.1 自相关的含义及其表现形式 o一、自相关的含义 图9.1.1：货币需求函数估计的残差图 自相关？计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著 o图9.1.1中的残差似乎隐含着这么一种规律：后一期残差与前一期残差有一种相关性。这正是随机误差项自相关的一种表现形式。o自相关又称为序列相关，实际中，如果变量在时间或空间的顺序有一定含义，就有可能存在序列相关，特别是在时间序列数据的研究中，数据的观测值往往是按照时间的先后自然排列，因此连续观测的时间序列数据就表现出内在的相关性。o如：一年期存款基准利率、我国股票的上证综合指数或上证180指数 计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著若误差项 的性质满足(9.1.2)式，就称误差项没有自相关(或序列相关)。o经典线性回归模型假定随机误差项()不相关是指对于回归模型：(9.1.1)(9.1.2)当随机误差项存在自相关时，用符号表示就是：(9.1.3)计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著二、自相关的表现形式o假定随机误差项的自相关形式如下：(9.1.4)o其中，为自相关系数或自回归系数。为随机误差项，满足经典假定，且 与 不相关。o上式表示随机误差项的一阶自相关计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著o如果自相关系数=0，则 =，无自相关，如图9.1.2图9.1.2：无自相关序列 计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著如果误差项的自相关系数 大于0，此时误差项正自相关，如图9.1.3图9.1.3：正自相关序列计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著 o如果误差项的自相关系数 小于0，此时误差项负自相关，如图9.1.4图9.1.4：负自相关序列计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著 o除了一阶自相关外，自相关还有许多其它形式。如：季度数据的模型中可能存在的基于季节的序列相关：滞后二期相关：类似地可构造更高阶的自相关，但通常 一阶自相关最为常见。（9.1.5）（9.1.6）计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著9.2 自相关的来源o为什么随机误差项会有自相关？原因种种，常见的有以下几种：一、惯性 如宏观经济上升时，国内生产总值等大多数经济变量一般会存在如宏观经济上升时，国内生产总值等大多数经济变量一般会存在惯性地持续上升趋势，这类惯性常常使得随机误差项具有自相关。惯性地持续上升趋势，这类惯性常常使得随机误差项具有自相关。二、模型的函数形式设定不正确 在经验分析中，模型的正确函数形式总是未知的，若回归模型在经验分析中，模型的正确函数形式总是未知的，若回归模型所采用的函数形式与所研究问题的真实关系不一致，或者所采用的函数形式与所研究问题的真实关系不一致，或者遗漏重遗漏重要解释变量，要解释变量，随机误差项往往也会出现自相关。随机误差项往往也会出现自相关。计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著三、数据处理引起的自相关 估计回归模型时所使用的数据常常是公开发表的数据，估计回归模型时所使用的数据常常是公开发表的数据，这些这些数据往往是经过处理后的数据，如：季度数据往往由月度数据计数据往往是经过处理后的数据，如：季度数据往往由月度数据计算得来；通过所谓的算得来；通过所谓的“内插内插”或或“外推外推”得到人口普查、卫生服得到人口普查、卫生服务调查等数据；研究者为了需要对模型中的变量做差分变换。这务调查等数据；研究者为了需要对模型中的变量做差分变换。这些数据处理往往会引起随机误差项自相关。些数据处理往往会引起随机误差项自相关。四、某些模型中的随机误差项的特性带来的自相关 回归模型中，随机误差项所包含的是随机因素对被解释变量影回归模型中，随机误差项所包含的是随机因素对被解释变量影响的部分。有些随机因素对经济的影响可能会延续至随后的若干响的部分。有些随机因素对经济的影响可能会延续至随后的若干期，这样就导致误差项具有自相关。如期，这样就导致误差项具有自相关。如2003年的年的“非典非典”疫情疫情对经济增长的影响。对经济增长的影响。计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著9.3 忽视自相关的后果 o如果误差项存在自相关，模型参数的最小二乘估计量将不再是BLUE，对回归参数的假设检验也不再可靠，具体而言，直接使用普通最小二乘法通常会带来如下结果：一、回归系数的最小二乘估计量仍具有无偏性 对一元线性回归模型：（9.3.1）无自相关情况下，的估计量为：（9.3.2）计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著如果有自相关，对 的估计量取期望：（9.3.3）可见，只要解释变量与随机误差项不相关，最小二乘估计的回归系数就具有无偏性。计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著存在一阶自相关，则 的方差为:=(9.3.5)二、估计的回归系数不再具有最小方差性 经典假定下，的方差为：（9.3.4）计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著三、有可能低估误差项的方差 无自相关时,的方差的无偏估计量为：即有：但当误差项有一阶自相关时，可得到:(9.3.8)一般，和 都是正数，则 计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著9.4 自相关的检验一、图示法 先观察 对 回归的残差时序图：图9.4.1：残差时间顺序图 正相关计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著o进一步，以残差的滞后一期做为横轴，当期残差为纵轴描点得到图9.4.2：图示法本质上还是一种经验判断，不能作为检验的最终依据。图9.4.2：当期残差与滞后残差关系图 正的斜率计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著二、德宾沃森的DW自相关检验 该检验的前提条件：（1）回归模型含有截距项 （2）解释变量是非随机的 （3）随机误差项的自相关形式为一阶自相关 （4）随机误差项被假定为正态分布 （5）不能把滞后因变量作为解释变量放在模型中 （6）统计数据比较完整，没有缺失数据，样本容 量充分大 计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著DW检验的基本原理和步骤：（1）给出原假设：，备选假设：（2）用残差构造DW检验统计量：样本容量充分大的条件下，有：代入(9.4.3)式，可得：(9.4.2)(9.4.4)(9.4.5)计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著自相关系数 的取值范围为-1,1，则DW统计量的取值区间为0,4。（1 1）若误差项）若误差项没有自相关没有自相关，则对应，则对应DWDW统计量值为统计量值为2 2。若计算得到的若计算得到的DWDW值大约为值大约为2 2，则表明误差项没有自相，则表明误差项没有自相关。关。（2 2）若）若 ，表明误差项有，表明误差项有完全正自相关完全正自相关，对应，对应DWDW值值等于等于0 0。因此，。因此，DWDW值越接近于值越接近于0 0，正自相关的迹象越明，正自相关的迹象越明显。显。（3 3）若）若 ，随机误差项具有，随机误差项具有完全的负自相关完全的负自相关，对，对应应DWDW等于等于4 4。因此，。因此，DWDW值越接近于值越接近于4 4，负自相关的迹象，负自相关的迹象越明显越明显 计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著oDW统计量没有唯一的临界值帮助判断拒绝或不拒绝原假设，只有一个临界值的上限 和临界值下限 。将计算得到的DW值和上下限进行比较，从而容易判断误差项是否存在自相关。不同样本容量和解释变量对应的 和 可在附表中查得。具体判别规则如图9.4.3：正自相关拒绝 不拒绝不确定区域 不确定区域负自相关 不拒绝拒绝 图9.4.3 DW检验的判别规则计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著o当在DW值落入不确定区间时，也可采用修正的方法。给定显著性水平 ，具体检验方法是：o（1），若 ,则在显著性水平 上拒绝 ，即误差项存在显著正自相关。o（2），若4-，则在显著性水平 上拒绝 ，即误差项存在显著负自相关。o（3），若 或 ，则在显著性水平上拒绝，即存在显著自相关。计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著三、布罗施戈弗雷检验(简称BG)对于回归模型：(9.4.6)假设其误差项的自相关形式为：(9.4.7)则没有自相关的原假设为：备选假设：至少有一个 不为0。计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著o该检验过程如下：（1）使用OLS估计模型(9.4.6)，得到残差记为 。（2）将上述估计的残差 与残差滞后值 进行辅助回归，并计算辅助回归模型的可决系 数 。（3）在大样本下，渐进地有：对于给定显著性水平 ，若计算的 大于 的临界值，则拒绝原假设，认为至少有一个的值显著不为0，即存在自相关。计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著oBGBG检验在应用过程中有几点需要注意：检验在应用过程中有几点需要注意：o（1 1）若模型）若模型(9.4.6)(9.4.6)中的解释变量不是严格外生中的解释变量不是严格外生 的，会有一个或多个的，会有一个或多个 与与 相关。相关。o（2 2）即使误差项服从）即使误差项服从 阶移动平均过程，阶移动平均过程，BGBG检验检验 也适用。也适用。o（3 3）确定滞后阶数的方法有二：一种是对辅助回）确定滞后阶数的方法有二：一种是对辅助回 归模型中的回归系数进行显著性检验，将显归模型中的回归系数进行显著性检验，将显 著不为著不为0 0的系数保留在辅助回归中，另一种的系数保留在辅助回归中，另一种 是使用赤池或施瓦茨信息准则筛选滞后长是使用赤池或施瓦茨信息准则筛选滞后长 度。度。计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著四、博克斯皮尔斯的Q检验o根据OLS估计的残差构造Q统计量：(9.4.12)其中，残差无自相关的原假设下，由残差无自相关的原假设下，由(9.4.12)(9.4.12)式所定义的式所定义的统计量渐进服从自由度为统计量渐进服从自由度为 的的 分布。将计算的分布。将计算的Q Q统统计量值与临界值比较，从而接受或拒绝原假设。计量值与临界值比较，从而接受或拒绝原假设。计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著9.5 误差项一阶自相关的校正方法自相关纯粹自相关：广义最小二乘法(GLS)非纯粹自相关：改进模型的设定 计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著一、广义最小二乘法(GLS)oGLS的基本思想：将存在自相关的误差项转化为一 个满足经典假定的误差项，然后对转化后的模型进行OLS回归。设原始回归模型如下：其中误差项具有一阶自相关形式：将(9.5.2)代入(9.5.1)式，得到：（9.5.1）（9.5.2）（9.5.3）计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著将模型(9.5.1)表述为 期表达式，并在两边同时乘以自相关系数 ：（9.5.4）将(9.5.3)减去(9.5.4)，得到：（9.5.5）令 ，（），则模型(9.5.5)可表述为：（9.5.6）变换后的模型(9.5.6)称为广义差分模型，模型中的误差项()没有自相关并满足其余经典假定，因此，可以用OLS估计，从而得到最佳线性无偏估。计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著oGLS模型和原始模型相比：o（1）斜率系数相同，截距项不同：o（2）被解释变量不同，GLS模型的 (或 )不能直接和原始模型OLS的 (或 )进 行比较。o（3）GLS模型损失了第一个样本观测值。计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著二、一阶自相关系数的估计 使用GLS校正自相关的前提是误差项的自相关系数已知，事实上很少能够知道自相关系数，常用的估计方法有：1、通过DW统计量估计2、Durbin两步法（1）假定原始模型为：误差项一阶自相关：进行广义差分变换得到：（9.5.7）计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著对模型(9.5.7)进行移项后：令 ，从而得到：对模型(9.5.9)进行OLS估计得到 的估计值 。再用估计 的对原始模型进行广义最小二乘估计。3、从残差中估计 将残差 对其滞后项进行回归，如：注：不需加入截距项（9.5.8）（9.5.9）（9.5.10）计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著4、科克伦奥克特(Cochrane-Orcutt)迭代估计(1)利用OLS估计原始模型，得到估计的残差(2)根据估计的残差 ，计算第一次 的估计值 (3)利用估计的 值对模型进行广义的差分变换，并估计广义模型，得到第二次估计的残差 和 第二次对 的估计值 ，计算公式与同 。(4)重复(2)、(3)两步，直至的前后两次估计结果 比较接近为止，即 注：该方法也适合于高阶自相关（9.5.11）计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著9.6误差项高阶自相关的校正方法 o本节以误差项二阶自相关为例，分析高阶自相关及其校正，假定原始模型仍为（9.5.1）：o误差项为二阶自相关：o使用广义差分法，对模型（9.5.1）变换得到：如果已知 和 ，则可直接对上式进行估计。如果 和 未知，可通过原始模型的残差项自回归得到。计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著9.7 修正标准误的尼威韦斯特方法 o该方法的核心是使用非参数的方法估计标准误，直接对误差项有自相关的回归模型使用OLS，从而避免了确定滞后阶数和估计自回归系数，但却可以提高标准误的估计精度。o对多元线性回归模型：o直接用OLS对其估计得到的回归系数的标准误是不精确的，尼威韦斯特方法可对其估计的 进行校正，具体步骤如下：(9.7.1)计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著o(1)用 对其余解释变量做回归：o(2)对某个选定的整数 ,定义：o其中 ,N为样本数量。g的选择依赖于误差项自相关的性质，自相关阶数越高g取值越大。Newey和West(1987)建议选择：o令 表示用OLS估计模型(9.7.1)得到的 的标准误，为用OLS估计模型(9.7.1)得到的误差项 的标准误，则 的校正标准误就是：(9.7.2)(9.7.3)(9.7.4)计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著例子：利率期限结构的尼威韦斯特标准误 o 为长期利率，以我国商业银行90天同业拆借利率的月度加权平均值表示，为短期利率，以商业银行7天同业拆借利率的月度加权平均值表示，为了便于比较，先直接用OLS估计的结果如下。计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著使用尼威韦斯特的计算程序，对上述回归方程再次进行估计，结果如下：与前面结果比较与前面结果比较计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著9.8 ARCH模型 o很多时间序列模型中，随机误差项同时具有自相关和异方差。如上市公司深发展(股票代码：000001)的2006年1月份至2009年9月每日的收盘价格如图9.8.1所示：图9.8.1：深发展(000001)日收盘价趋势图计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著o针对时间序列数据的上述特征，Engle(1982)提出了自回归条件异方差模型，即ARCH模(autoregressive conditional heteroskedasticity）。若一个随机变量 可以表示为AR(p)形式，其随机误差项的方差可用误差项平方的q 阶分布滞后模型描述：(9.8.1)(9.8.2)则称 服从q阶的ARCH过程，其中(9.8.1)式称作均值方程，(9.8.2)式称作ARCH方程。计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著o一种简单的实现对模型(9.8.2)的估计方法就是设定如下线性回归模型：(9.8.3)为表述方便，可认为像(9.8.3)式这样表述的误差项方差来自于如下定义的扰动：(9.8.4)计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著为了保证 的条件方差始终为正数，我们需要假设 ，都是正数，此外，为保证自回归过程的平稳性，还必须同时假定 。(9.8.5)最简单的是ARCH（1）模型，即 ，由于 ，所以基于历史数据 ，的条件方差可表述为：计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著o对于类似(9.8.3)式的ARCH()模型，其检验过程如下：o（1）用OLS对原始模型做回归，得到残差序列 。o（2）构建模型：并用OLS回归。o（3）如果这些系数都显著的异于零，则条件同方 差误差的假定被拒绝，接受ARCH()扰动项。可使用F检验或LM检验，检验估计的 的联合显著性。LM检验统计量是 ，该统计量渐近服从分布 ，自由度 为步骤(2)中回归模型的滞后阶。如果计算的 大于对应的临界值，说明误差项有ARCH()效应。计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著oBollerslev(1986)扩展了上述Engle(1982)的ARCH 模型，引入一种允许条件方差转化为一个ARMA过 程的方法，被称为GARCH(q,j)模型，其误差项条 件方差为：o从上式可见，条件方差 不仅取决于其q 阶自回归，而且依赖于j 阶移动平均过程。o如果上式中 都为零，则GARCH(q,j)模型就等同于一个ARCH(q)模型。(9.8.6)计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著例子：我国商业银行7天同业拆借利率的月度平均值 （2002年4月2009年8月）图9.8.2：商业银行同业拆借利率计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著o通过对滞后阶数的选择，估计了如下自回归模型：计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著对残差进行对残差进行ARCHARCH效应检验得到如下结果：效应检验得到如下结果：计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著9.9 例子：我国货币需求函数的估计 o根据相关经济理论，影响实际货币需求的主要因素为:居民的实际收入和持有货币的收益及成本。o以GDP表示居民的收入，以一年期存款基准利率(R)表示持有货币的成本，以准货币(M1)表示货币余额。o用消费者物价指数(CPI,1978=100)将GDP和M1换算成实际数据，然后取自然对数，分别记为 和 ，并同时对利率取自然对数，记为 。进行OLS回归得到：计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著实际货币需求（lnM1）对居民收入（lnGDP）和货币持有成本（lnR）的回归如下：计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著oDW统计量为0.629，小于临界值 ，表明误差项存在正自相关。o观察残差图：图9.9.1：回归残差图 计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著o为检验残差自相关形式，使用布罗施戈弗雷检验，首先选择滞后阶数 ，结果如下：BG检验统计量 =8.08计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著o检验结果表明存在一阶自相关，为使用广义最小二乘法校正误差项自相关，先估计自相关数 ，DW统计量可以计算得到的估计值约为0.685，用残差的回归来估计结果如下：得到自相关系数为0.7000，且显著计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著o令：对变换后的数据使用OLS估计，结果如下：计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著9.10 广义最小二乘法校正自相关 蒙特卡洛实验结果 o前述分析表明，当误差项存在自相关时，OLS估计的回归系数不具有最小方差性，为检验这一结果，我们使用一个简单的蒙特卡洛实验的结果进行说明，步骤如下：o(1)设定总体参数值 ，。o(2)选定样本容量 。o(3)从1,5的均匀分布中，独立地随机抽取100个 解释变量 。o(4)从独立的标准正态分布中，随机抽取100样 本，记为 。计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著o(5)给随机误差项 的初始值赋值为0.5，并设定 自相关系数 ，进而基于生成随机误差项 的100个观测值：。o(6)生成被解释变量100个观测值 。o(7)使用OLS和GLS分别对生成的 与 做回归，记 估计的回归系数为 和 。o(8)重复步骤(3)(7)共5000次，共得5000个估计 的 和 ，把这些估计的回归系数描 成散图。计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著图9.10.1：OLS估计结果 图9.10.2：GLS估计结果 均值：波动范围：0.024,1.014 0.024,1.014 计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著本章小结本章小结 1、自相关的含义、表现形式及其来源2、忽视自相关的后果3、自相关的检验：图示法、DW检验法、BG检验法、博克斯皮尔斯Q检验法。4、误差自相关的修正方法：广义最小二乘法、尼威韦斯特方法 5、自相关系数的估计方法：DW统计量、Durbin两步法、从残差中估计、科克伦奥克特的迭代估计法。ARCH模型及其检验计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著