【最新】人教版九年级数学中考压轴模拟试题(含答案解析)58107.pdf

【精品】人教版九年级数学中考压轴试题（含答案）1（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（1，0）和 B（0，3）（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与 x 轴的正半轴交于点 C，连接 BC设抛物线的顶点 P关于直线 y=t 的对称点为点 Q，若点 Q 落在OBC 的内部，求 t 的取值范围【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出点 Q 落在直线 BC 和 x 轴上时的 t 的值即可判断；【解答】解：（1）抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（1，0）和 B（0，3），解得，抛物线的解析式为 y=x2+2x+3 （2）如图，易知抛物线的顶点坐标为（1，4）观察图象可知当点 P 关于直线 y=t 的对称点为点 Q 中直线 BC 上时，t=3，当点 P 关于直线 y=t 的对称点为点 Q 在 x 轴上时，t=2，满足条件的 t 的值为 2t3【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型 2（7 分）在正方形 ABCD 中，点 P 在射线 AC 上，作点 P 关于直线 CD的对称点 Q，作射线 BQ 交射线 DC 于点 E，连接 BP（1）当点 P 在线段 AC 上时，如图 1 依题意补全图 1；若 EQ=BP，则PBE 的度数为 45，并证明；（2）当点 P 在线段 AC 的延长线上时，如图 2 若 EQ=BP，正方形 ABCD的边长为 1，请写出求 BE 长的思路（可以不写出计算结果）【分析】（1）作点 P 关于直线 CD 的对称点 Q，作射线 BQ 交射线 DC于点 E，连接 BP；依据题意得到 DP=EP，再根据四边形内角和求得BPE=90，根据 BP=EP，即可得到PBE=45；（2）连接 PD，PE，依据CPDCPB，可得 DP=BP，1=2，根据DP=EP，可得3=1，进而得到PEB=45，3=4=22.5，BCE中，已知4=22.5，BC=1，可求 BE 长【解答】解：（1）作图如下：如图，连接 PD，PE，易证CPDCPB，DP=BP，CDP=CBP，P、Q 关于直线 CD 对称，EQ=EP，EQ=BP，DP=EP，CDP=DEP，CEP+DEP=180，CEP+CBP=180，BCD=90，BPE=90，BP=EP，PBE=45，故答案为：45；（2）思路：如图，连接 PD，PE，易证CPDCPB，DP=BP，1=2，P、Q 关于直线 CD 对称，EQ=EP，3=4，EQ=BP，DP=EP，3=1，3=2，5=BCE=90，BP=EP，PEB=45，3=4=22.5，在BCE 中，已知4=22.5，BC=1，可求 BE 长【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合运用，解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理 3（8 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q的坐标为（x2，y2），且 x1x2，y1y2，若 PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与 x 轴平行，则称该等腰三角形为点 P，Q 的“相关等腰三角形”下图为点 P，Q 的“相关等腰三角形”的示意图（1）已知点 A 的坐标为（0，1），点 B 的坐标为，则点 A，B 的“相关等腰三角形”的顶角为 120；（2）若点 C 的坐标为，点 D 在直线 y=4上，且 C，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线 CD 的表达式；（3）O 的半径为，点 N 在双曲线 y=上若在O 上存在一点 M，使得点 M、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点 N 的横坐标 xN的取值范围 【分析】（1）画出图形求出BAO 的度数即可解决问题；（2）利用等边三角形的性质求出点 D 坐标即可解决问题；（3）因为点 M、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，推出直线MN 与 x 轴的夹角为 45，可以假设直线 MN 的解析式为 y=x+b，当直线与O 相切于点 M 时，求出直线 MN 的解析式，利用方程组求出点 N 的坐标，观察图象即可解决问题【解答】解：（1）如图 1 中，A 的坐标为（0，1），点 B 的坐标为，点 A，B 的“相关等腰三角形”ABC 的当 C（，0）或（2，1），tanBAO=，BAO=CAO=60，BAC=ABC=120，故答案为 120 （2）如图 2 中，设直线 y=4交 y 轴于 F（0，4），C（0，），CF=3，且 C，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，CDF=CDF=60，DF=FD=3tan30=3，D（3，4），D（3，4），直线 CD 的解析式为 y=x+，或 y=x+（3）如图 3 中，点 M、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直线 MN 与 x 轴的夹角为 45，可以假设直线 MN 的解析式为 y=x+b，当直线与O 相切于点 M 时，易知 b=2，直线 MN 的解析式为 y=x+2 或 y=x2，由，解得或，N（1，3），N（3，1），由解得或，N1（3，1），N2（1，3），观察图象可知满足条件的点 N 的横坐标的取值范围为：3xN1或 1xN3【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、“相关等腰三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题 4（5 分）如图所示，某小组同学为了测量对面楼 AB 的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为 40 米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端 A 的仰角为 30，底端 B 的俯角为 10，请你根据以上数据，求出楼 AB 的高度（精确到 0.1 米）（参考数据：sin100.17，cos100.98，tan100.18，1.41，1.73）【分析】过点D作DEAB于点E，在RtADE中tan1=，1=30，可得 AE=DEtan1，代入相应数据可得 AE 长，在 RtDEB 中，tan2=，代入相应数据可得 EB 长，进而可得 AB=AE+BE 的长，【解答】解：过点 D 作 DEAB 于点 E，在 RtADE 中，AED=90，tan1=，1=30，AE=DEtan1=40tan30=40401.7323.1 在 RtDEB 中，DEB=90，tan2=，2=10，BE=DEtan2=40tan10400.18=7.2，AB=AE+BE23.1+7.2=30.3 米 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决 5（6 分）已知：如图，AB 为O 的直径，CEAB 于 E，BFOC，连接 BC，CF 求证：OCF=ECB 【分析】延长 CE 交O 于点 G，利用圆周角的性质进行解答即可【解答】证明：延长 CE 交O 于点 G AB 为O 的直径，CEAB 于 E，BC=BG，G=2，BFOC，1=F，又G=F，1=2 即OCF=ECB【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理解答 6（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x2 与双曲线y=（k0）相交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标是 3（1）求 k 的值；（2）过点 P（0，n）作直线，使直线与 x 轴平行，直线与直线 y=x2 交于点 M，与双曲线 y=（k0）交于点 N，若点 M 在 N 右边，求 n 的取值范围 【分析】（1）把 A 横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标，确定出 A坐标，代入反比例解析式求出 k 的值即可；（2）根据题意画出直线，根据图象确定出点 M 在 N 右边时 n 的取值范围即可【解答】解：（1）令 x=3，代入 y=x2，则 y=1，A（3，1），点 A（3，1）在双曲线 y=（k0）上，k=3；（2）联立得：，解得：或，即 B（1，3），如图所示：当点 M 在 N 右边时，n 的取值范围是 n1 或3n0【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 7（7 分）已知：如图，在ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径作O 交BC 于点 D，过点 D 作O 的切线交 AB 于点 E，交 AC 的延长线于点 F（1）求证：DEAB；（2）若 tanBDE=，CF=3，求 DF 的长 【分析】（1）连接 OD，由 EF 为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 OD与 EF 垂直，又 OD=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由 AB=AC，根据等边对等角得到另一对角相等，等量代换可得出一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得出 OD 与 AB 平行，由与平行线中的一条直线垂直，与另一条也垂直，即可得证；（2）连接 AD，根据相似三角形的判定和性质解答即可【解答】证明：（1）连接 OD，EF 切O 于点 D，ODEF，又OD=OC，ODC=OCD，AB=AC，ABC=OCD，ABC=ODC，ABOD，DEAB；（2）连接 AD，AC 为O 的直径，ADB=90，B+BDE=90，B+1=90，BDE=1，AB=AC，1=2 又BDE=3，2=3 FCDFDA，tanBDE=，tan2=，CF=3，FD=6【点评】此题考查了切线的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键 8（7 分）综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且相邻两条平行线的距离为 1），使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长（1）如图 1，已知等腰直角三角形纸片ABC，ACB=90，AC=BC，同学们通过构造直角三角形的办法求出三角形三边的长，则 AB=；（2）如图 2，已知直角三角形纸片DEF，DEF=90，EF=2DE，求出 DF 的长；（3）在（2）的条件下，若橫格纸上过点 E 的横线与 DF 相交于点 G，直接写出 EG 的长 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出 AD=CE=3，BE=DC=2，进而利用勾股定理解答即可；（2）过点 E 作横线的垂线，交 l1，l2于点 M，N，根据相似三角形的判定和性质解答即可；（3）利用梯形的面积公式解答即可【解答】解：（1）如图 1，DAC+ACD=90，ACD+ECB=90，DAC=ECB，在ADC 与BCE 中，ADCBCE，AD=CE=3，BE=DC=2，AB=；故答案为：（2）过点 E 作横线的垂线，交 l1，l2于点 M，N，DME=EDF=90，DEF=90，2+3=90，1+3=90，1=2，DMEENF，EF=2DE，ME=2，EN=3，NF=4，DM=1.5，根据勾股定理得 DE=2.5，EF=5，（3）根据（2）可得：，即，解得：EG=2.5【点评】此题考查三角形综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质进行解答 9（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线经过点 A（3，4）（1）求 b 的值；（2）过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 B，在直线 AB 上任取一点 P，作点 A 关于直线 OP 的对称点 C；当点 C 恰巧落在 x 轴时，求直线 OP 的表达式；连结 BC，求 BC 的最小值 【分析】（1）将点 A 的坐标代入二次函数解析式求得 b 的值；（2）根据对称的性质，结合点 A 的坐标求得点 P 的坐标，然后利用待定系数法求得直线解析式；以 O 为圆心，OA 长为半径作O，连接 BO，交O 于点 C，结合点与坐标的性质，点与圆的位置关系求 BC 的最小值【解答】解：（1）抛物线经过点 A（3，4）令 x=3，代入，则，b=1；（2）如图：由对称性可知 OA=OC，AP=CP，APOC，1=2，又AOP=2，AOP=1，AP=AO，A（3，4），AO=5，AP=5，P1（2，4），同理可得 P2（8，4），OP 的表达式为 y=2x 或 如图：以 O 为圆心，OA 长为半径作O，连接 BO，交O 于点 C B（12，4），OB=，BC 的最小值为【点评】考查了二次函数综合题掌握待定系数法求二次函数、一次函数解析式，对称是性质的应用，点的坐标与图形的性质以及点与圆的位置关系等知识点，综合性比较强，难度较大 10（5 分）如图，建筑物的高 CD 为 17.32 米，在其楼顶 C，测得旗杆底部 B 的俯角 为 60，旗杆顶部 A 的仰角 为 20，请你计算旗杆的高度（sin200.342，tan200.364，cos200.940，1.732，结果精确到 0.1 米）【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，借助公共边 CE 等价转换，解这两个三角形可得 AE、BE 的值，再利用AB=AE+BE，进而可求出答案【解答】解：根据题意，再 RtBCE 中，BEC=90，tan=，CE=10 米，再 RtACE 中，AEC=90，tan=，AE=CEtan20100.364=3.64 米，AB=AE+BE=17.32+3.64=20.9621.0 米，答：旗杆的高约为 21.0 米【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形 11（5 分）如图，李师傅想用长为 80 米的棚栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD 已知教学楼外墙长50米，设矩形ABCD的边长 AB 为 x（米），面积为 S（平方米）（1）请写出活动区面积 S 与 x 之间的关系式，并指出 x 的取值范围；（2）当 AB 为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）设矩形的边 AB 为 x 米，则边 BC 为 802x 米，根据矩形面积公式“面积=长宽”列出函数的关系式（2）将所得函数解析式配方成顶点式即可得【解答】解：（1）根据题意知 AB=x，BC=802x，S=x（802x）=2x2+80 x，又x0，0802x50，解得 15x40，S=2x2+80 x（15x40）；（2）S=2x2+80 x =2（x20）2+800，当 x=20 时，S 最大值为 800，答：当 AB 为 20 米时，活动区的面积最大，最大面积是 800 平方米 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决问题 12（5 分）如图，ABC 是等腰三角形，AB=AC，以 AC 为直径的O 与BC 交于 D，DEAB，垂足为点 E，ED 的延长线与 AC 的延长线交于点F（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若O 的半径为 2，BE=1，求 cosA 的值 【分析】（1）连接 OD，AD，由 AC 为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角及垂直的定义得到 AD 垂直于 BC，利用三线合一得到 D 为 BC中点，再由 O 为 AC 的中点，得到 OD 为三角形 ABC 的中位线，利用中位线性质得到 OD 与 AB 平行，进而得到 OD 垂直于 DE，即可得证；（2）由半径的长求出 AB 与 AC 的长，根据 BE 的长，由 ABBE 求出AE 的长，由平行得相似，相似得比例，设 CF=x，根据题意列出关于x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，即可确定出所求【解答】（1）证明：连接 OD，AD，AC 为圆的直径，ADC=90，ADBC，AB=AC，点 D 为 BC 的中点，点 O 为 AC 的中点，ODAB，DEAB，AED=90，ODE=90，ODDE，则 DE 为圆 O 的切线；（2）解：r=2，AB=AC=2r=4，BE=1，AE=ABBE=3，ODAB，FODFAE，=，设 CF=x，则有 OF=x+2，AF=x+4，=，解得：x=2，AF=6，在 RtAEF 中，AEF=90，则 cosA=【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键 13（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax22ax+1（a0）的对称轴为 x=b，点 A（2，m）在直线 y=x+3 上（1）求 m，b 的值；（2）若点 D（3，2）在二次函数 y=ax22ax+1（a0）上，求 a 的值；（3）当二次函数 y=ax22ax+1（a0）与直线 y=x+3 相交于两点时，设左侧的交点为 P（x1，y1），若3x11，求 a 的取值范围 【分析】（1）根据二次函数的性质，可得 b=1将 A（2，m）代入 y=x+3，即可求出 m=2+3=5；（2）将 D（3，2）代入 y=ax22ax+1，即可求出 a 的值；（3）把 x=3 代入 y=x+3，求出 y=6，把（3，6）代入 y=ax22ax+1，求出 a=再把 x=1 代入 y=x+3，求出 y=4，把（1，4）代入 y=ax22ax+1，求出 a=1进而得出 a 的取值范围【解答】解：（1）二次函数 y=ax22ax+1（a0）的对称轴为 x=b，b=1 点 A（2，m）在直线 y=x+3 上，m=2+3=5；（2）点 D（3，2）在二次函数 y=ax22ax+1（a0）上，2=a322a3+1，a=；（3）当 x=3 时，y=x+3=6，当（3，6）在 y=ax22ax+1（a0）上时，6=a（3）22a（3）+1，a=又当 x=1 时，y=x+3=4，当（1，4）在 y=ax22ax+1（a0）上时，4=a（1）22a（1）+1，a=1 a1【点评】本题考查了二次函数、一次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，掌握点在直线上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键 14（7 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AD 边中点，点 F 为 BC边中点；点 G，H 为 AB 边三等分点，I，J 为 CD 边三等分点小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图 2，图 3 所示，那么图 2中四边形 GKLH 的面积与图 3 中四边形 KPOL 的面积相等吗？（1）小瑞的探究过程如下：在图 2 中，小瑞发现，S四边形 GKLH=S四边形 ABCD；在图 3 中，小瑞对四边形 KPOL 面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；设 SDEP=a，SAKG=b ECAF DEPDAK，且相似比为 1：2，得到 SDAK=4a GDBI，AGKABM，且相似比为 1：3，得到 SABM=9b 又SDAG=4a+b=S 四边形ABCD，SABF=9b+a=S 四边形 ABCD S四边形 ABCD=24a+6b=36b+4a a=b，S四边形 ABCD=42 b，S四边形 KPOL=6 b S四边形 KPOL=S四边形 ABCD，则S四边形 KPOL S四边形 GKLH（填写“”“”或“”）（2）小瑞又按照图 4 的方式连接矩形 ABCD 对边上的点，则 S四边形 ANML=S四边形 ABCD【分析】（1）根据平行线的性质、相似三角形的性质即可解决问题；（2）如图 4 中，延长 CE 交 BA 的延长线于 T，连接 DN，设 SAGL=a，SAEN=b想办法证明 S四边形 ANML=4b，S四边形 ABCD=20b，即可解决问题；【解答】解：（1）小瑞的探究过程如下：在图 2 中，小瑞发现，S四边形 GKLH=S四边形 ABCD；在图 3 中，小瑞对四边形 KPOL 面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；设 SDEP=a，SAKG=b ECAF DEPDAK，且相似比为 1：2，得到 SDAK=4a GDBI，AGKABM，且相似比为 1：3，得到 SABM=9b 又SDAG=4a+b=S 四边形ABCD，SABF=9b+a=S 四边形 ABCD S四边形 ABCD=24a+6b=36b+4a a=b，S四边形 ABCD=42b，四边形 KPOL=6b S四边形 KPOL=S四边形 ABCD，则 S四边形 KPOLS四边形 GKLH 故答案为，42，6，（2）如图 4 中，延长 CE 交 BA 的延长线于 T，连接 DN，设 SAGL=a，SAEN=b GLPH，AGLAHP，相似比为 1：2，得到 SAHP=4a，ATCD，T=ECD，AET=CED，AE=ED，AETDEC，AT=CD，ATCJ，=，=，可得 SDNJ=b，SABF=4a+b=S四边形 ABCD，SADJ=b=S四边形 ABCD，16a+b=20b，a=b，S四边形 ANML=（20b8ab）=4b，S四边形 ABCD=20b，S四边形 ANML=S四边形 ABCD 故答案为【点评】本题考查相似形综合题、矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题 15（8 分）点 P 的“d 值”定义如下：若点 Q 为圆上任意一点，线段PQ长度的最大值与最小值之差即为点P的“d值”，记为dP 特别的，当点 P，Q 重合时，线段 PQ 的长度为 0当O 的半径为 2 时：（1）若点 C（，0），D（3，4），则 dc=1，dp=4；（2）若在直线 y=2x+2 上存在点 P，使得 dP=2，求出点 P 的横坐标；（3）直线 y=x+b（b0）与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B若线段 AB 上存在点 P，使得 2dP3，请你直接写出 b 的取值范围 【分析】（1）圆内的点的 d 值=这个点到圆心距离的 2 倍，圆上或圆外的点的 d 值=圆的直径，由此即可解决问题；（2）根据题意，满足 dp=2 的点位于O 内部，且在以 O 为圆心半径为 1 的圆上，可以假设 P（a，2a+2），根据 PO=1，构建方程即可解决问题；（3）根据题意，满足 2dP3 的点位于点 O 为圆心外径为，内径为 1 的圆环内，分不清楚两圆与线段 AB 相切时 b 的值即可解决问题；【解答】解：（1）根据题意可得圆内的点的 d 值=这个点到圆心距离的 2 倍，圆上或圆外的点的 d 值=圆的直径，所以 dc=1，dp=4；故答案为 1，4；（2）根据题意，满足 dp=2 的点位于O 内部，且在以 O 为圆心半径为 1 的圆上，点 P 在直线 y=2x+2 上，可以假设 P（a，2a+2），PO=1，a2+（2a+2）2=1，解得 a=1 或，满足条件的点 P 的横坐标为1 或（3）根据题意，满足 2dP3 的点位于点 O 为圆心外径为，内径为 1 的圆环内，当线段与外环相切时，可得 b=，当线段于内环相切时，可得 b=，所以满足条件的 b 的值：b【点评】本题考查一次函数、圆、点 P 的“d 值”定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用此时解决问题，学会利用特殊位置、寻找特殊点解决问题，所以中考压轴题 16、（10分）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点 D用高1.5 米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30，然后沿 DF方向前行40m到达点E处，在E 处测得塔顶M的仰角为60请根据他们的测量数据求此塔MF的 高 （结果精确到0.1m，参考数据：1.41，1.73，2.45）【分析】首先证明 AB=BM=40，在 RtBCM 中，利用勾股定理求出 CM 即可解决问题；【解答】解：由题意：AB=40，CF=1.5，MAC=30，MBC=60，MAC=30，MBC=60，AMB=30 AMB=MAB AB=MB=40，在 RtBCM 中，MCB=90，MBC=60，BMC=30 BC=20，MC34.64，MF=CF+CM=36.1436.1【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明 AB=BM=40，属于中考常考题型。17（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点 P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1d2，则称d1为点P的最大距离；若d1d2，则称 d2 为点 P 的最大距离 例如：点P（3，4）到到 x 轴的距离为 4，到 y 轴的距离为 3，因为34，所以点 P 的最大距离为 4（1）点A（2，5）的最大距离为5；若点B（a，2）的最大距离为 5，则 a的值为5；（2）若点 C 在直线 y=x2 上，且点 C 的最大距离为 5，求点 C的坐标；（3）若O 上存在点 M，使点 M 的最大距离为 5，直接写出O 的半径 r 的取值范围。【分析】（1）直接根据“最大距离”的定义，其最小距离为“最大距离”；点 B（a，2）到 x 轴的距离为 2，且其“最大距离”为 5，所以a=5；（2）根据点 C 的“最大距离”为 5，可得 x=5 或 y=5，代入可得结果；（3）如图，观察图象可知：当O 于直线 x=5，直线 x=5，直线 y=5，直线 y=5 有交点时，O 上存在点 M，使点 M 的最大距离为 5，【解答】解：（1）点 A（2，5）到 x 轴的距离为 5，到 y轴的距离为2，25，点 A 的“最大距离”为 5 点 B（a，2）的“最大距离”为 5，a=5；故答案为 5，5（2）设点 C 的坐标（x，y），点 C 的“最大距离”为 5，x=5 或 y=5，当 x=5 时，y=7，当 x=5 时，y=3，当 y=5 时，x=7 当 y=5 时，x=3，点C（5，3）或（3，5）（3）如图，观察图象可知：当O 于直线 x=5，直线 x=5，直线 y=5，直线 y=5 有交点时，O 上存在点 M，使点 M 的最大距离为 5，【点评】本题考查一次函数综合题、“最大距离”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题 18（5 分）已知：如图，在ABC 中，AB=AC=8，A=120，求 BC的长 【分析】过点 A 作 ADBC 于 D解直角三角形求出 BD，利用等腰三角形的性质即可解决问题【解答】解：过点 A 作 ADBC 于 D AB=AC，BAC=120，B=C=30，BC=2BD，在 RtABD 中，ADB=90，B=30，AB=8，cosB=，BD=ABcos30=8=4，BC=8【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 19（5 分）已知：如图，AB 是半圆 O 的直径，D 是半圆上的一个动点（点 D 不与点 A，B 重合），CAD=B（1）求证：AC 是半圆 O 的切线；（2）过点 O 作 BD 的平行线，交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，且 EF=4，AD=6，求 BD 的长 【分析】（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 欲证 AC 是半圆 O 的切线，只需证明CAB=90即可；（2）由相似三角形的判定定理 AA 可以判定AEFBAD；然后根据相似三角形的对应边成比例，求得 BD 的长即可【解答】解：（1）AB 是半圆直径，BDA=90，B+DAB=90，又DAC=B，DAC+DAB=90，即CAB=90，AC 是半圆 O 的切线（2）由题意知，OEBD，D=90，D=AFO=AFE=90，OEAD，AFE=D=AFO=90，AF=AD=3，又AD=6 AF=3 又B=DAE，AEFBAD，=，而 EF=4，解得 BD=【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可 20（7 分）已知一次函数 y1=x1，二次函数 y2=x2mx+4（其中 m4）（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含 m 的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：若 m=5，求当 y10 且 y20 时，自变量 x 的取值范围；如果满足 y10 且 y20 时自变量 x 的取值范围内有且只有一个整数，直接写出 m 的取值范围【分析】（1）利用配方法求二次函数的顶点坐标；（2）把 m=5 代入 y2，画图象，并求与 x 轴交点 A、B、C 三点的坐标，根据图象可得结论；根据题意结合图象可知 x=3，把 x=3 代入 y2=x2mx+40，当 x=4时，y2=x2mx+40 即可求得 m 的取值；【解答】解：（1）y2=x2mx+4=（x）2+4，二次函数图象的顶点坐标为：（，+4）（2）当 m=5 时，y1=x1，y2=x25x+4（4 分）如图，当 y1=0 时，x1=0，x=2，A（2，0），当 y2=0 时，x25x+4=0，解得：x=1 或 4，B（1，0），C（4，0），因为 y10，且 y20，由图象，得：2x4 （5 分）当 y10 时，自变量 x 的取值范围：x2，如果满足y10且y20 时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，x=3，当 x=3 时，y2=323m+40，解得 m，当 x=4 时，y20，即 164m+40，m5，m 的取值范围是：m5（7 分）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数和一次函数的性质，以及利用函数图象解不等式，体现了数形结合的思想 21（8 分）已知：如图，AB 为半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上一点，过点 C 作 AB 的平行线交O 于点 E，连接 AC、BC、AE，EB过点C 作 CGAB 于点 G，交 EB 于点 H（1）求证：BCG=EBG；（2）若 sinCAB=，求的值 【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于直角和平行线的性质证明即可；（2）在 RtHGB 与 RtBCG 中，利用三角函数的性质，即可求得的值【解答】证明：（1）AB 是直径，ACB=90，CGAB 于点 G，ACB=CGB=90 CAB=BCG，CEAB，CAB=ACE BCG=ACE 又ACE=EBG BCG=EBG，（2）sinCAB=，由（1）知，HBG=EBG=ACE=CAB 在 RtHGB 中，由（1）知，BCG=CAB 在 RtBCG 中，设 GH=a，则 GB=2a，CG=4aCH=CGHG=3a，ECAB，ECH=BGH，CEH=GBH ECHBGH，【点评】此题考查了与圆的同弧所对的圆周角相等，以及相似三角形的性质与判定和三角函数的性质等此题综合性较强，属于中考常考题，解题时要注意数形结合思想的应用 22（8 分）一般地，我们把半径为 1 的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系 xOy 中，设单位圆的圆心与坐标原点 O 重合，则单位圆与 x 轴的交点分别为（1，0），（1，0），与 y 轴的交点分别为（0，1），（0，1）在平面直角坐标系 xOy 中，设锐角 a 的顶点与坐标原点 O 重合，a 的一边与 x 轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点 P（x1，y1），且点 P 在第一象限（1）x1=cos （用含 a 的式子表示）；y1=sin（用含 a 的式子表示）；（2）将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 90后与单位圆交于点 Q（x2，y2）判断 y1与 x2的数量关系，并证明；y1+y2的取值范围是：1y1+y2 【分析】（1）如图作 PFx 轴于 F，QEx 轴于 E则 OF=OPcos，PF=OPsin，由此即可解决问题；（2）过点 P 作 PFx 轴于点 F，过点 Q 作 QEx 轴于点 E只要证明QOEOPF 即可解决问题；当P在x轴上时，得到y1+y2的最小值为1，由y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，四边形 QEFP 是直角梯形，PQ=，EFPQ，即可推出当 EF=PQ=时，得到 y1+y2的最大值为；【解答】解：（1）如图作 PFx 轴于 F，QEx 轴于 E 则 OF=OPcos，PF=OPsin，x1=cos，y1=sin，故答案为 cos，sin；（2）结论：y1=x2 理由：过点 P 作 PFx 轴于点 F，过点 Q 作 QEx 轴于点 E PFO=QEO=POQ=90，POF+OPF=90，POF+QOE=90，QOE=OPF，OQ=OP，QOEOPF，PF=OE，P（x1，y1），Q（x2，y2），PF=y1，OE=x2，y1=x2 当 P 在 x 轴上时，得到 y1+y2的最小值为 1，y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，四边形 QEFP 是直角梯形，PQ=，EFPQ，当 EF=PQ=时，得到 y1+y2的最大值为，1y1+y2 故答案为 1y1+y2 【点评】本题考查圆综合题、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、直角梯形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型