(人)版中考数学压轴题解题模型~~~~几何图形之半角模型(含解析)17231.pdf

几何图形之半角模型 主 题 半角模型 教学容 教学目标 1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。2.掌握正方形的性质定理 1 和性质定理 2。3.正确运用正方形的性质解题。4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。5.通过理解四种四边形在联系，培养学生辩证观点。知识结构 正方形的性质 因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生 和老师一起总结）。正方形性质定理 1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。正方形性质定理 2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。说明：定理 2 包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图 （2）正方形的性质：正方形对边平行。正方形四边相等。正方形四个角都是直角。正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。典型例题精讲 例 1 如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，使2AD，求AG 【解析】：作 GMBD，垂足为 M 由题意可知ADG=GDM，则ADGMDG DM=DA=2 AC=GM 又易知：GM=BM 而 BM=BD-DM=22-2=2（2-1），AG=BM=2（2-1）例 2 如图，P为正方形ABCD一点，10PAPB，并且P点到CD边的距离也等于10，求正方形ABCD的面积？【解析】：过P作EFAB于F交DC于E 设PFx，则10EFx，1(10)2BFx 由222PBPFBF 可得：222110(10)4xx 故6x 216256ABCDS 例 3.如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AMEF，垂足为M，AMAB，则有EFBEDF，为什么？【解析】：要说明 EF=BE+DF，只需说明 BE=EM，DF=FM 即可，而连结 AE、AF只要能说明ABEAME，ADFAMF 即可 理由：连结 AE、AF 由 AB=AM，ABBC，AMEF，AE 公用，ABEAME BE=ME 同理可得，ADFAMF DF=MF EF=ME+MF=BE+DF 例 4如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且45EAF，试说明EFBEDF。【解析】：将ADF 旋转到ABC，则ADFABG AF=AG，ADF=BAG，DF=BG EAF=45且四边形是正方形，ADFBAE=45 GABBAE=45 即GAE=45 AEFAEG（SAS）EF=EG=EBBG=EBDF 例 5.如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使45EAF，AGEF于G.求证：AGAB 【解析】：欲证 AG=AB，就图形直观来看，应证 RtABE 与 RtAGE 全等，但条件不够.EAF=45怎么用呢？显然12=45，若把它们拼在一起，问题就解决了.【证明】：把 AFD 绕 A 点旋转90至AHB.EAF=45，12=45.2=3，13=45.又由旋转所得 AH=AF，AE=AE.AEFAEH.例 6.(1)如图 1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,90AOF.求证：BECF.(2)如图 2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,90FOH,4EF.求GH的长.1.已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,90FOH,4EF.直接写出下列两题的答案：如图 3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；如图 4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).【解析】(1)证明：如图 1，四边形ABCD为正方形，AB=BC,ABC=BCD=90，图 3 图 4 图 2 图 1 EAB+AEB=90.EOB=AOF90,FBC+AEB=90，EAB=FBC，ABEBCF，BE=CF (2)解：如图 2,过点A作AM/GH交BC于M，过点B作BN/EF交CD于N,AM与BN交于点O/，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，EF=BN,GH=AM，FOH90,AM/GH，EF/BN,NO/A=90,故由(1)得,ABMBCN，AM=BN，GH=EF=4 (3)8 4n 巩固训练【双基训练】1.如图 6，点A在线段BG上，四边形ABCD与DEFG都是正方形，其边长分别为3cm和5cm，则CDE的面积为_2cm 图 2 O N M (6)(7)2你可以依次剪 6 正方形纸片，拼成如图 7 所示图形 如果你所拼得的图形中正方形的面积为 1，且正方形与正方形的面积相等，那么正方形的面积为_ 3.如图 9，已知正方形ABCD的面积为 35 平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点AF、CE相交于G，并且ABF的面积为 14 平方厘米，BCE的面积为 5 平方厘米，那么四边形BEGF的面积是_ 4.如图，A、B、C三点在同一条直线上，2ABBC。分别以 AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，EC。求证：FNEC。5.如图，ABCD是正方形G是BC上的一点，DEAG于 E，BFAG于 F ABCDEF12G（1）求证：ABFDAE；（2）求证：DEEFFB 【纵向应用】6.在正方形ABCD中，12 求证：BEOF21 7.在正方形ABCD中，12 AEDF,求证：CEOG21 ABCDFOEGH12A D E F C G B EFGCBADH 8.如图 13，点E为正方形ABCD对角线BD上一点,EFBC,EGCD 求证：AEFG 9.已知：点E、F分别正方形ABCD中AB和BC的中点，连接AF和DE相交于点G,GHAD于点H.一、求证：AFDE；二、如果2AB,求GH的长；三、求证：CGCD D G A E B C F 13 【练习题答案】16cm2 236 342027cm2（面积法）4.证明：FN=EC。证明：在正方形 ABEF 和正方形 BCMN 中，AB=BE=EF，BC=BN，FEN=EBC=90 AB=2BC EN=BC FENEBC FN=EC。5.略 6.提示：注意到基本图形中的 AE=AF.一.两次应用角平分线定理和 CE=CF 可证 二.过点 O 作 OGDE 和 CO=CG,CF=CE 可证.3，过点 O 作 OHBE,OF=OH=BE21 7.提示：一条线段的一半或 2 倍这两者的位置关系有哪两种 8.提示：延长 AE 交 GF 于点 M，DC,使 CH=DG,连接 HF,证四边形对角互补,法 2：延长 FE，AE 证全等三角形 9.（1)略（2）45（3）作 CMDG,证 DM=AG=0.5DG 专题（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。（2）特征：边：两组对边分别平行；四条边都相等；角：四个角都是 90；对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。（3）主要识别方法：1：对角线相等的菱形是正方形 2：对角线互相垂直的矩形是正方形 3：四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形 4：一组邻边相等的平行四边形是正方形 5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。典例精讲 例1.已 知：如 图，P是 正 方 形ABCD点，15PADPDA 求证：PBC是正三角形 【证明】：如下图做DGC 使与ADP 全等，A P C D B 可得PDG 为等边，从而可得 DGCAPDCGP,得出 PC=AD=DC,和DCG=PCG150 所以DCP=300，从而得出PBC 是正三角形 例 2.如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半【证明】：过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG，CI，FH。可得 PQ=2EGFH。由EGAAIC，可得 EG=AI，由BFHCBI，可得 FH=BI。从而可得 PQ=2AIBI=2AB，从而得证。例 4.如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，AEAC，AE与CD相交于F 求证：CECF【证明】：顺时针旋转ADE，到ABG，连接 CG.由于ABG=ADE=900+450=1350 P C G F B Q A D E 从而可得 B，G，D 在一条直线上，可得AGBCGB。推出 AE=AG=AC=GC，可得AGC 为等边三角形。AGB=300，既得EAC=300，从而可得A EC=750。又EFC=DFA=450+300=750.可证：CE=CF。例 6.设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCE 求证：PAPF【证明】：作 FGCD，FEBE，可以得出 GFEC 为正方形。令 AB=Y，BP=X,CE=Z,可得 PC=Y-X。tanBAP=tanEPF=XY=ZYXZ，可得 YZ=XY-X2+XZ，A F D E C B 即 Z(Y-X)=X(Y-X)，既得 X=Z，得出ABPPEF，得到 PAPF，得证。例 7.已知：P是边长为 1 的正方形ABCD的一点，求PAPBPC的最小值【证明】：顺时针旋转BPC 600，可得PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF。既得 AF=213(1)42=23=42 32 =2(31)2=2(31)2 D F E P C B A A C B P D D =622。例 8.P为正方形ABCD的一点，并且PAa，2PBa，3PCa，求正方形的边长 【证明】顺时针旋转ABP 900，可得如下图：既得正方形边长L=2222(2)()22a=52 2 a。A C B P D 【双基训练】1.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为 6，则菱形的面积为_ 2.如图，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC 恰是一个菱形，则EAB=_ 【纵向应用】3.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，90AEF，且EF交正方形外角的平分线CF于点F （1）证明：BAEFEC；（2）证明：AGEECF；（3）求AEF的面积 【横向拓展】4.如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM.求证：AMBENB；当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；当AMBMCM的最小值为13 时，求正方形的边长.【练习题答案】136 2【解析】连结 BD 交 AC 于点 O，作 EMAC 于点 M 设正方形边长为 a，则 AC=BD=AE=2a E A D B C N M 又ACBF，BOAC，EMAC，BO=EM=12BD=22a 在 RtAEM 中，AE=2a，EM=22a CAE=30 则EAB=15 3.（1）证明：AEF=90o，FEC+AEB=90o在 RtABE中，AEB+BAE=90o，BAE=FEC；（2）证明：G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，AG=GB=BE=EC，且AGE=180o45o=135o 又CF是DCH的平分线，ECF=90o+45o=135o 在AGE和ECF中，FECGAEECFAGEECAGo,135,AGEECF；（3）解：由AGEECF，得AE=EF 又AEF=90o，AEF是等腰直角三角形 由AB=a，BE=21a，知AE=25a，SAEF=85a2 4.【解析】：ABE 是等边三角形，BABE，ABE60.MBN60，MBNABNABEABN.即BMANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）.5 分 当 M 点落在 BD 的中点时，AMCM 的值最小.如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AMBMCM 的值最小.理由如下：连接 MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60，MBNB，BMN 是等边三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM.根据“两点之间线段最短”，得 ENMNCMEC 最短 当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AMBMCM 的值最小，即等于 EC 的长.过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F，EBF906030.设正方形的边长为 x，则 BF23x，EF2x.F E A D B C N M 在 RtEFC 中，EF2FC2EC2，（2x）2（23xx）2213.解得，x2（舍去负值）.正方形的边长为2.