第二章推理与证明导学案31803.pdf

中学数学资源网 高二数学选修 1-2&2-2导学案 执笔：董卜毓 审核：李志敏 1 2.1.1 合情推理（1）学习目标 1.结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2.能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程 一、课前准备（预习教材 P28 P30，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是 的思维过程.二、新课导学 学习探究 探究任务：归纳推理 问题 1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,12=7+7,16=13+3,18=11+7,20=13+7,50=13+37,100=3+97，猜想：.问题 2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出 .新 知：归 纳 推 理 就 是 由 某 些 事 物的 ,推出该类事物的 的推理，或者由 的推理.简言之，归纳推理是由 的推理.典型例题 例 1 观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=1 1+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，你能猜想到一个怎样的结论？例2已 知 数 列 na的 第 一 项11a，且nnnaaa11(1,2,3.n，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列na中，11()2nnnaaa（2n），试猜想这个数列的通项公式.动手试试 2009年上学期高二 月 日 班级：姓名：第二章 推理与证明 2 练 1.应用归纳推理猜测11112222的结果.练 2.在数列na中，11a，122nnnaaa（*nN）,试猜想这个数列的通项公式.三、总结提升 学习小结 1归纳推理的定义.2.归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展 1.费 马 猜 想：法 国 业 余 数 学 家 之 王 费 马（1601-1665）在 1640 年通过对020213F ，121215F ，2222117F ，32321257F ，4242165 537F 的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数n，任何形如221nnF 的 数 都 是 素 数.后 来 瑞 士 数 学 家 欧 拉 发 现525214 2 9 4 9 6 7 2 9 76 4 16 7 0 0 4 1 7F 不是素数，推翻费马猜想.2.四色猜想：1852 年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用 1200 个小时，作了 100 亿逻辑判断，完成证明.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 2.若2()41,f nnnnN，下列说法中正确的是（）.A.()f n可以为偶数 B.()f n一定为奇数 C.()f n一定为质数 D.()f n必为合数 3.已知2()(1),(1)1()2f xf xff x*xN（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x B.2()1f xx C.1()1f xx D.2()21f xx 4.111()1()23f nnNn，经 计 算 得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222fffff猜测当2n 时，有_.5.从22211,2343,345675中得出的一般性结论是_ .课后作业 1.对于任意正整数 n，猜想(21)n 与2(1)n的大小关系.2.已知数列na的前 n 项和nS，123a ，满足12(2)nnnSa nS，计算1234,S SS S并猜想nS的表达式.2.1.1 合情推理（2）中学数学资源网 高二数学选修 1-2&2-2导学案 执笔：董卜毓 审核：李志敏 3 学习目标 1.结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2.能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.学习过程 一、课前准备（预习教材 P30 P38，找出疑惑之处）1.已知 0(1,2,)iain，考察下列式子：111()1i aa；121211()()()4iiaaaa；123123111()()()9iiiaaaaaa.我们可以归纳出，对12,na aa也成立的类似不等式为 .2.猜想数列1111,1 33 5 5 779的通项公式是 .二、新课导学 学习探究 鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在.以上都是类比思维，即类比推理.新知：类比推理就是由两类对象具有 和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由 到 的推理.典型例题 例 1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.类比 角度 实数的加法 实数的乘法 运算 结果 运算律 逆运算 单位元 变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.圆的概念和性质 球的类似概念和性质 圆的周长 圆的面积 圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长 以点00(,)xy为圆心，r为半径的圆的方程为22200()()xxyyr 例 2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.变式：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.三角形 四面体 三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 三 角 形 的 面 积 为1()2Sabc r（r 为三角形内切圆的半径）新知：和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.动手试试 练 1.如图，若射线 OM，ON 上分别存在点12,M M与 点12,N N，则 三 角 形 面 积 之 比2009年上学期高二 月 日 班级：姓名：第二章 推理与证明 4 11221122OM NOM NSOMONSOMON.若不在同一平面内的射线OP，OQ 上分别存在点12,P P，点12,Q Q和点12,R R，则类似的结论是什么？练 2.在ABC中，不等式1119ABC成立；在四边形ABCD中，不等式1111162ABCD成立；在五边形ABCDE中，不等式11111253ABCDE成立.猜想，在 n 边形12nA AA中，有怎样的不等式成立？三、总结提升 学习小结 1类比推理是由特殊到特殊的推理.2.类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.知识拓展 试一试下列题目：1.南京江苏 A.石家庄河北 B.渤海中国 C.泰州江苏 D.秦岭淮河 2.成功失败 A.勤奋成功 B.懒惰失败 C.艰苦简陋 D.简单复杂 3.面条食物 A.苹果水果 B.手指身体 C.菜肴萝卜 D.食品巧克力 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.下列说法中正确的是（）.A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理 C.归纳推理是从一般到特殊的推理 D.类比推理是从特殊到特殊的推理 2.下面使用类比推理正确的是（）.A.“若33ab,则ab”类推出“若00ab,则ab”B.“若()ab cacbc”类推出“()a b cac bc”C.“若()ab cacbc”类推出“ababccc （c0）”D.“nnaa bn（b）”类推出“nnaabn（b）3.设)()(,sin)(010 xfxfxxf，21()(),fxfx1()()nnfxfx，n N，则2007()fx （）.A.sin x B.sin x C.cos x D.cos x 4.一同学在电脑中打出如下若干个圆 若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前 2006 个圆中有 个黑圆.5.在数列 1，1，2，3，5，8，13，x，34，55中的 x 的值是 .课后作业 1.在等差数列na中，若100a，则有*121219(19,)nnaaaaaannN成立，类比上述性质，在等比数列 nb中，若91b，则存在怎样的等式？2.在各项为正的数列 na中，数列的前 n 项和nS满足nnnaaS121（1）求321,aaa；（2）由（1）猜想数列 na的通项公式；（3）求nS 2.1.2 演绎推理 学习目标 1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；中学数学资源网 高二数学选修 1-2&2-2导学案 执笔：董卜毓 审核：李志敏 5 2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.学习过程 一、课前准备（预习教材 P39 P42，找出疑惑之处）复习 1：归纳推理是由 到 的推理.类比推理是由 到 的推理.复习 2：合情推理的结论 .二、新课导学 学习探究 探究任务一：演绎推理的概念 问题：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；（3）在一个标准大气压下，水的沸点是100 C，所以在一个标准大气压下把水加热到100 C时，；（4）一切奇数都不能被 2 整除，2007 是奇数，所以 ；（5）三角函数都是周期函数，sin是三角函数，所以 ；（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果 A 与 B 是两条平行直线的同旁内角，那么 .新知：演绎推理是从 出发，推出 情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理.探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电 已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断 大前提 小前提 结论 新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：大前提 ；小前提 ；结论 .试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（6）写成“三段论”的形式.典型例题 例 1 在锐角三角形 ABC 中，,ADBC BEAC，D，E 是垂足.求证：AB 的中点 M 到 D，E 的距离相等.新知：用集合知识说明“三段论”：大前提：小前提：结 论：例 2 证明函数2()2f xxx 在,1 上是增函数.小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.例 3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）菱形是正多边形.（结 论）小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.动手试试 练 1.用三段论证明：通项公式为(0)nnacqcq的数列na是等比数列.2009年上学期高二 月 日 班级：姓名：第二章 推理与证明 6 练 2.在ABC中，ACBC，CD 是 AB 边上的高，求证ACDBCD.证明：在ABC中，,CDAB ACBC，所以ADBD，于是ACDBCD.指出上面证明过程中的错误.三、总结提升 学习小结 1.合情推理归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；结论不一定正确.2.演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.知识拓展 乒乓球教练组将从右手执拍的选手 R、S、T 和左手执拍的选手 L、M、N、O 中选出四名队员去参加奥运会。要求至少有两名右手执拍的选手，而且选出的四名队员都可以互相配对进行双打。已知 s不能与 L 配对.T 不能与 N 配对，M 不能与 L 或 N配对。若 R 不被选入队中，那么有几种不同的选法?A.只有一种 B.两种 C.三种 D.四种 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.因为指数函数xya是增函数，1()2xy 是指数函数，则1()2xy 是增函数.这个结论是错误的，这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 2.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 3.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b 平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a”的结论显然是错误的，这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4.归纳推理是由 到 的推理；类比推理是由 到 的推理；演绎推理是由 到 的推理.5.合情推理的结论 ；演绎推理的结论 .课后作业 1.用三段论证明：在梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=DC，则BC.2.用三段论证明：3()()f xxx xR为奇函数.2.1 合情推理与演绎推理(练习)学习目标 1.能利用归纳推理与类比推理进行一些简单的推理;2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理;3.体会合情推理和演绎推理的区别与联系.中学数学资源网 高二数学选修 1-2&2-2导学案 执笔：董卜毓 审核：李志敏 7 学习过程 一、课前准备（复习教材 P28 P40，找出疑惑之处）复习 1：归纳推理是由 到 的推理.类比推理是由 到 的推理.合情推理的结论 .复习 2：演绎推理是由 到 的推理.演绎推理的结论 .二、新课导学 典型例题 例 1 观察（1）（2）000000tan10 tan 20tan 20 tan60tan60 tan101;000000tan5 tan10tan10 tan75tan75 tan51 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论.变式：已知：23150sin90sin30sin222 23125sin65sin5sin222 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.例2 在Rt ABC中，若90C，则22coscos1AB，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.变式：已知等差数列na的公差为 d，前 n 项和为nS，有如下性质：（1）()nmaanm d，（2）若*,(,)mnpq m n p qN，则mnpqaaaa，类比上述性质，在等比数列 nb中，写出类似的性质.动手试试 练 1.若数列 na的通项公式)()1(12Nnnan，记)1()1)(1()(21naaanf ，试通过计算)3(),2(),1(fff的值，推测出._)(nf 2009年上学期高二 月 日 班级：姓名：第二章 推理与证明 8 练 2.若三角形内切圆半径为 r，三边长为 a,b,c,则三角形的面积1()2Sr abc，根据类比思想，若四 面 体 内 切 球 半 径 为 R，四 个 面 的 面 积 为1234,S SS S，则四面体的体积 V=.三、总结提升 学习小结 1.合情推理归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；结论不一定正确.2.演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.知识拓展 有金盒、银盒、铝盒各一个，只有一个盒子里有肖像，金盒上写有命题 p：肖像在这个盒子里，银盒子上写有命题 q：肖像不在这个盒子里，铝盒子上写有命题 r：肖像不在金盒里，这三个命题有且只有一个是真命题，问肖像在哪个盒子里？为什么？学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.由数列1,10,100,1000,，猜想该数列的第 n 项可能是（）.A.10n B.110n C.110n D.11n 2.下面四个在平面内成立的结论 平行于同一直线的两直线平行 一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条相交 垂直于同一直线的两直线平行 一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交 在空间中也成立的为（）.A.B.C.D.3.用演绎推理证明函数3yx是增函数时的大前提是（）.A.增函数的定义 B.函数3yx满足增函数的定义 C.若12xx，则12()()f xf x D.若12xx,则12()()f xf x 4.在数列na中,已知112,31nnnaaaa*()nN,试归纳推理出na .5.设平面内有条直线(3)n，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用()f n表示这条直线交点的个数，则(4)f=；当时，()f n （用含 n 的数学表达式表示）.课后作业 1.证明函数2()4f xxx 在2,)上是减函数.2.数列na满足2nnSna,先计算数列的前 4 项,再归纳猜想na.2.2.1 综合法和分析法（1）学习目标 1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2.会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.3.根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.学习过程 一、课前准备（预习教材 P45 P47，找出疑惑之处）中学数学资源网 高二数学选修 1-2&2-2导学案 执笔：董卜毓 审核：李志敏 9 复习 1：两类基本的证明方法:和 .复习 2：直接证明的两中方法:和 .二、新课导学 学习探究 探究任务一：综合法的应用 问题：已知,0a b,求证:2222()()4a bcb caabc.新知：一般地,利用 ,经 过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.反思：框 图 表 示：要点：顺推证法；由因导果.典型例题 例 1 已 知,a b cR，1abc，求 证：1119abc 变式：已知,a b cR，1abc，求证：111(1)(1)(1)8abc.小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例 2 在ABC 中，三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 A、B、C 成等差数列，a、b、c 成等比数列.求证：为ABC 等边三角形.变式：设在四面体PABC中,90,ABCPAPBPCD 是 AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC所在的平面.小结：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.动手试试 练 1.求证：对于任意角，44cossincos2 2009年上学期高二 月 日 班级：姓名：第二章 推理与证明 10 练 2.,A B为锐角，且tantan3tantan3ABAB，求证：60AB.（提示：算tan()AB）三、总结提升 学习小结 综合法是从已知的 P 出发，得到一系列的结论12,Q Q，直到最后的结论是 Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.知识拓展 综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题,综合法是一种由因索果的证明方法.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.已知22,11x yRxyxy则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.如果821,aaa 为各项都大于零的等差数列，公差0d，则（）A5481aaaa B5481aaaa C5481aaaa D5481aaaa 3.设23451111log 11log 11log 11log 11P，则（）A01P B12P C23P D34P 4.若关于x的不等式 22133(2)(2)22xxkkkk的解集为1(,)2，则k的范围是_ .5.已 知ba,是 不 相 等 的 正 数，,2abxyab，则,x y的大小 关系 是_.课后作业 1.已知 a，b，c 是全不相等的正实数，求证:3bcaacbabcabc 2.在ABC 中，证明：2222112cos2cosbabBaA 2.2.1 综合法和分析法(二)学习目标 1.会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.2.根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.学习过程 一、课前准备（预习教材 P48 P50，找出疑惑之处）复习 1：综合法是由 导 ;复习 2：基本不等式:二、新课导学 中学数学资源网 高二数学选修 1-2&2-2导学案 执笔：董卜毓 审核：李志敏 11 学习探究 探究任务一：分析法 问题：如何证明基本不等式(0,0)2ababab 新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示 要点：逆推证法；执果索因 典型例题 例 1 求证3526 变式：求证:372 5 小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例 2 在四面体SABC中,SAABC ABBC面,过 A 作 SB 的垂线,垂足为 E,过 E 作 SC 的垂线,垂足为 F,求证AFSC.变式：设,a b c为一个三角形的三边,1()2sabc,且22sab,试证2sa.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.动手试试 练1.求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.2009年上学期高二 月 日 班级：姓名：第二章 推理与证明 12 练2.设a,b,c是的ABC三边，S是三角形的面积，求证：22244 3cababS 三、总结提升 学习小结 分析法由要证明的结论 Q 思考，一步步探求得到 Q 所需要的已知12,P P，直到所有的已知 P 都成立.知识拓展 证明过程中分析法和综合法的区别:在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.要证明372 5可选择的方法有以下几种,其中最合理的是 A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.归纳法 2.不等式233xx;2baab,其中恒成立的是 A.B.C.D.都不正确 3.已知0yx,且1xy,那么 A.22xyxyxy B.22xyxyxy C.22xyxxyy D.22xyxxyy 4.若,a b cR,则222abc abbcac.5.将a千克的白糖加水配制成b千克的糖水(0)ba,则其浓度为 ;若再加入m千克的白糖(0)m,糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式:.课后作业 1.已知0ab,求证:22()()828ababababab.2.设,a bR,且ab,求证:3322aba bab 2.2.1 综合法和分析法（3）学习目标 1.能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;2.学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;3.养成勤于观察、认真思考的数学品质.学习过程 一、课前准备（预习教材 P50 P51，找出疑惑之处）复习 1：综合法是由 导 ;复习 2：分析法是由 索 .中学数学资源网 高二数学选修 1-2&2-2导学案 执笔：董卜毓 审核：李志敏 13 二、新课导学 学习探究 探究任务一：综合法和分析法的综合运用 问题：已知,()2kkZ,且 2sincos2sin,sincossin,求证:22221tan1tan1tan2(1tan).新知：用 P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用 Q 表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：试试：已知tansin,tansinab，求证：222()16abab.反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用.典型例题 例1 已 知,A B都 是 锐 角，且2AB，(1tan)(1tan)2AB，求证：45AB 变式：已知1tan12tan，求证：3sin 24cos 2.小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.例 2 在 四 面 体PABC中，P DA B C，ACBC，D是AB的中点，求证：ABPC.变式：如果,0a b，则lglglg22abab.小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明.动手试试 练 1.设实数,a b c成等比数列，非零实数,x y分别为a与b，b与c的等差中项，求证2acxy.练 2.已知54AB，且,()2A BkkZ，求证：(1tan)(1tan)2AB.2009年上学期高二 月 日 班级：姓名：第二章 推理与证明 14 三、总结提升 学习小结 1.直接证明包括综合法和分析法.2.比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.知识拓展 综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.给出下列函数3yxx，sincos,yxxxsincos,yxx22,xxy其中是偶函数的有（）.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2.m、n 是不同的直线，,是不同的平面，有以下四个命题（）./；/mm /mm；/mnmn 其中为真命题的是 （）A B.C D 3.下列结论中，错用基本不等式做依据的是（）.Aa，b 均为负数，则2abba B22221xx Clglog 102xx D1,(1)(1)4aRaa 4.设、r 是互不重合的平面，m，n 是互不重合的直线，给出四个命题：若 m，m，则 若 r，r，则 若 m，m，则 若 m，n，则 m n 其中真命题是 .5.已知:231,:(3)0pxq x x,则p是q的 条件.课后作业 1.已知,a b cR，,a b c互不相等且1abc.求证：111abcabc.2.已知,a b c d都是实数，且22221,1abcd，求证：|1acbc.2.2.2 反证法 学习目标 1.结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；2.了解反证法的思考过程、特点;3.会用反证法证明问题.学习过程 一、课前准备（预习教材 P52 P54，找出疑惑之处）复习 1：直接证明的两种方法:和 ;复习 2：是间接证明的一种基本方法.二、新课导学 学习探究 探究任务：反证法 问题(1)：将 9 个球分别染成红色或白色,那么无论怎中学数学资源网 高二数学选修 1-2&2-2导学案 执笔：董卜毓 审核：李志敏 15 样染,至少有 5 个球是同色的,你能证明这个结论吗?问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .试试：证明：5,3,2不可能成等差数列.反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 从假设出发，经推理论证得到矛盾 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.典型例题 例 1 已知0a,证明x的方程axb有且只有一个根.变式：证明在ABC中,若C是直角,那么B一定是锐角.小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.例 2 求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60.小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.动手试试 练 1.如果12x,那么2210 xx.练 2.ABC的三边,a b c的倒数成等差数列,求证:90B.2009年上学期高二 月 日 班级：姓名：第二章 推理与证明 16 三、总结提升 学习小结 1.反证法的步骤：否定结论；推理论证；导出矛盾；肯定结论.2.反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.知识拓展 空城计与反证法 空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,传令大开城门,让老弱士兵在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态度从容,琴声优雅,司马懿来到城前见此情况,心中疑惑,他想诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,今天如此这般与其一生表现矛盾,恐怕城内必有伏兵,故意诱我入城,决不能中计,于是急令退兵.诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾,才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是家喻户晓的“空城计”.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60”时，反设正确的是（）.A假设三内角都不大于60 B假设三内角都大于60 C假设三内角至多有一个大于60 D假设三内角至多有两个大于60 2.实数,a b c不全为 0 等价于为（）.A,a b c均不为 0 B,a b c中至多有一个为 0 C,a b c中至少有一个为 0 D,a b c中至少有一个不为 0 3.设,a b c都是正数，则三个数111,abcbca（）.A都大于 2 B.至少有一个大于 2 C.至少有一个不小于 2 D.至少有一个不大于 2 4.用反证法证明命题“自然数,a b c中恰有一个偶数”的反设为 .5.“4x”是“240 xx”的 条件.课后作业 1.已知,0 x y,且2xy.试证:11,xyyx中至少有一个小于 2.2.证明2不是有理数.第二章 推理与证明(复习)学习目标 1.了解合情推理和演绎推理的含义；2.能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；3.能用综合法和分析法进行数学证明；4.能用反证法进行数学证明.学习过程 一、课前准备（预习教材 P28 P55，找出疑惑之处）复习 1：归纳推理是由 到 的推理.类比推理是由 到 的推理.合情推理的结论 .演绎推理是由 到 的推理.演绎推理的结论 .复习 2：综合法是由 导 ;分析法是由 索 .直接证明的两种方法:和 ;是间接证明的一种基本方法.中学数学资源网 高二数学选修 1-2&2-2导学案 执笔：董卜毓 审核：李志敏 17 二、新课导学 学习探究 探究任务一：合情推理与演绎推理 问题：合情推理与演绎推理是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.你能举出几个用合情推理和演绎推理的例子吗？探究任务一：直接证明和间接证明 问题：你能分别说出这几种证明方法的特点吗？结合自己以往的数学学习经历，说说一般在什么情况下，你会选择什么相应的证明方法？典型例题 例 1 已知数列 na的通项公式 21()(1)nanNn，记12()(1)(1)(1)nf naaa，试 通 过 计 算(1),(2),(3)fff的值，推测出()f n的值.变式：已知数列1111,1 3 3 5 572121nn 求出1234,S SS S；猜想前n项和nS.（理科）（3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？小结：归纳推理是由特殊到一般的推理,是一种猜想，推理的结论都有待进一步证明.例 2 已知 tan，tan是关于 x 的一元二次方程x2+px+2=0 的两实根.（1）求证：tan()p；（2）求证：3sin()cos()0p.变式：如右图所示，SA 平面 ABC，ABBC，过 A 作 SB 的垂线，垂足为 E，过 E 作 SC 的垂线，垂足为 F，求证：SABBC 面；AFSC.小结：证明问题对思维的深刻性、严谨性和灵活性有较高的要求.动手试试 练 1.求证：当220 xbxc有两个不相等的非零实数根时，0bc.练 2.数列na满足*2,nnSna nN（1）计算1234,a a a a，并由此猜想通项公式na；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论.（理科）A B C S F E 2009年上学期高二 月 日 班级：姓名：第二章 推理与证明 18 C3H8C2H6CH4HHHHHHHHHHHHHHCCCCCHHHHC 三、总结提升 学习小结 知识拓展 帽子颜色问题 “有 3 顶黑帽子，2 顶白帽.让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子.每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色.（所以最后一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见.现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人.事实上他们三个戴的都是黑帽子，那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子.为什么?学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是（）.AC4H9 B C4H10 C C4H11 D C6H12 2.用反证法证明：“ab”，应假设为（）.A.ab B.ab C.ab D.ab 3.所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电.属于哪种推理（）.A.演绎推理 B.类比推理 C.合情推理 D.归纳推理 4.用火柴棒按下图的方法搭三角形:按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 an与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是_.5.由“以点00,xy为圆心，r为半径的圆的方程为22200 xxyyr”可以类比推出球的类似属性是 .课后作业 1.若sincos1,求证:66sincos1 2.求证22yaxbxc,22ybxcxa,22ycxaxb(,a b c是互不相等的实数),3 条抛物线至少有一条与x轴有两个交点.理：2.3 数学归纳法(1)学习目标 1.了解数学归纳法的原理，并