初中数学九年级下册《相似》复习精品实用学案(整理含答案)17652.pdf

1 初中数学九年级下册 相似复习精品实用学案 1 图形的相似 学习目标 1理解相似图形、相似多边形和相似比的概念 2掌握相似多边形的两个基本性质 3理解四条线段是“成比例线段”的概念，掌握比例的基本性质 过关检测 一、填空题 1_是相似图形 2 对于四条线段a，b，c，d，如果_与_(如dcba)，那么称这四条线段是成比例线段，简称_ 3如果两个多边形满足_，_那么这两个多边形叫做相似多边形 4相似多边形_称为相似比当相似比为 1 时，相似的两个图形_ 若甲多边形与乙多边形的相似比为k，则乙多边形与甲多边形的相似比为_ 5相似多边形的两个基本性质是_，_ 6比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例，那么 _ 反之亦真即dcba_(a，b，c，d不为零)7已知 2a3b0，b0，则ab_ 8若,571xx则x_ 9若,532zyx则xzyx2_ 10在一张比例尺为120000的地图上，量得A与B两地的距离是5cm，则A，B两地实际距离为_m 二、选择题 11在下面的图形中，形状相似的一组是()2 12下列图形一定是相似图形的是()A任意两个菱形 B任意两个正三角形 C两个等腰三角形 D两个矩形 13要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为 50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为 20cm，那么，符合条件的三角形框架乙共有()A1 种 B2 种 C3 种 D4 种 三、解答题 14已知：如图，梯形ABCD与梯形ABCD相似，ADBC，ADBC，AAAD4，AD6，AB6，BC12求：(1)梯形ABCD与梯形ABCD的相似比k；(2)AB和BC的长；(3)DCDC 15已知：如图，ABC中，AB20，BC14，AC12ADE与ACB相似，AEDB，DE5求AD，AE的长 3 16已知：如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A，B，C，D分别是OA，OB，OC，OD的中点，试判断四边形ABCD与四边形ABCD是否相似，并说明理由 17如下图甲所示，在矩形ABCD中，AB2AD如图乙所示，线段EF10，在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN矩形ABCD，设MNx，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少?4 2 相似三角形 学习目标 1理解相似三角形的有关概念，能正确找到对应角、对应边 2掌握相似三角形判定的基本定理 过关检测 一、填空题 1DEFABC表示DEF与ABC_，其中D点与_对应，E点与 _对应，F点与_对应；E_；DEAB_BC，ACDFAB_ 2DEFABC，若相似比k1，则DEF_ABC；若相似比k2，则 ACDF_，EFBC_ 3若ABCA1B1C1，且相似比为k1；A1B1C1A2B2C2，且相似比为k2，则ABC_A2B2C2，且相似比为_ 4相似三角形判定的基本定理是平行于三角形 _ 和其他两边相交，所_ _ 与原三角形_ 5已知：如图，ADE中，BCDE，则 ADE_；;)(,)(BCABADAEABAD CABABDAEDBAD)(,)(二、解答题 6已知：如图所示，试分别依下列条件写出对应边的比例式 5(1)若ADCCDB；(2)若ACDABC；(3)若BCDBAC 7已知：如图，ABC中，AB20cm，BC15cm，AD12.5cm，DEBC求DE的长 8已知：如图，ADBECF (1)求证：;DFDEACAB(2)若AB4，BC6，DE5，求EF 9如图所示，在APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D求证：PAPBPCPD 6 10已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且23DEAE，CE交BD于点F，BF15cm，求DF的长 11已知：如图，AD是ABC的中线 (1)若E为AD的中点，射线CE交AB于F，求BFAF；(2)若E为AD上的一点，且kEDAE1，射线CE交AB于F，求BFAF 7 3 相似三角形的判定 学习目标 1掌握相似三角形的判定定理 2能通过证三角形相似，证明成比例线段或进行计算 过关检测 一、填空题 1_三角形一边的_和其他两边_，所构成的三角形与原三角形相似 2如果两个三角形的_对应边的_，那么这两个三角形相似 3如果两个三角形的_对应边的比相等，并且_相等，那么这两个三角形相 似 4如果一个三角形的_角与另一个三角形的_，那么这两个三角形相似 5在ABC和ABC中，如果A56，B28，A56，C28，那么这两个三角形能否相似的结论是_理由是_ 6在ABC和ABC中，如果A48，C102，A48，B30，那么这两个三角形能否相似的结论是_理由是_ 7在ABC和ABC中，如果A34，AC5cm，AB4cm，A34，AC2cm，AB1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是_，理由是_ 8在ABC和DEF中，如果AB4，BC3，AC6；DE2.4，EF1.2，FD1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是_，理由是_ 9 如图所示，ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有_对 8 9题图 10如图所示，ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有 _对 10题图 二、选择题 11如图所示，不能判定ABCDAC的条件是()ABDAC BBACADC CAC2DCBC DAD2BDBC 12如图，在平行四边形ABCD中，AB10，AD6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使CBFCDE，则BF的长是()A5 B8.2 C6.4 D1.8 13如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与ABC相似的是()9 三、解答题 14已知：如图，在 RtABC中，ACB90，CDAB于D，想一想，(1)图中有哪两个三角形相似?(2)求证：AC2ADAB；BC2BDBA；(3)若AD2，DB8，求AC，BC，CD；(4)若AC6，DB9，求AD，CD，BC；(5)求证：ACBCABCD 15如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DFAC，EFBC 求证：(1)ODOAOEOB；(2)ODEOAB；(3)ABCDEF 16如图所示，已知ABCD，AD，BC交于点E，F为BC上一点，且EAFC 求证：(1)EAFB；(2)AF2FEFB 10 17已知：如图，在梯形ABCD中，ABCD，B90，以AD为直径的半圆与BC相切于E点 求证：ABCDBEEC 18如图所示，AB是O的直径，BC是O的切线，切点为点B，点D是O上的一点，且ADOC 求证：ADBCOBBD 19如图所示，在O中，CD过圆心O，且CDAB于D，弦CF交AB于E 求证：CB2CFCE 11 20已知D是BC边延长线上的一点，BC3CD，DF交AC边于E点，且AE2EC试求AF与FB的比 21已知：如图，在ABC中，BAC90，AHBC于H，以AB和AC为边在 RtABC外作等边ABD和ACE，试判断BDH与AEH是否相似，并说明理由 22已知：如图，在ABC中，C90，P是AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PEAB交AC于E，点E不与点C重合，若AB10，AC8，设APx，四边形PECB的周长为y，求y与x的函数关系式 12 4 相似三角形应用举例 学习目标 能运用相似三角形的知识，解决简单的实际问题 过关检测 一、选择题 1已知一棵树的影长是 30m，同一时刻一根长 1.5m 的标杆的影长为 3m，则这棵树的高度是()A15m B60m C20m Dm310 2一斜坡长 70m，它的高为 5m，将某物从斜坡起点推到坡上 20m 处停止下，停下地点的高度为()Am711 Bm710 Cm79 Dm23 3如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE1.8m，窗户下檐距地面的距离BC1m，EC1.2m，那么窗户的高AB为()第 3 题图 A1.5m B1.6m C1.86m D2.16m 4如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角 1.6m，梯上点D距离墙 1.4m，BD长 0.55m，则梯子长为()第 4 题图 A3.85m B4.00m C4.40m D4.50m 13 二、填空题 5如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD2m 的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD20m，FD4m，EF1.8m，则树AB的高度为_m 第 5 题图 6如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB10m，BC20cm，PCAC，且PC24cm，则点光源S到平面镜的距离即SA的长度为_cm 第 6 题图 三、解答题 7已知：如图所示，要在高AD80mm，底边BC120mm 的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN求它的边长 8如果课本上正文字的大小为4mm3.5mm(高宽)，一学生座位到黑板的距离是 5m，教师在黑板上写多大的字，才能使该学生望去时，同他看书桌上相距 30cm 垂直放置的课本上的字感觉相同?14 9一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为 1m 的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为 1.2m，又测得地面部分的影长为 5m，请算一下这棵树的高是多少?10(针孔成像问题)根据图中尺寸(如图，ABAB)，可以知道物像AB的长与物AB的长之间有什么关系?你能说出其中的道理吗?11在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为 1.65m 的黄丽同学BC的影长BA为 1.1m，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为 12.1m，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE的高度(精确到 0.1m)15 12(1)已知：如图所示，矩形ABCD中，AC，BD相交于O点，OEBC于E点，连结ED交OC于F点，作FGBC于G点，求证点G是线段BC的一个三等分点(2)请你仿照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点(要求：写出作法，保留画图痕迹，不要求证明)5 相似三角形的性质 学习目标 掌握相似三角形的性质，解决有关的计算或证明问题 过关检测 一、填空题 1相似三角形的对应角_，对应边的比等于_ 2相似三角形对应边上的中线之比等于_，对应边上的高之比等于_，对应角的角平分线之比等于_ 3相似三角形的周长比等于_ 4相似三角形的面积比等于_ 5相似多边形的周长比等于_，相似多边形的面积比等于_ 6若两个相似多边形的面积比是1625，则它们的周长比等于_ 7若两个相似多边形的对应边之比为52，则它们的周长比是_，面积比是_ 16 8同一个圆的内接正三角形与其外切正三角形的周长比是_，面积比是_ 9同一个圆的内接正方形与其外切正方形的周长比是_，面积比是_ 10 同一个圆的内接正六边形与其外切正六边形的周长比是_，面积比是_ 11正六边形的内切圆与它的外接圆的周长比是_，面积比是_ 12在比例尺 11000 的地图上，1cm2所表示的实际面积是_ 二、选择题 13已知相似三角形面积的比为94，那么这两个三角形的周长之比为()A94 B49 C32 D8116 14 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q，若DQE的面积为9，则AQB的面积为()A18 B27 C36 D45 15如图所示，把ABC沿AB平移到ABC的位置，它们的重叠部分的面积是ABC面积的一半，若2AB，则此三角形移动的距离AA是()A12 B22 C1 D21 三、解答题 16已知：如图，E、M是AB边的三等分点，EFMNBC求：AEF的面 17 积四边形EMNF的面积四边形MBCN的面积 17已知：如图，ABC中，A36，ABAC，BD是角平分线(1)求证：AD2CDAC；(2)若ACa，求AD 18已知：如图，ABCD中，E是BC边上一点，且AEBDECBE,21相交于F点(1)求BEF的周长与AFD的周长之比；(2)若BEF的面积SBEF6cm2，求AFD的面积SAFD 19已知：如图，RtABC中，AC4，BC3，DEAB 18(1)当CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求CD的长；(2)当CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求CD的长 20已知：如图所示，以线段AB上的两点C，D为顶点，作等边PCD (1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ACPPDB(2)当ACPPDB时，求APB 21如图所示，梯形ABCD中，ABCD，对角线AC，BD交于O点，若SAODSDOC23，求SAOBSCOD 22已知：如图，梯形ABCD中，ABDC，B90，AB3，BC11，DC6请问：在BC上若存在点P，使得ABP与PCD相似，求BP的长及它们的面积比 19 6 位 似 学习目标 1理解位似图形的有关概念，能利用位似变换将一个图形放大或缩小 2能用坐标表示位似变形下图形的位置 过关检测 1已知：四边形ABCD及点O，试以O点为位似中心，将四边形放大为原来的两倍(1)(2)(3)(4)2如图，以某点为位似中心，将AOB进行位似变换得到CDE，记AOB与CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为()A(0，0)，2 B(2，2)，21 C(2，2)，2 D(2，2)，3 20 3已知：如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(4，2)，B(2，4)，C(6，2)，D(2，4)试以O点为位似中心作四边形ABCD，使四边形ABCD与四边形ABCD的相似比为 12，并写出各对应顶点的坐标 4已知：如下图，是由一个等边ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其B，C，D点的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)(1)求E点和A点的坐标；(2)试以点P(0，2)为位似中心，作出相似比为 3 的位似图形A1B1C1D1E1，并写出各对应点的坐标；(3)将图形A1B1C1D1E1向右平移 4 个单位长度后，再作关于x轴的对称图形，得到图形A2B2C2D2E2，这时它的各顶点坐标分别是多少?5在已知三角形内求作内接正方形 21 6在已知半圆内求作内接正方形 参考答案 相 似 1 图形的相似 1形状相同的图形 2其中两条线段的比，另两条线段的比相等，比例线段 3对应角相等，对应边的比相等 4对应边的比，全等，k1 5对应角相等，对应边的比相等 6两个内项之积等于两个外项之积，adbc 732 825 91 101 000 11C 12B 13C 14(1)k23；(2)AB9，BC8；(3)32 15750,730AEAD 16相似 1725x时，S的最大值为225 2 相似三角形 1相似，A点，B点，C点，B，EF，DE 2，2，21 3；k1k2 4一边的直线，构成的三角形，相似 5ABC；AC，DE；EC，CE 6(1);BCCABDCDCDAD (2);BCCDACADABAC (3)ACCDBCBDBABC 79.375cm 8(1)提示：过A点作直线AFDF，交直线BE于E，交直线CF于F (2)7.5 22 9提示：PAPBPMPN，PCPOPMPN 10OF6cm提示：DEFBCF 11(1);21BFAF (2)1 2k 3 相似三角形的判定 1平行于，直线，相交 2三组，比相等 3两组，相应的夹角 4两个，两个角对应相等 5ABCACB，因为这两个三角形中有两对角对应相等 6ABCABC 因为这两个三角形中有两对角对应相等 7ABCABC，因为这两个三角形中，有两组对应边的比相等，且相应的夹角相等 8ABCDFE因为这两个三角形中，三组对应边的比相等 96 对 106 对 11D 12D 13A 14(1)ADCCDB，ADCACB，ACBCDB；(2)略；(3);4,54,52CDBCAC(4);36,33,3BCCDAD(5)提示：ACBC2SABCABCD 15提示：(1)ODOAOFOC，OEOBOFOC；(2)ODOAOEOB，DOEAOB，得ODEOAB；(3)证DFACEFBCDEAB 16略 17提示：连结AE、ED，证ABEECD 18提示：关键是证明OBCADB AB是O的直径，D90 BC是O的切线，OBBC 23 OBC90DOBC ADOC，ABOCADBOBC CBBDOBADADBCOBBD 19提示：连接BF、AC，证CFBCBE 2021FBAF提示：过C作CMBA，交ED于M 21相似提示：由BHAAHC得,ACBAAHBH再有BABD，ACAE 则：,AEBDAHBH再有HBDHAE，得BDHAEH 22.2423xy提示：可证APEACB，则ACAPBCPE 则).10(6)458(43,45,43xxxyxAExPE 4 相似三角形应用举例 1A 2B 3A 4C 53 612 748mm 8教师在黑板上写的字的大小约为 7cm6cm(高宽)9树高 7.45m 10.31ABBA 11EFAC，CABEFD 又CBAEDF90，ABCFDE)m(2.181.11.1265.1BADFBCDEDFBADEBC 故教学楼的高度约为18.2m 12(1)提示：先证EFED13(2)略 5 相似三角形的性质 1相等，相似比 2相似比、相似比、相似比 3相似比 4相似比的平方 5相似比相似比的平方 645 24 752，254 812，14 9.2:1,2:1 10.4:3,2:3 11.4:3,2:3 12100m2 13C.14C 15A 16135 17(1)提示：证ABCBCD；(2).215a 18(1);31 (2)54cm2 19(1);22 (2)724 20(1)CD2ACDB；(2)APB120 2149 22BP2，或,311或 9 当BP2 时，SABPSPCD19；当311BP时，SABPSDCP14；当BP9 时，SABP：SPCD94 6 位 似 1略 2C 3图略A(2，1)，B(1，2)，C(3，1)，D(1，2)4(1);32,2(),2,3(AE (2).332,6(1AB1(3，2)，C1(3，1)，D1(9，1)，E1(9，2)；(3),332,10(2AB2(7，2)，C2(7，1)，D2(13，1)，E2(13，2)5方法 1：利用位似形的性质作图法(图 16)图 16 作法：(1)在AB上任取一点G，作GDBC；(2)以GD为边，在ABC内作一正方形DEFG；(3)连结BF，延长交AC于F；(4)作FGCB，交AB于G，从F，G各作BC的垂线FE，GD，那么DEFG就是所 25 求作的内接正方形 方法 2：利用代数解析法作图(图 17)图 17(1)作AH(h)BC(a)；(2)求ha，a，h的比例第四项x；(3)在AH上取KHx；(4)过K作GFBC，交两边于G，F，从G，F各作BC的垂线GD，FE，那么DEFG就是所求的内接正方形 6提示：正方形EFGH即为所求