小学数学及奥数知识点归纳2189.pdf
小学数学及奥数知识点归纳（上）1和差倍问题 【和差问题】【和倍问题】【差倍问题】已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数 公式适用范围 已知两个数的和，差，倍数关系 公 式(和差)2=较 小数 较小数 差=较 大数 和较小数=较大数 (和差)2=较大数 较大数差=较小数 和较大数=较小数 和(倍数1)=小数 小数倍数=大数 和小数=大数 差(倍数-1)=小数 小数倍数=大数 小数差=大数 关键问题 求出同一条件下的和与差 和与倍数 差与倍数 2年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；3归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。关键问题 根据题目中的条件确定并求出单一量；4植树问题 基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树；在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树；在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树；封闭曲线上植树。基本公式 棵数=段数1 棵距段数=总长 棵数=段数1 棵距段数=总长 棵数=段数 棵距段数=总长 关键问题 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5鸡兔同笼问题 基本概念 鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路 假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）关键问题 找出总量的差与单位量的差。6盈亏问题 基本概念 一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量 基本思路 先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量 基本题型 一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差 当两次都有余数；基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差 当两次都不足；基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差 基本特点 对象总量和总的组数是不变的。关键问题 确定对象总量和总的组数。7牛吃草问题 基本思路 假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点 原草量和新草生长速度是不变的；关键问题 确定两个不变的量。基本公式 生长量=（较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数）（长时间-短时间）；总草量=较长时间长时间牛头数-较长时间生长量；8周期循环与数表规律 周期现象 事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期 我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题 确定循环周期。闰 年 一年有 366 天；年份能被 4 整除；如果年份能被 100 整除，则年份必须能被 400 整除；平 年 一年有 365 天；年份不能被 4 整除；如果年份能被 100整除，但不能被 400 整除；9平均数 基本公式 平均数=总数量总份数 总数量=平均数总份数 总份数=总数量平均数 平均数=基准数每一个数与基准数差的和总份数 基本算法 求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算.基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式。10抽屉原理 抽屉原则一 如果把（n+1）个物体放在 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2 个物体。抽屉原则二 如果把 n 个物体放在 m 个抽屉里，其中 nm，那么必有一个抽屉至少有:k=n/m+1 个物体：当 n 不能被 m 整除时。k=n/m 个物体：当 n 能被 m 整除时。理解知识点 X表示不超过 X 的最大整数。例：4.351=4；0.321=0；2.9999=2；关键问题 构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。11定义新运算 基本概念 定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路 严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题 正确理解定义的运算符号的意义。注意事项 新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序；每个新定义的运算符号只能在本题中使用。12数列求和 等差数列 在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念 首项：等差数列的第一个数，一般用 表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n 表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 an 表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用 sn 表示 基本思路 等差数列中涉及五个量：a1,an,d,n,sn,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式 通项公式：an=+（n1）d；通项首项（项数一 1)公差；数 列 和 公 式：sn=(a1+an)n 2；数列和（首项末项）项数2；项数公式：n=(an-a1)d1；项数=（末项-首项）公差1；公差公式：d=（an-a1）（n1）；公差=（末项首项）（项数1）；关键问题 确定已知量和未知量，确定使用的公式；13二进制及其应用 十进制 用 09 十个数字表示，逢 10 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的 2 表示 20，百位上的 2 表示 200。所以234=200+30+4=2100+310+4。二进制 用 01 两个数字表示，逢 2 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义。十进制化成二进制 根据二进制满 2 进 1 的特点，用 2 连续去除这个数，直到商为 0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不大于该数的 2 的 n 次方，再求它们的差，再找不大于这个差的 2 的 n 次方，依此方法一直找到差为 0，按照二进制展开式特点即可写出。14加法、乘法原理和几何计数 加法原理 如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1种不同方法，在第二类方法中有 m2 种不同方法，在第 n 类方法中有 mn 种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+m2+.+mn 种不同的方法。关键问题 确定工作的分类方法。基本特征 每一种方法都可完成任务。乘法原理 如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第 1 步有m1 种方法，不管第 1 步用哪一种方法，第 2 步总有 m2 种方法不管前面 n-1 步用哪种方法，第 n 步总有 mn 种方法，那么完成这件任务共有：m1 m2.mn 种不同的方法。关键问题 确定工作的完成步骤。基本特征 每一步只能完成任务的一部分。直线 一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段 直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线 把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。数线段规律：总数1+2+3+（点数一 1）；数角规律=1+2+3+（射线数一 1）；数长方形规律：个数=长的线段数宽的线段数：数长方形规律：个数=11+22+33+行数列数 15质数与合数 质数 一个数除了 1 和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数 一个数除了 1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数 如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数 把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式 N=a1r1a2r2a3r3.anrn，其中 a1、a2、a3an 都是合数 N 的质因数，且a1a2a3an。求约数个数的公式 P=(r1+1)(r2+1)(r3+1)(rn+1)互质数 如果两个数的最大公约数是 1，这两个数叫做互质数。
