成人高考专升本高数试题20516.pdf
.-可修编-(满分 150 分。考试时间 l20 分钟。)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的（1）4(1)x的展开式中2x的系数为 （A）4 （B）6（C）10 （D）20（2）在等差数列 na中，1910aa，则5a的值为 （A）5 （B）6（C）8 （D）10（3）若向量(3,)am，(2,1)b，0a b，则实数m的值为 （A）32 （B）32（C）2 （D）6（4）函数164xy 的值域是 （A）0,)（B）0,4（C）0,4)（D）(0,4)（5）某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，老年职工 150 人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为 7 人，则样本容量为 （A）7（B）15（C）25 （D）35（6）下列函数中，周期为，且在,4 2 上为减函数的是 （A）sin(2)2yx （B）cos(2)2yx （C）sin()2yx （D）cos()2yx（7）设变量,x y满足约束条件0,0,220,xxyxy则32zxy的最大值为 （A）0 （B）2（C）4 （D）6（8）若直线yxb与曲线2cos,sinxy（0,2)）有两个不同的公共点，则实数b的取值围为 （A）(22,1)（B）22,22.-可修编-（C）(,22)(22,)（D）(22,22)（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 （A）只有 1 个（B）恰有 3 个（C）恰有 4 个（D）有无穷多个（10）某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日（端午节假期）值班，每天安排 2人，每人值班 1 天；若 6 位员工中的甲不值 14 日，乙不值 16 日，则不同的安排方法共有 （A）30 种 （B）36 种（C）42 种 （D）48 种 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填写在答题卡相应位置上（11）设|10,|0Ax xBx x，则AB=_.（12）已知0t，则函数241ttyt的最小值为_.（13）已知过抛物线24yx的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，2AF，则 BF _.（14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品 率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为_.（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且 半 径 相 等.设 第i段 弧 所 对 的 圆 心 角 为(1,2,3)ii，则232311coscossinsin3333_.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（16）（本小题满分 13 分，（）小问 6 分，（）小问 7 分.）已知 na是首项为 19，公差为-2 的等差数列，nS为 na的前n项和.（）求通项na及nS；（）设nnba是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 nb的通项公式及其前n 项和nT.-可修编-（17）（本小题满分 13 分，（）小问 6 分，（）小问 7 分.）在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 1,2，6），求：（）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.（18）（本小题满分 13 分），（）小问 5 分，（）小问 8 分）设ABC的角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 32b+32c-32a=42bc.()求 sinA 的值；()求2sin()sin()441 cos2ABCA的值.(19)(本小题满分 12 分),()小问 5 分，()小问 7 分.).-可修编-已知函数32()f xaxxbx(其中常数 a,bR),()()()g xf xfx是奇函数.()求()f x的表达式;()讨论()g x的单调性，并求()g x在区间上的最大值和最小值.（20）（本小题满分 12 分，（）小问 5 分，（）小问 7 分.）如题（20）图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA 底面ABCD，2PAAB，点E是棱PB的中点.（）证明：AE 平面PBC；（）若1AD，求二面角BECD的平面角的余弦值.（21）（本小题满分 12 分，（）小问 5 分，（）小问 7 分.）已知以原点O为中心，(5,0)F为右焦点的双曲线C的离心率52e.（）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（）如题（21）图，已知过点11(,)M x y的直线1l：1144x xy y与过点22(,)N xy（其中21xx）的直线2l：2244x xy y的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求OG OH的值.-可修编-参考答案 1-10 BADCB ACDDC 二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填写在答题卡相应位置上（11）解析：|1|0|10 x xx xxx （12）解析：241142(0)ttytttt ，当且仅当1t 时，min2y （13）解析：由抛物线的定义可知12AFAAKF ABx 轴 故AF BF 2（14）解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得 加工出来的零件的次品率6968673170696870p （15）解析：232312311coscossinsincos33333 又1232，所以1231cos32 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（16）解：（I）因为na是首项为,191a公差2d的等差数列，所以,212)1(219nnan 2)1(19nnnS （II）由题意,31nnnab所以,1nnbb.21320)331(21nnnnnnST（17）解：考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在 6 个位置中的任两个，有3026A种等可能的结果。.-可修编-（I）设 A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”则 A 包含的结果有623A种，故所求概率为.51306)(AP （II）设 B 表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻”则B表示甲、乙两单位序号相邻，B包含的结果有10!25种。从而.3230101)(1)(BPBP（18）解：（I）由余弦定理得,3222cos222bcacbA 又.31cos1sin,02AAA故 （II）原式AAA2cos1)4sin()4sin(2 AAA2sin2)4sin()4sin(2 AAAAA2sin2)cos22sin22)(cos22sin22(2.27sin2cossin222AAA（19）解：（）由题意得.23)(2bxaxxf 因此)(.)2()13()()()(22xgbxbxaaxxfxfxg因为函数是奇函数，所以,),()(xxgxg即对任意实数有,)2()13()(2()(13()(2223bxbxaaxbxbxaxa 从而的解析表达式为因此解得)(,0,31,0,013xfbaba.31)(23xxxf.-可修编-（）由（）知2,0)(,2)(,231)(122xxgxxgxxxg解得令所以，),2,2,()(,0)(,22,22在区间从而时或则当xgxgxxx上是减函数；当,22时x,0)(xg从而)(xg在区间2,2上是增函数。由前面讨论知，,2,2,12,1)(时取得能在上的最大值与最小值只在区间xxg而.34)2(,324)2(,35)1(ggg因此上的最大值为在区间2,1)(xg 324)2(g，最小值为.34)2(g（20）（I）证明：如答（20）图 1，由 PA底面 ABCD，得 PAAB，由 PA=AB 知PAB 为等腰直角三角形，又点 E 是棱 PB 的中点，故 AEPB 由题意知 BCAB，又 AB 是 PB 在面 ABCD 的射影，由垂线定理得 BCPB，从而 PC平面 PAB，因 AEBP，AEBC，所以 AE平面 PBC。（II）解：由（I）知 BC平面 PAB，又 AD/BC，得 AD平面 PAB，故 ADAE。在PABRt中，PA=AB=2，.1212122ABPAPBAE 从而在2.2,22CDBCBECECBERt又中，所以CED为等边三角形，取 CE 的中点 F，连接 DF，则.CEDF 因 BE=BC=1，且 BCBE，则EBC为等腰直角三角形，连接 BF，则 BFCE，所以BFD为所求的二面角的平面角。连接 BD，在RFD中，.3,2221,263sin22CDBCBDCEBFCDDF.-可修编-所以.332cos222BFDFBDBFDFBFD 故二面角 BECD 的平面角的余弦值为.33 解法二：（I）如答（20）图 2，以 A 为坐标原点，射线 AB、AD、AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系 Axyz.设 D（0，a，0），则)0,2(),0,0,2(aCB)22,0,22(),2,0,0(EP.于是)0,0(),22,0,22(aBCAE)2,2(aPC 则0,0PCAEBCAE，所以 AE平面 PBC.（II）解：设平面 BEC 的法向量为 n，由（I）知，AE平面 BEC，故可取)22,0,22(1 EAn 设平面 DEC 的法向量),(2222zyxn，则02DCn，.02DEn 由|AD=1，得)0,1,2(),0,1,0(CD 从而),22,1,22(),0,0,2(DEDC 故02222,02222zyxx 所以.2,0222yzx 可取)2,1,0(,122ny则.-可修编-从而.33|,cos212121nnnnnn 所以二面角 BECD 的平面角的余弦值为.33（21）（本题 12 分）解：（I）设 C 的标准方程是)0,0(12222babyax，则由题意.25,5acec 因此,1,222acba C 的标准方程为.1422 yx C 的渐近线方程为.0202,21yxyxxy和即 （II）解法一：如图（21）图，由题意点),(EEyxE在直线44:11yyxxl和 44:122yyxxl上，因此有EEExxyyxx211,44442Eyy 故点 M、N 均在直线44yyxxEE上，因此直线 MN 的方程为.44yyxxEE 设 G、H 分别是直线 MN 与渐近线02yx及02yx的交点，由方程组,02,4402,44yxyyxxyxyyxxEEEE及 解得.2224,22,24EENEENEECEECyxyyxxyxyyxx 故EEEEEEEEyxyxyxyxOGOG22222424.41222EEyx .-可修编-因为点 E 在双曲线.44,142222EEyxyx有上 所以.341222EEyxOHOG 解法二：设),(EEyxE，由方程组得,44,442211yyxxyyxx 解得,)(4122121122112yxyxxxyyxyxyyxEE 故直线 MN 的方程为).(411xxyxyyEE 注意到,4411EEyyxx因此直线 MN 的方程为44yyxxEE，下同解法一.
