小学数学-速算与巧算19376.pdf

速算与巧算 数学竞赛中，都有一定数量的计算题。计算题一般可以分为两类：一类是基础题，主要考查对基础知识理解和掌握的程度；另一类则是综合性较强和灵活性较大的题目，主要考查灵活、综合运用知识的能力，一般分值在 10 分到 20 分之间。这就要求有扎实的基础知识和熟练的技巧。1.速算与巧算主要是运用定律：加法的交换律、结合律，减法的性质，乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，除法的性质等。2.除法运算规律：(1)AB1BA (2)abcb(ac)b 3.拆项法：(1)1111(1)nnn n (2)11()dn ndnnd (3)11 11()()n ndd nnd (4)1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn (5)22(1)11111(1)11nnnnn nnnnn (6)将1A分拆成两个分数单位和的方法：先找出 A 的两个约数 a1和 a2，然后分子、分母分别乘以(a1a2)，再拆分，最后进行约分。1A12121()()aaAaa121212()()aaAaaAaa12121211()()AAaaaaaa 4.等差数列求和：(首项末项)项数2和 5.约分法简算：将写成分数形式的算式中的分子部分与分母部分同时除以它们的公有因数或公有因式。典例巧解 例 1 2007200720072008 。点拨一 被除数是 2007，除数是一个带分式，整数部分和分数部分的分子都是 2007，我们可以把 200720072008化为假分数，再把分子用两个数相乘的形式表示，便于约分和计算。解 2007200720072008 20072007200820072008 2007200720092008 2007200820072009 20082009 点拨二 根据题目特点，如果利用“AB1BA”，本题就可以避免先将带分数化成假分数后，再相除的一般做法，而采用同数相除商为 1 的巧办法。解 原式12007200720082007，1112008 20082009 说明 本题“巧”在倒数概念的运用。例 2 (第五届“希望杯”邀请赛试题)11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)234567890.10.20.30.40.50.60.70.80.9 。点拨 此题分子可化简去括号变成因数乘积的形式，再约分化简，分母可通过凑整变形化简，问题易解。解 1234567823456789(0.10.9)(0.20.8)(0.30.7)(0.40.6)0.5 1992281 例 3 计算：234282912327283452930123272835755573452930。点拨 初看题目，分子、分母都是一组有一定规律的数列，可以先分别求出和，再求它们的商，但事实上，求出和的结果是不易做到的。再仔细观察分子、分母，可以发现对应项之间存在一定的规律：313123103352，5242342244112，7353453855192，552729272829162229298112，5728302829302。这说明分母的总和正好是分子总和的 2 倍，问题易解。解 234282912327283452930123272835755573452930 23428291232728345293023428292(1232728)3452930 12 说明 在计算 552729272829时，如果不用常规的办法，先将带分数转化为假分数，而是利用题目中的数据，再经过转化，逆向运用乘法分配律，就更简便。如：被除数5529275429(2927)2(2729)2282(272928)，除数272928，仍然可以看出被除数正好是除数的 2 倍。例 4 计算：1111111234199719981999111111 19992200032001999299710002998。点拨 观察题目可知，要求计算的繁分数的分子与分母都是较为复杂的分数数列，所以不妨分别计算繁分数的分子和分母，然后再计算最后结果。观察繁分数的分子，虽然是一列分母从 1 开始的分数单位的数列，但分母是偶数的分数单位都是减数，所以，得运用一加一减的技巧来满足等差数列求和的条件。解 分子1111111111(1)2()2341997199819992461998 111111(1)(1)23199923999 111100010011999 分母1111120002002200439963998 12(111100010011999)原式1111000100119991111()2100010011999 2 例 5 计算：11111 21 231 239 10。点拨 因为1122(12)222 3，112324 323 4 所以本题可以将每一项做适当变形后，用前面的方法使计算简便。解 11111 21 231 239 10 22212 33 410 11 2(11111 22 33 410 11)2(11111111223341011)2(1111)1911 例 6 计算：12221213233323131199021990198819901989199019901990。点拨 审题知1222122，13233323133，11990219901988199019891990199019901989，即题的前半部分可变形为 2341989，应用等差数列求和公式求出。题的后半部分是同分母加法，而且分子是一个等差数列，应用等差数列求和公式，可求出分子相加的结果。解 原式2341989(1 1990)199021990 (21989)1988219 912 1979054 例 7 计算：573697572363636573 697124727272。点拨 可利用拆项和乘法分配律分别将两个加数变形。解 第一个加数可变形为 573697 572573 697 124573697 572(572 1)697124 再应用乘法分配律把此式变形为 573697572572697697124573697 572572 6975731；第二个加数变形为363636727272360000360036720000720072 分子、分母都分别含有相同的数，变形为 36(100001001)72(100001001)3672。原式13672112。例 8 计算：1237822 32 3 42 3 4 5 6 7 82 3 4 5 6 7 8 9 。点拨 可先通过试验的方法找出规律。2112 322 3，3112 3 42 32 3 4 ，解 1237822 32 3 42 3 4 5 6 7 82 3 4 5 6 7 8 9 12(1212 3)(12 312 3 4)(12 3 4 5 6 7 12 3 4 5 6 7 8 )(12 3 4 5 6 7 8 12 3 4 5 6 7 8 9 )121212 3 4 5 6 7 8 9 362879362880 例9 计算：(1121314)(12131415)(112131415)(121314)。点拨 可以把 1121314看成一个整体，暂时用字母 A 来表示这个整体，把121314也看成一个整体，用字母 B 来表示。则 AB1。解 令 A1121314，B121314，则 AB1。(1121314)(12131415)(112131415)(121314)A(B15)(A15)B AB15AAB15B 15(AB)15 例 10 计算：11111 2 32 3 43 4 598 99 100 。点拨 根据1(1)(2)nnn121(1)n n1(1)(2)nn，把所有的分数都拆成两个分数之差，中间的分数就可以全部消去，原题可解。解 11111 2 32 3 43 4 598 99 100 12(111 22 3)12(112 33 4)12(113 44 5)12(1198 9999 100)12(11111111 22 32 33 43 498 9999 100)12(111 299 100)12(1129900)1249499900 494919800 例 11 计算：1111 2 3 42 3 4 517 18 19 20 。点拨 根据每个分数的特点，将所有的分数拆成两个分数之差，化简计算即可。解 1111 2 3 42 3 4 517 18 19 20 (111 2 32 3 4 )13(112 3 43 4 5 )13 (1117 18 1918 1920)13 13(111 2 32 3 4 112 3 43 4 5 1117 18 1918 1920)13(11 2 3 118 1920)13(3 19201 2 3 3 1920 118 1920)13(114018 1920118 1920)13113918 1920 113920520 例 12 计算：1122123121012。点拨 可将原式设为 S，则计算起来简便。解 设 S1122123121012 则12S122123124121112 S12S(1122123121012)(122123124121112)，12S11212212212101210121112 12S11112 S(11112)2 21012 211024 110231024 1122123121012110231024 例 13 计算：1114112134221421223410。点拨一 认真观察可以发现：114114，11211414，13411214，1093414，由此可以看出，公差14，项数 n(ana1)d1，所以 n(101)14137，那么前 37 项的和，我们就可以根据公式：S1()2naan求出和。解法一 观察发现，各个加数能组成公差14的等差数列，项数 n(101)14137，S(1 10)372407220312。点拨二 如果此题我们从另一个角度观察，把它们每 4 个数分为一组，则有 (1114112134)(2214212234)(9914912934)10。观察每组对应项的特点，我们很容易计算出结果。解法二 1114112134221421223410 (1114112134)(2214212234)10 (1239)4(143412)910 (1 9)92432910 180131210 20312 例 14 的整数部分是多少 点拨 本题并未要求这个式子的准确值，只要求其整数部分，所以只要大体估出这个式子的值在哪两个相邻整数之间就行了。如果 n 是整数而能得出 nan1，那么就能肯定 a 的整数部分是 n。观察这一组数据发现，这组数据与 810 很接近，所以应从此着手进行分析。再仔细观察，发现这个式子中每两个相乘的数都有规律：，都逐个增加，而，都逐个减少，于是可知 8，即相乘两数的和相等。两数相加，当其中一个加数增大，另一个加数减小，但其和始终保持固定时，它们二者的积会怎么变化呢如果另取 28374655 比较，会发现 2816，3721，4624，5525，即 28374655，就是当两个数和固定而两数相差越大时，这两数的积越小。这是否是一般规律呢 设 a1b1a2b2k，而 a1a2b2b1，这时 a1与 b1相差就比 a2与 b2的差大(a1b1a2b1a2b2)。此时 a2b2a1b1 a2(ka2)a1(ka1)a2ka22a1ka12；a12a22(a1ka2k)(a1a2)(a1a2)k(a1a2)(a1a2)(a1a2k)由于 a1a2，而且 a1a2a1b1k，所以 a2b2a1b1。也就是说：当两数的和一定时，两数相差越大，它们的积就越小。解 8，于是 8。而 810，10330。但8，3。答：所求整数部分为 29。这就是说该和数在到 30 之间，于是其整数部分为 29。解题技巧 速算与巧算，主要应用各种定律和运算性质，利用数和数之间的特殊关系，合理灵活地进行组合与分解、凑整，进行简洁、快速地运算。对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。竞赛能级训练 A 级 1.计算：211 13213 15215 17217 19219 21。答案；10/231 2.计算：1111112123123412350。100/51 3.计算：444441 3 53 5 75 7 993 95 9795 9799 。3200/9603 4.计算：。5.计算：12(1323)(142434)(16026058605960)。285 B 级 1.如果把简记为1000.000025个。下面有两个数：a198400.000125个，b198800.0008个，试求：ab，ab，ab，ab。2.计算：(112)(112)(113)(113)(1199)(1199)。3.计算：777777777(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1234567899999999(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1234567。4.计算：1995119955111555个个199433335个。能力测试 一、选择题(每题 8 分，共 16 分)1.1214181161321641128125615121102414096()。A.12048 B.40934096 D.13332048 2.计算：115145111712211357()A.1621 B.1721 C.1921 D.2021 二、简算下列各式(第 1 题 6 分，第 2 题 15 分，第 3 题 8 分，第 4 题 15 分)1.(1)；(2)。2.(1)；(2)2 ；(3)1211211211212121212112121212132132132132 。3.82100.62580.6250.6250.6258 88 2 2 22 个个9 个 。4.不计算，在中填入“”、“”或“”。(1)10 1001000 10000。(2)104。(3)。三、解答题(每题 8 分，共 40 分)1.计算：84419105519。2.计算：11111121231234123200。3.计算：231011(12)(12)(123)(1239)(12310)。4.计算：33331 2 3 42 3 4 53 4 5 617 18 1920 5.在小数点后依次写下整数 1，2，3，4，998，999 得到小数 0.999。其中小数点右边第 1997 个数字是几