求导法则与求导公式14631.pdf
求导法则与导数的基本公式 教学目标与要求 1.掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2.理解反函数的导数并能应用；3.理解复合函数的导数并会求复合函数的导数；4.熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。教学重点与难度 1.会用函数的和、差、积、商的求导法则求导；2.会求反函数的导数；3.会求复合函数的导数 前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数初等函数的导数。一、函数的和、差、积、商求导法则 1.函数的和、差求导法则 定理 1 函数()u x与()v x在点 x 处可导，则函数()()yu xv x在点 x 处也可导，且 ()()()()yu xv xu xv x 同理可证：()()()()u xv xu xv x 即证。注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即 1212()()()()()()nnu xu xuxu xuxux，即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。例 1 求函数4cosln2yxxx的导数 解 4cosln2yxxx 4cosln2xxx 314sinxxx 2.函数积的求导公式 定理 2 函数()u x与()v x在点 x 处可导，则函数()()yu x v x在点 x 也可导，且 ()()()()()()yu x v xu x v xu x v x。注意：1）特别地，当uc（c 为常数）时，()()ycv xcv x，即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得：()()()()yau xbv xau xbv x。2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即 12121212()nnnnu uuu uuu uuu uu。例 2 求下列函数的导数。1）323254sinyxxxx；解 323254sinyxxxx 29454cosxxx 2）334ln5cosyxxx 解 445sinyxxx 例 3 求下列函数的导数 1）34sinyxxx；2）3lncosyxxx 解 1）33 22(4sin)()4()sin(sin)12sin34(sincos)34cos2yxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2）33 332332(lncos)()lncos(ln)cosln(cos)13lncoscoslnsin(3lncoscoslnsin)yxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 3.函数商的求导法则 定理 3 函数()u x与()v x在点 x 处可导，且()0v x，则函数()()u xyv x在点 x 处也可导，且 2()()()()()()()u xu x v xu x v xyv xvx 所以 .uvv xu xyxxxv xx v x 因为 v x可导,必连续,故 0limxv xxv x,于是 0000limlimlimlimxxxxuvv xu xyxxyxv xv xx 2ux v xu x v xvx 注意：特别地，当uc（c 为常数）时，2()()0)()()ccv xyv xv xvx 总结：根据上一节中求出的正弦和余弦的导数公式，可得三角函数的导数为：二、反函数的导数 想一想：在基本初等函数中，还有哪些函数没有求导法则 在基本初等函数中，我们还有反三角函数和指数函数的导数求法没有讨论，如何求呢易知，反三角函数和指数函数分别是三角函数和对数函数的反函数。能否通过三角函数和对数函数的导数来求反三角函数和指数函数呢这是可以的，这就是我们下面将要介绍的反函数的导数：定理 4 设函数()yf x在某一区间是单调连续，在区间任一点 x 处可导，且()0f x，则它的反函数1()xfy在相应区间内也处处可导，且 11()()fxfx 或 11()()f xfx 证 因为函数()yf x在某一区间内是单调连续函数，可知其反函数1()xfy在相应区间内也是单调连续函数。当()yf x的反函数1()xfy的自变量 y 取得改变量(0)yy 时，由1()xfy的单调性知11()()0 xfyyfy，于是 1xyyx 又因为1()xfy连续，所以当0y 时，0 x。由条件知()0f x，所以 1000111()limlim()limyxxxfyyyyfxxx 故 11()()fxfx 或11()()f xfx 即证。例 6 求下列反三角函数的导数。1）arcsinyx；2）arccosyx；3）arctanyx；4）arccotyx。例 7 求函数(0,1)xyaaa的导数。解 由于(,)xyax 为对数函数log(0,)axy y的反函数，根据反函数的导数法则得 1()lnln(log)xxayayaaay 所以，指数函数的导数公式为()lnxxaaa 特别地，当ae时，有()xxee 三、复合函数的求导法则 综上，我们对基本初等函数的导数都进行讨论，根据基本初等函数的求导公式，以及求导法则，就可以求一些较复杂的初等函数了。但是，在初等函数的构成过程中，除了四则运算外，还有复合函数形式，例如：sin2yx。思考：如果sin2yx，是否有(sin 2)cos2xx 因此，要完全解决初等函数的求导法则还必须研究复合函数的求导法则。定理 设函数()ux在点 x 处有导数()xux，函数()yf u在对应点 u 处有导数()uyf u，则复合函数()yfx在点 x 处也有导数，且()()()fxf ux 简记为dydy dudxdu dx或xuxyyu。（证明略）注意：（1）复合函数的求导法则表明：复合函数对自变量的的导数等于复合函数对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导。这种从外向内逐层的求导的方法，形象称为链式法则。（2）复合函数的求导法则可以推广到有限个中间变量的情形。例如，设()yf u，(),()ug v vx，则 dydy du dvdxdu dv dx或xuvxyyuv（3）在熟练掌握复合函数的求导法则后，求导时不必写出具体的复合步骤。只需记住哪些变量是自变量，哪些变量是中间变量，然后由外向内逐层依次求导。例 8 求函数623yx的导数 解 556 23318 23yxx 例 9 求函数sin ln3yx的导数 解 cos ln311cos ln33232xyxxxx 例 10 求幂函数uyx的导数。例 11 求函数 sinsinyfxf x的导数。解 sincoscosyfxxf xfx 例 12 求下列函数的导数。1）1()yfx；2）()f xye。本节小结 通过本节以及上一节学习，到目前为止。我们已经学习了全部初等函数的求导公式和函数的求导法则，以及反函数、复合函数、隐函数的求导法则。从而解决了初等函数的求导问题。这些公式和法则是基础，所以，必须要牢记和熟记。归纳如下：1.求导法则（1）uvuv （2）()uvu vuv（3）()cucu（c 为常数）（4）2()(0)uuvuvvvv（5）2()ccvvv（c 为常数）（6）11()()0)()fyfxfx（7）xuxyy u，其中(),()yf u ux 2.基本初等函数的导数公式
