2022届浙江省水球高考命题研究组方向性测试Ⅳ数学试题及答案3246.pdf

Z 水球高考命题研究组方向性测试 第 1 页 共 4 页2022届浙江省水球高考命题研究组方向性测试数 学姓名准考证号本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至 4 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。考生注意：1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。2 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。参考公式：若事件,A B互斥，则()()()PA BPAPB若事件,A B相互独立，则()()()PAB PAPB若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率()(1)(0,1,2,)k knknnP kC ppkn台体的体积公式11221()3VSS SS h其中12,S S分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高柱体的体积公式V Sh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式13VSh其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式24SR 球的体积公式343VR 其中R表示球的半径40()部分 共择题分选一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集|0Uxx,集合|4Axx,则UAA.|04xx B.|04xx C.|0 xx D.|4xx 2.如图是用斜二测画法画出的AOB的直观图AOB,则AOB是A.锐角B.直角C.钝角D.无法判断3.已知z是虚数 z 的共轭复数,则下列复数中一定是纯虚数的是A.z zB.z zC.zzD.zz(第 2 题图)Z 水球高考命题研究组方向性测试 第 2页 共 4页4.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积(单位:cm3)是A.72B.92C.103D.45.已知实数,xy满足约束条件1 022 02 0 x yx yy ,则z x y 的取值范围是A.2,3B.1,3C.1,)D.(,3 6.已知函数()fx的图像如图所示,则该函数的解析式可能是A.22()log(cos)fxxB.22()log(cos)fxxxC.22()log(1 sin)fxxD.22()log(1 sin)fxxx7.已知k R,则“对任意,ab R,22abkab”是“2k”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.如图,已知椭圆1E和双曲线2E在 x 轴上具有相同的焦点12,F F,设双曲线2E与椭圆1E的上半部分交于,AB两点,线段2AF与双曲线2E交于点 C.若222|2|3|AFBFCF,则椭圆1E的离心率是A.23B.12C.53D.329.已知数列 na的前 n 项和为nS,且10n naa,0n naSc ,*n N,则A.234|aaaB.324|aaaC.342|aaaD.432|aaa10.已知对任意单位向量123,e e e,总存在123,1,1 ,使得112 23 3|Meee,设PS,MM分别表示123,e e e是平面向量和空间向量时 M的最大值,则A.P2 1M B.P3 1M C.S2M D.S3M(第 8 题图)(第 6 题图)(第 4 题图)Z 水球高考命题研究组方向性测试 第 3 页 共 4 页(第 14 题图)110 分非部分 共选择题()二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。11.我国古代数学家刘洪在 乾象历中采用一次内插的方法来确定合朔时刻.记经过 k 日后太阳运行的总度数为()Dk,对经过(01)kkk 日后太阳运行的总度数()Dkk,刘洪给出了如下计算公式:()()(1)()DkkDkkDkDk .根据此式,若在某月中(2)1400D,(3)2200D,则经过 2.1日后太阳运行的总度数(单位:)是.12.已知函数21,1()3,1xx xfxx ,则()fx的值域是,单调递减区间是.13.已知多项式323401234(2)(23)xxaa x axaxax,则2a,1234a aaa.14.如图为函数cos()(0,0)yx 的部分图像,则,.15.已知,abc成等差数列,点(1,0)P到直线:0laxbyc 的距离为22,则直线 l 的倾斜角是.16.一质点从 ABC的顶点A出发,每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止,则质点3次运动结束后恰好位于顶点 A的概率P,记质点 4 次运动过程中经过顶点 B(包括第 4 次运动结束)的次数是 X,则()EX.17.设正四面体ABCD的棱长是 1,E F分别是棱,ADBC的中点,P是平面ABC内的动点.当直线,EFDP所成的角恒为时,点 P的轨迹是抛物线,此时|AP的最小值是.三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.(本题满分 14 分)在 ABC中,角,ABC所对的边分别是,abc,222 cosabbc B.()证明:sin()sin2A BB;()求角 B的取值范围.Z 水球高考命题研究组方向性测试 第 4页 共 4页19.(本题满分 15 分)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是梯形,AD BC,2ADBC,PA PD,1AB PB.()证明:PA 平面PCD;()若1BC CD,当四棱锥P ABCD的体积最大时,求直线PB与平面PAD所成角的正弦值.20.(本题满分 15 分)已知等比数列 na和等差数列 nb满足:111a b ,*nbN,且对任意*n N,121223()nnbbba aaaaa .()证明 nba是等比数列,并求数列 ,nnab的通项公式;()设数列 nb的前 n 项和为nS,记nnncaS,求数列 nc中的最小项.21.(本题满分 15 分)如图,已知抛物线24yx,斜率为正的直线交抛物线于,AB两点,交 x 轴的负半轴于点 M,以AB为直径的圆 C与 x 轴相切于点 N,交 y 轴于点,PQ.()求抛物线的准线方程;()求|MNPQ的最大值.22.(本题满分 15 分)已知,ab R,函数22()lnfxx ax bx,0 x .()当0a ,2eb时,证明:()3fx;()若函数()fx有三个不同的极值点,()rst r s t ,()求 b 的取值范围;()证明:5()4fs .注:2(ln)(ln)(ln)xxx.(第 21 题图)(第 19 题图)数学试题参考答案第 1页 共 4页(第 19 题图)(第 19 题图)数学试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，共 40 分。1.A2.C3.B4.A5.B6.D7.A8.C9.C10.D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。11.148012.0,),(1,0)13.18,7114.76,315.416.14,231617.32三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。18.本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查数学运算等素养。满分 14 分。()由余弦定理得2222 cosabcbc A,代入并化简得2cos2coscbAbB,由正弦定理得sin2cossinsin2CABB,由A B C 得sinsin()CA B,代入并化简得sin()sin2A BB.()由A B C 得(0,)AB,当 B是锐角时,3AB,解得(0,)4B;当 B是直角时,不合题意;当 B是钝角时,32AB,解得23(,)34B.故角 B的取值范围是23(0,)(,)434.19.本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查直观想象和数学运算等素养。满分 15 分。()取,ADAP中点,E F,连接,BEBFEF.由AB PB,PA PD得PA BF,PA EF,所以PA 平面BEF.由AD BC,2AD BC知四边形BCDE是平行四边形,则BE CD.由BE CD,EF PD得平面BEF平面PCD,所以PA 平面PCD.()方法一:由1AB PB BC CD,2AD 知四边形ABCD是以60A 的等腰梯形.连接AC,则AC CD,CD 平面PAC,于是点 P在底面ABCD内的射影在AC上.取AC中点 G,则32PG,于是当PG 底面ABCD时,四棱锥P ABCD的体积最大.连接BD,则11134P ABDABDVS h.计算得62PA,102PD,则154PADS,故21134B PADPADVS h,解得2155h,则215sin|5hPB.因此,直线PB与平面PAD所成角的正弦值为155.()方法二:由1AB PB BC CD,2AD 知四边形ABCD是以60A 的等腰梯形.连接AC,则AC CD,CD 平面PAC,于是点 P在底面ABCD内的射影在AC上.数学试题参考答案第 2页 共 4页(第 19 题图)取AC中点 G,则32PG,于是当PG 底面ABCD时,四棱锥P ABCD的体积最大.如图,以 G为原点,分别以射线,GB GC GP为,xyz轴的正半轴,建立空间直角坐标系G xyz.由题意得(0,0,0)G,3(0,0)2A,1(,0,0)2B,3(1,0)2D,3(0,0,)2P.所以33(0,)22PA,13(,0,)22PB,(1,3,0)AD.设平面PAD的法向量(,)xyzn,由00PAAD nn,得3302230yzxy,取(3,1,1)n,则|15sin|cos,|5|PBPBPBnnn.因此,直线PB与平面PAD所成角的正弦值为155.20.本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查数学运算和逻辑推理等素养。满分15 分。()设数列 na的公比为(0)qq,数列 nb的公差为(0)dd.由于11nnnnbbbdbaqqa,故数列 nba是首项为1ba,公比为dq的等比数列.易知1q ,则12212211()3 3()11nnd nnbbbdqqa aaaaaqq ,解得2q d ,因此12nna,21nbn.()由21nbn得2nSn,所以122nncn.由于11221nnnccn ,则21324354,0c c c c c c c c ,且当5n 时,13221 4(1 1)21 29 0nnnnn ,故当1,2,3,4n 时,1nncc;当5n 时,1nncc.因此数列 nc中的最小项是59c .21.本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查数学抽象、数学运算与逻辑推理等素养。满分 15 分。()由题意知抛物线的准线方程是1x .()由题意可设直线:(,0)ABx mynm n,11(,)Ax y,22(,)B x y.将直线AB的方程代入抛物线24yx得2440ymy n,所以124y ym,1 24y yn,点 C的坐标33(,)x y满足3121()22yy ym,2332xmy nmn .由|2|ABCN得数学试题参考答案第 3页 共 4页22212121 2121|1()4my ymy yy yy y,代入并化简得420mmn n .又(,0)Mn,2(2,0)Nmn,由勾股定理得222|2(2)(2)PQmmn2 224 n mnm,则2 222|444 4(2)8MNPQmn mnmn,当且仅当22mn ,即6222 0mm 时等号成立.由于20mn ,解得42m.记62()22fmmm,42m,注意到4(2)(2)0ff,则存在4(2,2)m符合题意.因此,|MNPQ的最大值是 8.22.本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查数学抽象、数学运算与逻辑推理等素养。满分 15 分。()当0a ,1b 时,2()ln 2efxxx,则2()(ln e)f xxxx.设()ln egxxx,易知()gx单调递增,且1()0eg,则111(0,)(,)eee()01()()exf xfxf 单调递减极小值单调递增所以1()()3efxf.()()由于2 ln()2xf xaxbx,设ln()xhxaxx,21 ln()xh xax,则()h x有两个变号零点1212,()x x x x.记()()h xh x,则32 ln 3()xh xx,所以33322232(0,e)e(e,)()0()(e)xh xh xh 单调递减极小值单调递增因此321(e,e)x,322(e,)x .此时11122212(0,)(,)(,)()00()()()xxxx xxxh xhxhxhx 单调递增极大值单调递减极小值单调递增将122212ln 1 ln 1xxaxx代入1()hx,2()hx得1112 ln 1()xhxx,2122 ln 1()xhxx.数学试题参考答案第 4页 共 4页设2 ln 1()xxx,则23 2 ln()x xx,所以33322232(0,e)e(e,)()0()(e)x xx 单调递增极大值单调递减由12(2(),2()bhxhx 解得32(4e,0)b.()由题意得()0f s ,即2 ln20sas bs ,将2 ln20sas bs 代入()fs得22()ln 2 lnfsss as.设22()ln 2 lnpxxx ax,则22()(ln 1)p xxaxx.设2()ln 1qxxax,则21 2()axq xx,结合12()()0p xp x及0a 得12()0()p xx x x.又12x s x,故21115()()ln3ln14pspxxx .解析&审核：水球高考命题研究组