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1 上海高中数学知识点梳理 集合与简易逻辑 1 区分集合中元素的形式：|()x yf x|()y yf x(,)|()x yyf x|()0 xf x 函数的定义域 函数的值域 函数图象上的点集 方程的根(零点)例 1集合RxxyyM,2，RxxyyN,12，则NM 例 2集合RxxyyxM,),(2，RxxyyxN,1),(2，NM 例 3集合 RaaM,4,32,1，集合RaaN,5,43,2，则NM 2研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性。例 4已知集合,lg()Ax xyxy，集合yxB,|,0，且BA，则 yx3集合的性质：任何一个集合P都是它本身的子集，记为PP。空集是任何集合P的子集，记为P。空集是任何非空集合P的真子集，记为P。注意：若条件为BA，在讨论的时候不要遗忘了A的情况。例 5集合012|2xaxxA，如果RA，实数a的取值范围 集合的运算：CBACBA、CBACBA；()()UUUCABC AC B、()()UUUCABC AC B。BCAACBCBABBAABAUUU。对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为：n2、12 n、12 n、22 n。例 6满足条件5,4,3,2,12,1A的集合A共有个。4研究集合之间的关系，当判断不清时，建议通过“具体化”的思想进行研究。例 7已知NkkxxM,12，NkkxxN,14，则NM _。5补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。例 8设函数 1222422ppxpxxf在区间1,1上至少存在一个实数C，使 2 0cf，求实数p的取值范围 6命题是表达判断的语句。判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题。命题的四种形式及其内在联系：原命题：如果，那么；逆命题：如果，那么；否命题：如果，那么；逆否命题：如果，那么；等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题。互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题。当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑。例 9“s i ns i n”是“”的 条件。注意命题“如果，那么”的否定与它的否命题的区别：命题“如果，那么”的否定是“如果，那么”；否命题是“如果，那么”。*例 10“若a和b都是偶数，则ba 是偶数”的否命题是 否定是 7常见结论的否定形式：原结论 是 都是 一定 p或q p且q 大于 小于 否定形式 不是 不都是 不一定 p且q p或q 不大于 不小于 原结论 至少一个 至多一个 至少n个 至多n个 对 所 有x都成立 对 任 何x不成立 否定形式 一个也 没有 至少两个 至多1n个 至少1n个 存 在 某x不成立 存 在 某x成立 8充要条件：条件 结论 推导关系 判断结果 是的充分条件 是的必要条件 且 是的充要条件 在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性：首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果。原命题逆命题否命题逆否命题互为 逆否互 逆互 逆互 否互 否 3 不等式 1基本性质：（注意：不等式的运算强调加法运算与乘法运算）ba 且cb ca；推论：.abacbc；.ba 且dc dbca；0000acbccabacbccacbcc；推论：.0,0abcdacbd；.ba 且a、b同号11ab；.ba 0110ab；.0,0,ababab；0 ba，0m mambab；000babbba；2解不等式：（解集必须写成集合或区间的形式）一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤：.分解因式找到零点；.画数轴标根画波浪线；.根据不等号，确定解集；注意点：.分解因式所得到的每一个因式必须为 x 的一次式；.每个因式中x的系数必须为正。绝对值不等式 关 键去绝对值：.xaxaa 或)0(a；.xaaxa)0(a；.22abab；.(0)f xg xg xf xg x或 xgxf；.f xg xg xf xg x；幂、指、对不等式 借助函数单调性 去掉幂、指、对符号 解不等式：解对数不等式时，应注意些什么问题？（化成同底、利用单调性、注意同解变形）解含参数的不等式时，定义域是前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键。而分类讨论的关键在于“分界值”的确定以及注意解完之后要总结：综上所述 对于不等式恒成立问题，常用“函数思想”、“分离变量思想”以及“图象思想”。例 1已知不等式04)2(2)2(2xaxa对一切Rx恒成立，求a的取值范围 3基本不等式：Rba,，则222abab，当且仅当ba 时，等号成立。,a bR，则2abab，当且仅当ba 时，等号成立。4 综上，若Rba,，则abbaba22)(222，当且仅当ba 时，等号成立。*若Rba,，则2221122abababab，当且仅当ba 时，等号成立。*1201,11201,xxxxxxxxxx ，当且仅当，即时 等号成立，当且仅当，即时 等号成立。例 2已知正数a、b满足3baab，则ab的取值范围是 例 3函数)21(4294xxxy的最小值为 例 4若12yx，则yx42 的最小值是 例 5正数x、y满足22yx，则yx11的最小值为 4不等式的证明：比较法：作差 因式分解或配方 与“0”比较大小 综合法：由因导果。分析法：执果索因；基本步骤：要证即证即证。反证法：正难则反。最值法：maxxfa，则)(xfa 恒成立；minxfa，则)(xfa 恒成立。函数 1九个基本函数必须熟练掌握：强调函数图象和性质 正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，幂、指、对函数，三角函数，反三角函数。2反函数：当且仅当函数是一一对应函数时才具有反函数。求反函数的步骤掌握了吗？解方程，用y表示x；交换x与y，写成反函数的形式；注明反函数的定义域。你还记得反函数的四个性质吗？互换性；对称性；单调一致性；还原性。例 1函数 xfy 过点 1,1，则xf4的反函数的图象一定经过点 若原函数()yf x在定义域上单调，则一定存在反函数；但一个函数存在反函数，则此函数不一定单调。你能写出一个具体的函数吗？例如：分段函数：010121xxxxfx或 xxf1等。3函数的要素：定义域、值域、对应法则 5 定义域：给出函数解析式，求函数的定义域（即求使函数解析式有意义的x的范围）(1)0)()(0 xfxfy；(2)0)()()(xQyxQxP；(3)0)()(2xPxPyn；(4)0)(,1)(,0)(log)()(xQxPxPyxQxP；(5)ZkkxPxPtgy,2)()(；(6)ZkkxPxPctgy,)()(；(7)1)(1)(arcsinxPxPy；(8)1)(1)(arccosxPxPy；使实际问题有意义的自变量的范围。例 2锐角ABC中，1,2,BCBA则cosACA的值等于 ，AC的取值范围为 求复合函数的定义域：若 xf的定义域为ba,，则 xgf的定义域由不等式 bxga解出；若 xgf的定义域为ba,，则 xf的定义域相当于bax,时 xg的值域；例 3函数)3lg()4()(xxxxf的定义域为 例 4若函数 xfy 的定义域为2,21，则函数xf2log的定义域为 例 5若函数12xf的定义域为1,2，则函数 xf的定义域为 值域：函数的值域（或最值）有哪几种常用解题方法？二次函数型或可化为二次函数型；单调性；基本不等式；换元法；数形结合；例 6函数1cos3sin22xxy的值域为 例 7设x,1a,2a,y成等差数列，x,1b,2b,y成等比数列，则21221bbaa 的取值范围是 例 8函数xxy22sin19sin的值域为 例 9函数xyx5log232的值域为 3函数的基本性质：奇偶性：定义判断奇偶性的步骤：定义域D是否关于原点对称；对于任意Dx，判断)(xf 与)(xf的关系：若)()(xfxf,也即0)()(xfxf(),yf x xD为偶函数 6 若)()(xfxf,也即0)()(xfxf(),yf x xD为奇函数 图象判断奇偶性：函数图象关于原点对称奇函数；函数图象关于y轴对称偶函数；判断函数的奇偶性时，注意到定义域关于原点对称了吗？如果奇函数)(xfy 在0 x处有定义，则0)0(f。.一个函数既是奇函数又是偶函数，则该函数必为：()0,f xxD(其中定义域D关于原点对称)如果两个函数都是非零函数（定义域相交非空），则有：奇+奇奇；奇+偶非奇非偶；偶+偶偶；奇奇偶；奇偶奇；偶偶偶。单调性：设任意Dxx21,且21xx,则)(1xf)(2xf无单调性 12()()f xf x减函数1212()()0f xf xxx；12()()f xf x增函数1212()()0f xf xxx；在比较)(1xf与)(2xf大小时，常用“作差法”，比较)(1xf)(2xf与0的大小。奇函数的图象在y轴两侧的单调性一致；偶函数的图象在y轴两侧的单调性相反。互为反函数的单调性一致。增函数+增函数 增函数；减函数+减函数 减函数。复合函数单调性由“同增异减”判定。例 10函数xxy2log221的单调递增区间为 注意函数“单调性”、“奇偶性”的逆用（即如何体现函数的“奇偶性”、“单调性”）例 11已知奇函数 xf是定义在2,2上的减函数，若0121mfmf，求实数m的取值范围 最大值和最小值：参见函数的值域 当x取12,nx xx的中位数时，函数12|nyxxxxxx取最小值 函数的零点：对于函数()()yf xxD，如果存在实数()c cD，当xc时，()0f c，那么就把xc叫做函数()()yf xxD的零点。注：零点是数；用二分法求零点的理论依据是：函数 f x在闭区间,a b上连续；()()0f af b 那么，一定存在(,)ca b，使得()0f c。（反之，未必）以下性质不是函数的基本性质 周期性：对于函数Dxxfy)(，如果存在一个非零常数t，使得对于任意Dx 时，恒有)()(xftxf成立，那么函数Dxxfy)(叫做周期函数，非零常数t叫做该函数的周期。7 任意Dx，xfaxf，则aT2 任意Dx，xfaxf1，则aT2.任意Dx,fxafxb,则|Tab 例 12定义在R上的偶函数 xf满足 xfxf 2，且在2,3 上是减函数，若、是锐角三角形的两个内角，则sinf与cosf的大小关系为 *若 xfy 图像有两条对称轴ax、bx（ba），则 xfy 必是周期函数，且一周期为baT 2。*若 xfy 图像有两个对称中心0,aA、0,bB（ba），则 xfy 是周期函数，且一周期为baT 2。*如果函数 xfy的图像有一个对称中心0,aA和一条对称轴bx（ba），则函数 xfy 必是周期函数，且一周期为baT 4。例 13已知定义在R上的函数 xf是以2为周期的奇函数，则方程 0 xf在2,2x上至少有 个实数根。对称性：点yx,关于y轴的对称点为yx,；函数 xfy 关于y轴的对称曲线方程为xfy。点yx,关于x轴的对称点为yx,；函数 xfy 关于x轴的对称曲线方程为 xfy。点yx,关于原点的对称点为yx ,；函数 xfy 关于原点的对称曲线方程为xfy 两函数xafy与xbfy的图像关于直线2abx对称。函数 xf满足xbfxaf，则函数的图象关于直线2bax对称。例 14二次函数bxaxxf2)(满足35xfxf，且方程xxf)(有等根，则)(xf 例 15己知函数 323xxxf，若)1(xfy的图像是1C，它关于直线xy 对称图像是2C，2C关于原点对称的图像为3C，则3C对应的函数解析式是 例 16函数xxy2与函数 xgy 的图象关于点3,2对称，则 xg 8 左加右减上加下减沿y轴方向伸缩为原来的k倍沿x轴方向伸缩为原来的倍1k关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称x0时，图象不变；然后再关于y轴对称f(x)0时，图象不变；然后再关于x轴对称形如),0(bcadcdcxbaxy的图像是双曲线，对称中心是点cacd,，两条渐近线分别为cdx，cay。例 17已知函数图象1C与2C：112aaxaxy关于直线xy 对称，且图象1C关于点3,2 对称，则a 4函数图象变换：平移变换：函数)(xfy 的图象 函数)(axfy的图象；函数)(xfy 的图象 函数bxfy)(的图象；伸缩变换：函数)(xfy 的图象 函数)(xkfy的图象；函数)(xfy 的图象 函数)(xfky的图象；对称变换：函数)(xfy 的图象 函数)(xfy的图象；函数)(xfy 的图象 函数)(xfy的图象；函数)(xfy 的图象 函数)(xfy的图象；函数)(xfy 的图象 函数|)(|xfy 图象；函数)(xfy 的图象 函数|)(|xfy 图象；例 18要得到xy3lg的图像，只需作xylg关于_ 轴对称的图像，再向_平移3个单位而得到。例 19将函数aaxby的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线xy 对称,那么()(A)1a，0b；(B)1a，Rb；(C)2a，0b；(D)0a，Rb；5常见的抽象函数模型：正比例函数模型：0,kkxxf yfxfyxf。幂函数模型：2xxf yfxfxyf；yfxfyxf。9 指数函数模型：xaxf yfxfyxf；yfxfyxf。对数函数模型：xxfalog yfxfxyf；yfxfyxf。三角函数模型：xxftan yfxfyfxfyxf1。6三个二次（哪三个二次）的关系以及应用掌握了吗？在研究三个二次时，你注意到二次项系数非零了吗？如何利用二次函数来研究一元二次方程、一元二次不等式的问题。一元二次函数的研究强调数形结合，那么数形结合该从哪些方面去研究？（开口、对称轴、定义域以及偏移度）特别提醒：二次方程20axbxc的两根即为不等式20()axbxc解集的端点值，也是二次函数2()(0)f xaxbxca图象与x轴交点的横坐标。7研究函数问题准备好“数形结合”这个工具了吗？8研究函数的性质注意在定义域内进行了吗？9解对数函数问题时注意到真数以及底数的限制了吗？10指数运算法则：),0,0(RnRmba.nmnmaaa；.nmmnnmaaa)()(；.nnnbaba)(；11对数运算法则：)(logloglogNMNMaaa；NMaaaNMlo glo glo g；babalog；abbccal o gl o gl o g；bmnbanamloglog；三角 1三角比的定义你还记得吗？2三角公式你记住了吗？同角三角比的关系：商数关系、倒数关系、平方关系；诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。你能用“小三角形”进行同角三角比的转换吗？3三角化简，强调哪两点？切、割化弦；化繁为简。4三角条件求值你注意到两个关系了吗？（角的关系、名的关系）例如：；2；2 例 1已知52tan，414tan，则4tan 10 例 2已知、为锐角，xsin，ycos，53cos，则y关于x的函数 关系为 5在三角中，你知道“1”等于什么吗？22cossin122tansec22cotcsc4tancottan 0cos2sin。6重要公式：22cos1sin2；212coscos2 sincos1cos1sin2tan；sincossin22baba；例 3当函数xxysin3cos2取最大值时，xtan 7你还记得在弧度制下弧长公式以及扇形的面积公式吗？你注意到了扇形的弧长与周长的 区别了吗？（03.571rad）弧长公式：rl；周长公式：rlc2；面积公式：rlrS21212；例 4已知扇形AOB的周长是cm6，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积 8正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？会用它们解斜三角形吗？如何实现边 角互化？正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin 余弦定理：Abccbacos2222；bcacbA2cos222；面积公式：BcaAbcCabSsin21sin21sin21；大边对大角：BABAbasinsin；锐角ABC中：若222cba，则BABABAcossin22；钝角ABC中：若222cba，则BABABAcossin222；直角ABC中：若222cba，则BABABAcossin22；例 5在ABC中，若31sinA，则Acos (注意几解）在ABC中，若31cosA，则Asin （注意几解）*9三角形与向量综合的有关结论：在ABC中，给出222OCOBOA，O是ABC的外心；（外心：中垂线的交点）在ABC中，给出0OCOBOA，O是ABC的重心；（重心：三边中线的交点）11 在ABC中，给出OAOCOCOBOBOA，O是ABC的垂心；（垂心：高的交点）在ABC中，给出ACACABABOAOP，AP所在直线经过ABC的内心；在ABC中，给出2ACABAD，等于已知AD是ABC中BC边的中线；例 6O是ABC所在平面内一点，且满足OAOCOBOCOB2，则ABC的形状为 例 7若D为ABC边BC的中点，ABC所在平面内一点P，满足0CPBPPA，设PDAP，则 例 8若O是ABC的外心，且0COOBOA，则角C 10你能迅速画出三角函数（正弦、余弦、正切）的图象吗？你知道三角函数线吗？能写出它们的单调区间及其取最值时x的集合吗？（别忘了kZ）；能给出三角函数的对称轴、对称点吗？11会用五点法画函数“BxAy)sin(”的草图吗？哪五点？会根据图象求出参数A、B的值吗？12形如BxAy)sin(、BxAy)tan(的最小正周期会求吗？有关函数周期的定义还记得吗？周期函数有何性质？13反三角的处理思想是什么？（回归思想：设、化、范围，回到三角范围求解）14你能熟练的画出反三角函数：xyarcsin、xyarccos、xyarctan的图象吗？并结合图象，你能说明反三角函数的性质吗？15在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面要求：先求出某一个三角函数值；再判定角的范围。16三角不等式或三角方程的通解一般式你注明“Zk”了吗？17在用反三角表示直线的倾斜角、两直线的夹角、异面直线所成角、线面角、二面角、向量夹角时，是否注意到它们的范围？直线的倾斜角：,0；两直线的夹角：2,0；异面直线所成角：2,0；线面角：2,0；二面角：,0；向量夹角：,0；数列：1数列的本质是什么？（定义在正整数集或其子集上的函数）。2等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？等比数列的通项公式与指数函数有什么关系？12 3等差数列的求和公式有几个？等比数列的求和公式应注意什么？4设nS是数列 na的前n项和，则“na是等差数列”的充要条件是“BnAnSn2，其中公差Ad2”。设nS是数列 na的前n项和，则“na是非常数等比数列”的充要条件是“(0)nnSAqA A，其中公比是q”。5常数列：)(Nnaan na是公差0d的等差数列；非零常数列既是等差数列,又是等比数列；既是等差数列又是等比数列的数列必为非零常数列 6若 na是等差数列,则 nab是等比数列（0b）；若 na是等比数列，则nbalog是等差数列；7对于等差、等比数列，你是否掌握了类比思想？8等差数列、等比数列有哪些重要性质？你注意到它们的性质的关键在于下标以及结构特征了吗？等 差 数 列 等 比 数 列 定 义 从第二项起，后一项减前一项的差是同一个常数，则该数列为等差数列。1.),2(1Nnndaann 从第二项起，后一项与前一项的比是同一非零常数，则该数列为等比数列。1.)0,2(1qNnnqaann 通项 公式)()1(1Nndnaan)(11Nnqaann 前n项和 公式 dnnannaaSnn2)1(2)(11 )(2NnBnAn 111)1(1111qqqaaqqaqnaSnnn 通项公式na与前n项和公式nS之间的关系：NnnSSnSannn,2111 性 质 1),()(Nkndknaakn 2.)(221Nnaaannn 1),(Nknqaaknkn 2.)0,(1221nnnnaNnaaa 3若plkji2，则：plkjiaaaaa2 2)(2)(121naanaaSnnn 3若plkji2，则：2)(plkjiaaaaa 4.若321,kkk是公差为k的等差数列，则：321,kkkaaa是公差为dk 的等差数列。4.若321,kkk是公差为k的等差数列，则：321,kkkaaa是公比为kq的等比数列。13 5.na,nb分别是公差为1d，2d的等差数列，、是常数，则：nnba是公差为21dd的等差数列。5.na,nb分别是公比为1q，2q的等比数列，、是非零常数，则：nnba是公比为21qq 的等比数列；nnba是公比为21qq的等比数列。例 1已知 na是等比数列，且 na的前n项和rSnn 3，则r 例 2在等比数列 na中，12483 aa，51274aa，公比q是整数，则10a 9无论是在等差数列还是在等比数列中，共有五个关键量：1a、na、nS、n、d或q，如果已知其中三个量，则可由na及nS的公式，求出其余两个量（知三求二）；10求数列通项公式有哪几种典型类型？1(2,)nnaad nnN或1(2,)nnaq nnNa型（定义等差或等比数列利用公式）已知)(1nfaann或)(1ngaann)(Nn型（累计求和或累计求积）已知1nnap aq(1p)型（等式左右两边同时减去1qp）已知和nS，求项na，则：2111nSSnSannn（是否注意到“2n”？）利用迭代、递推的方法 数学归纳法证明（用数学归纳法证明问题的关键是什么？是否具有从特殊到一般的思维模式）例 3数列 na满足11a，nnaann111，2n，Nn，则na 例 4数列 na满足11a，231nnaa，2n，Nn，则na 例 5数列 na满足11a，nnnnaaaa11，则na 例 6数列 na满足52212121221naaann，则na 11求数列 na的最大、最小项的方法：注意点：由于n是正整数，注意等号成立。14 函数思想（特别是，利用数列的单调性）；作差比较法：0001nnaannaa1；11maxmin11();()nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa 例 7数列 na的通项公式为32922nnan，则 na的最大项为例 8 na的通项公式为1562nnan，则 na的最大项为 例 9 na的通项公式为nnnna1019，则 na的最大项为 12求数列前n项和nS有哪几种典型类型？通过判断 “等差或等比数列”利用求和公式求解。通过判断 “等差等比”型 分组拆项求和。通过判断 “等差等比”型 错位相减法。通项或表达式为分式时，常用裂项相消求和法。常用裂项方法：1111()()()()mnkm knmn knkm倒序相加法，或倒序相乘法，强调配对思想。对于数表型问题，找规律，再操作。对于奇偶项的不同，分类讨论，分别求和。（注意项数、公差、公比的变化）例 10n321132112111例 11函数 221xxxf，则 4131214321fffffff13你会根据数列项的关系来研究“数列和的最值”以及“数列积的最值”吗？例 12等差数列 na中，251a，179SS，问该数列中多少项和最大？并求此最大值。例 13 若 na是等差数列，首项01a，020042003 aa，020042003aa，则使前n项和0nS成立的最大正整数n是 14数列换元应注意哪两个原则？（最小下标原则以及下标一致原则）。15极限有哪几种典型类型？分别如何处理？ccnlim （c 为常数）；1lim0(0)nan；111110limqqqqqnn或不存在；15 22lim(0)nanbncaddnenfd；111,|1lim,|11,nnnnnabaabababbabab 16极限的运算性质有哪些？如果：Aannlim，Bbnnlim，则：BAbannn)(lim；BAbannn)(lim；BAbannnlim )0(B；kknnknnAaa)lim()(lim k为有限数；注：极限的四则运算应满足：项数有限且每一项都有极限 180limnnq_？（1q）；若nnqlim存在，则q满足什么条件？（1q或1q）上述q与等比数列的公比有什么区别吗？19无穷等比数列的“各项和”就是“所有项和”，也就是数列和的极限。它的前提是等比数列的公比q满足：1q且0q，则各项和为qaS11。*20存款单利问题：（零存整取储蓄（单利）本利和计算模型）若每期存入本金p元，每期利率为r，则n期后本利和为：nrprprpSn1211；分期付款复利问题：若贷款p元，采用分期等额还贷款，从借款日算起，一期后为第 一次还款日，如此下去，分n次还清，如果每期利率为r（按复利），那么每期等额还贷款x元应满足：nnnrpxrxrxrx111121；复数 1你还记得复数是怎样定义的吗？虚数单位i：四次一循环 )(;1;1;44342414Zkiiiiiikkkk 注：易知2(1)2ii；2(12)2ii k；2(1)2kkkii；2(1)(2)kkkii 复数的代数形式：形如),(Rbabia的数叫做复数，记为：),(Rbabiaz。a叫做复数z的实部，记为：az Re；b叫做复数z的虚部，记为：bz Im，注意：复数的虚部是一个实数。注：虚数不能比较大小；能比较大小的复数是实数 biaz1，biaz2),(Rba，则称1z、2z为共轭复数，记为：21zz，或12zz。注：实数a的共轭复数就是本身，即)(Raaa Im0zRzzz20z；z是纯虚数Re0Im0zz00zzz20z 16 数的分类：0:00,(0):(00)abzbi bzabi ab正整数整数有理数实数负整数复数z=a+bi(a,bR)分数无理数纯虚数且即虚数非纯虚数且 2解复数问题的指导思想是什么？（根据复数相等的充要条件，将复数问题转化为实数问题求解）设biaz1,dicz2),(Rdcba,则12zzacbd且（把复数问题转化为实数问题）3复数的性质有哪些？共轭的性质：2121zzzz；2121zzzz；2121)(zzzz；zz)(；模的性质：2121zzzz；2121zzzz；nnzz；zzzz22；22212212212zzzzzz；.121212|zzzzzz 幂的运算法则：（注：n、m 为整数）nmnmzzz；nmmnmnzzz)()(；nnnzzzz)()()(2121；nniiii)2()1(2)1(22；nniiii)2()1(2)1(22；01,1,231231232ii；的本质：方程31x 的三个根是 1 和1322i，其中1,21322i 叫做立方虚根。的运算满足三次一循环：311k；3111k；32121k（kZ）4你还记得实系数一元二次方程的求根公式吗？“共轭虚根定理”的前提是什么，结论是什么？实系数一元二次方程：02cbxax )0,(aRcba 当042acb时有两个实数根：2124,2bbacx x；当042acb时有一对共轭虚根：2124,2bacb ix x；17 无论0还是0，韦达定理都成立：acxxabxx2121 注意：（1）实系数一二次方程20(,0)axbxca b cR a中，以下公式和定理适用：求根公式；利用判别式判断根的情况与个数；韦达定理；共轭虚根定理（即虚根成对出现）（2）虚系数一元二次方程中：仅韦达定理可用；（3）已知12xx、是一元二次方程20(,0)axbxca b cR a的两根，则 若12|(0)xxp p，则2212120()4xxx xp 或22121204()x xxxp 若12|(0)xxp p，则222121202|xxx xp 或121120|2|22cxxxxxpa 矩阵 1矩阵：由nm个数ija（mi,3,2,1；nj,3,2,1）按顺序排成的m行、n列矩形数表叫做矩阵，记为：mnmmmijnnaaaaaaaaaaaaaA32122322211131211，简记为：nmijaA，读做：矩阵A.2元素：矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，记为ija。3单位矩阵：主对角线上元素均为1，其余元素均为0的方矩阵，叫做单位矩阵，记为I。例如：2阶单位矩阵：1001；3阶单位矩阵：100010001。4负矩阵：将矩阵 nmijaA中每一个元素ija变为其相反数ija，所得的矩阵称为矩阵A的负矩阵，记为：nmijaA。5零矩阵：所有的元素都为0的矩阵，称为零矩阵。6相等矩阵：若两个矩阵是同类型，即 nmijaA，nmijbB，当且仅当它们对应位置的元素都相等，即ijijba 时，则称这两个矩阵相等，记做：BA。7矩阵的和（差）：两个同类型矩阵 nmijaA、nmijbB对应位置上的元素相加（减），设ijijijcab，所得到的矩阵 nmijcC称为矩阵A、B的和，记做：CAB。注：矩阵相等、矩阵加减运算，前提条件是两矩阵的行数与列数相同。18 矩阵加法运算律：交换律：ABBA 结合律：()()ABCABC；8数与矩阵相乘：设k为任意实数，将矩阵 nmijaA的所有元素都与相乘得到的矩阵11121312122232123nnijmmmmnkakakakakakakakakakakakaka叫做矩阵A与实数k的乘积矩阵，记作：nmijaA。注：实数与矩阵的乘法运算律：如果A、B是两个同类矩阵，m、n是任意实数，那么：实数关于矩阵加法的分配律：()m ABmAmB；矩阵关于实数加法的分配律：()mn AmAnA；实数关于实数与矩阵乘法的结合律：()()mn Am nA；9矩阵的乘积：当且仅当矩阵 nmijaA的列数n与矩阵 qpijbB的行数p相等时，定义矩阵 qmijcC的任意一个元素pjinjijijiijbabababac332211，则称矩阵C是矩阵A与矩阵B的乘积，记作：ABC。注：两个矩阵进行乘法运算，必须是左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数，其核心为：“左行乘右列”。矩阵变换:要“左乘”变换矩阵 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵；若0AB，一般不能推出0A或者0B；若ACAB，即使A是非零矩阵，也不一定有CB；矩阵乘法不满足交换律，即AB与BA一般不相等。行列式 1二阶行列式：2211baba，其展开式为：1221baba。2设二元一次方程组：222111cybxacybxa，其中1a、2a、1b、2b是未知数x、y的系数，且不全为零，1c、2c是常数项，设2211babaD，2211bcbcDx，2211cacaDy，则方程组可整理为：yxDyDDxD、当0D时，方程组有唯一解：DDDDyx,；、当0D，且xD、yD不全为零时，方程组无解；19、当0yxDDD时，方程组有无穷多组解。注意：利用三阶行列式解线性方程组时：0D方程组有唯一解；0D方程组有无穷解或无解（只需知道即可）3把九个数排成三行三列的方阵称为三阶行列式，记做：333231232221131211aaaaaaaaa，按行列展开为：211233113223312213231231133221332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa。余子式：把三阶行列式中某元素ija所在的行和列划去后所得的二阶行列式叫做该元素ija的余子式，记做：ijM（本质：还是行列式）。代数余子式：把某元素ija的余子式ijM添上相应的符号 ji1，得到 ijjiM1，叫做该元素ija的代数余子式。例如：23a的余子式为：3231121123aaaaM；代数余子式为 3231121123321aaaaM；三阶行列式可以按任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；三阶行列式可以按任意一列展开成该列元素与其对应的代数余子式的乘积之和；例如：323122211333312321123332232211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa；232113113233311311223331232112333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa；4在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为11,yx、22,yx、33,yx，则ABC的面积公式11223311121ABCxySxyxy。向量 1向量的本质是什么？即有大小又有方向的量；向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！2向量的性质有哪些？相等向量：大小相等，方向相同的两个向量叫做相等向量，记为：（与起点，终点的位置无关）；互为负向量：大小相等，方向相反的两个向量叫做互为负向量。a的负向量：a；0)(aa；20 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。（平行向量与大小无关）若a，b都是非零向量，则ba/bka (Rk)；（向量平行即共线）零向量：大小为零的向量叫做零向量，记为：0。（零向量方向任意）注：00，00，0/任意向量，0任意向量；单位向量：大小为“1”的向量叫做单位向量。单位向量方向不确定；单位向量不唯一；单位向量之间不一定相等；若0a是非零向量a的单位向量，则：aaa 0；位置向量：起点在原点的向量叫做位置向量位置向量与向量终点一一对应位置向量的向量坐标与终点的点坐标一一对应 判断向量垂直的依据：0aba babab 判断向量平行的依据：（非零向量）方法一：存在常数k，使得bka ba/且0k时，a与b同向；0k时，a与b反向。方法二：bababababa/1cos01cos反向同向。向量a在向量b方向上的投影：cosa bab。（投影有正负）3你掌握了“数与向量相乘”，“向量的数量积”的运算了吗？数与向量乘积：ka=ak （结果为向量）注：若ka0，则0a或0k。运算律：当m、Rn时，、anamanm)(；、bmambam)(；、)()()(amnamnanm；向量的数量积：cos,0,a ba b（结果为实数）性质：abba cbcacba)()()()(bmabambam 22aaaa 22)()(bababa 2222)(bbaaba 向量的夹角：（注意起点重合），tbabacos0arccos020arccosttttt 向量的运算与实数运算有区别：等式两边能同时约去一个向量吗？；向量满足的乘法结合律吗？（即()()ab ca bc）。切记向量不能相除。0,21 4线段的定比分点公式记住了吗？的取值与定比分点P和21PP的位置有何关系？、中点公式以及重心公式你还记得吗？、在利用定比分点解题时，你注意到1了吗？5平面向量分解定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不平行的向量，那么对于这个平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，满足2211eea。6函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系！例 1按向量a把点3,2 平移到2,1，则按向量a把点2,7平移到点 例 2函数xy2sin的图象按向量a平移，得到函数的解析式是12cosxy，则a 7向量坐标：平 面 向 量 空 间 向 量(理)jyi xyxa,Ryx,22yxa kzjyi xzyxa,Rzyx,_a 若jyixa11；jyixb22 则：_ba 若kzjyixa111；kzjyixb222 则：212121zzyyxxba 若yxa,，则：yxa,若zyxa,，则：_a 若非零向量 jyixa11；Ryx11,非零向量 jyixb22；Ryx22,则：2121/kyykxxbkaba；002121yyxxbaba 非零向量 kzjyixa111；Rzyx111,非零向量 kzjyixb222；Rzyx222,则：_bkaba 00212121zzyyxxbaba 零向量：_0 零向量：0,0,00 若yxa,，则与a同方向的单位向量0a为：22220,yxyyxxaaa 若zyxa,，则与a同方向的单位向量0a为：aaa 0 22 量向为仍果结终最的算运减加的量向则则若若,212121212221112211_,_,bayyxxbabayyxxbazyxbzyxayxbyxa 量向为仍果结乘相量向与数则则若若,_,kzkykxakakRkzyxaRkyxa 数实为积量数的量向与量向的数量积为与则的数量积为与则若若_:,21212221112211ba