2021-2022学年广东省广州市花都区八年级(上)期末数学试卷(含解析)14053.pdf

2021-2022 学年广东省广州市花都区八年级（上）期末数学试卷 班级：_ 姓名：_ 评价：_ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3 分）下列标志图形属于轴对称图形的是（）A B C D 2（3 分）已知在ABC 中，AB4，BC7，则边 AC 的长可能是（）A2 B3 C4 D11 3（3 分）新型冠状病毒是冠状病毒的一种，该病毒是一种单链 RNA 病毒，侵入人体后可引起上下呼吸道感染，主要症状为发热、乏力、干咳新型冠状病毒的直径平均约为 100纳米，合约 0.0000001 米，用科学记数法表示 0.0000001 米为（）A1106米 B1107米 C1106米 D1107米 4（3 分）已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则1 等于（）A72 B60 C50 D58 5（3 分）下列运算中，正确的是（）A3x3+2x25x2 Baa2a3 C3a6a33a2 D（ab）3a3b 6（3 分）计算（2x+1）（x5）的结果是（）A2x29x5 B2x29x+5 C2x211x5 D2x211x+5 7（3 分）一个凸多边形的内角和与外角和之比为 2：1，则这个多边形的边数为（）A5 B6 C7 D8 8（3 分）如图，在ABC 中，B90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，BC8cm，BD：CD3：4，则点 D 到 AC 的距离为（）cm A3 B4 C327 D247 9（3 分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美 如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点 E 的坐标为（2m，n），其关于 y 轴对称的点 F 的坐标（3n，m+1），则（mn）2022的值为（）A32022 B1 C1 D0 10（3 分）如图，点 E 在等边ABC 的边 BC 上，BE4，射线 CDBC，垂足为点 C，点P 是射线 CD 上一动点，点 F 是线段 AB 上一动点，当 EP+FP 的值最小时，BF5，则AB 的长为（）A7 B8 C9 D10 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）.11（3 分）要使分式23有意义，则 x 的取值应满足的条件是 12（3 分）计算(3)0+22=13（3 分）如图，已知12，要判定ABDACD，请你添加一个条件，是 （写出一个条件即可）14（3 分）如图，在ABC 中，AD、AE 分别是 BC 边上的中线和高，AE6，SABD15，则 CD 15（3 分）已知一个等腰三角形一腰与另一腰上高的夹角为 20，则这个等腰三角形的顶角为 16（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”筝形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O 已知ADC120，ABC60，小婵同学得到如下结论：ABC 是等边三角形；BD2AD；S四边形ABCDACBD；点 M、N 分别在线段 AB、BC 上，且MDN60，则 MNAM+CN，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）三、解答题（本题有 9 个小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17（4 分）解方程：33=2 18（4 分）因式分解：ab24a 19（6 分）如图，ABAC，CDBD，ABDC，AC 与 BD 交于点 O 求证：OBOC 20（6 分）如图，在 RtABC 中，BAC60，AD、BE 分别是BAC 与ABC 的平分线，并交于点 H（1）若 DC2，则 AD ；（2）AHB 的度数 21（8 分）已知：=2+2+1211（1）化简 A；（2）当 a38 时，求 A 的值 22（10 分）我们定义：顶角等于 36的等腰三角形为黄金三角形如图，ABC 中，ABAC 且A36，则ABC 为黄金三角形（1）尺规作图：作B 的角平分线，交 AC 于点 D（保留作图痕迹，不写作法）（2）请判断BDC 是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由 23（10 分）某校推行“新时代好少年红心向党”主题教育读书工程建设活动，原计划投资 10000 元建设几间青少年党史“读书吧”，为了保证“读书吧”的建设的质量，实际每间“读书吧”的建设费用增加了 10%，实际总投资为 15400 元，并比原计划多建设了 2间党史“读书吧”（1）原计划每间党史“读书吧”的建设费用是多少元？（2）该校实际共建设了多少间青少年党史“读书吧”？24（12 分）如图 1，有 A 型、B 型、C 型三种不同形状的纸板，A 型是边长为 a 的正方形，B 型是边长为 b 的正方形，C 型是长为 b，宽为 a 的长方形现用 A 型纸板一张，B 型纸板一张，C 型纸板两张拼成如图 2 的大正方形 （1）观察图 2，请你用两种方法表示出图 2 的总面积 方法 1：；方法 2：；请利用图 2 的面积表示方法，写出一个关于 a，b 的等式：（2）已知图 2 的总面积为 49，一张 A 型纸板和一张 B 型纸板的面积之和为 25，求 ab的值（3）用一张 A 型纸板和一张 B 型纸板，拼成图 3 所示的图形，若 a+b8，ab15，求图 3 中阴影部分的面积 25（12 分）如图，ACD 是等边ABC 的一个外角，点 E 是ACD 内部任意一点，作直线 CE（1）当 CE 平分ACD 时，证明：ABCE（2）已知点 A 关于直线 CE 的对称点为 F，连接 AF、BF、CF，其中 AF、BF 分别交直线 CE 于 P、Q 两点记ACE，当 060时，求BFC，（用含 的式子表示）（3）若（2）中的 满足 0120时，AFB ；探究线段 QB、QC、QP 之间的数量关系，并证明 2021-2022 学年广东省广州市花都区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3 分）下列标志图形属于轴对称图形的是（）A B C D【考点】轴对称图形【专题】平移、旋转与对称；几何直观【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意 故选：B【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 2（3 分）已知在ABC 中，AB4，BC7，则边 AC 的长可能是（）A2 B3 C4 D11【考点】三角形三边关系【专题】三角形；推理能力【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，判断即可【解答】解：在ABC 中，AB4，BC7，则 74AC7+4，即 3AC11，边 AC 的长可能是 4，故选：C【点评】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边 3（3 分）新型冠状病毒是冠状病毒的一种，该病毒是一种单链 RNA 病毒，侵入人体后可引起上下呼吸道感染，主要症状为发热、乏力、干咳新型冠状病毒的直径平均约为 100纳米，合约 0.0000001 米，用科学记数法表示 0.0000001 米为（）A1106米 B1107米 C1106米 D1107米【考点】科学记数法表示较小的数【专题】实数；数感【分析】绝对值小于 1 的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.0000001 米1107米 故选：D【点评】此题主要考查用科学记数法表示较小的数，关键是掌握科学记数法表示较小的数的方法 4（3 分）已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则1 等于（）A72 B60 C50 D58【考点】全等三角形的性质【专题】图形的全等【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案【解答】解：由于两个三角形全等，11805072 58，故选：D【点评】本题考查了全等三角形的性质，属于基础题型解答本题的关键是熟练运用全等三角形的性质 5（3 分）下列运算中，正确的是（）A3x3+2x25x2 Baa2a3 C3a6a33a2 D（ab）3a3b【考点】整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方【专题】整式；运算能力【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，整式的除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可【解答】解：A.3x3与 2x2不是同类项，不能合并，故 A 不符合题意；Baa2a3，故 B 符合题意；C.3a6a33a3，故 C 不符合题意；D（ab）3a3b3，故 D 不符合题意；故选：B【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，整式的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键 6（3 分）计算（2x+1）（x5）的结果是（）A2x29x5 B2x29x+5 C2x211x5 D2x211x+5【考点】多项式乘多项式【专题】整式；运算能力【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算即可【解答】解：（2x+1）（x5）2x210 x+x5 2x29x5，故选：A【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是运算过程中注意符号的变化 7（3 分）一个凸多边形的内角和与外角和之比为 2：1，则这个多边形的边数为（）A5 B6 C7 D8【考点】多边形内角与外角【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力【分析】设多边形有 n 条边，则内角和为 180（n2），再根据内角和等于外角和 2 倍可得方程 180（n2）3602，再解方程即可【解答】解：设多边形有 n 条边，由题意得：180（n2）3602，解得：n6，故选：B【点评】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为 180（n2）8（3 分）如图，在ABC 中，B90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，BC8cm，BD：CD3：4，则点 D 到 AC 的距离为（）cm A3 B4 C327 D247【考点】角平分线的性质【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力【分析】由条件可先求得 BD 的长，再根据角平分线的性质可知 D 到 AC 的距离等于 BD，可得到答案【解答】解：BC8cm，BD：CD3：4，BD=247（cm），AD 平分BAC，B90，D 到 AC 的距离等于 BD，D 点到线段 AC 的距离为247cm，故选：D【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键 9（3 分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美 如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点 E 的坐标为（2m，n），其关于 y 轴对称的点 F 的坐标（3n，m+1），则（mn）2022的值为（）A32022 B1 C1 D0【考点】坐标与图形变化对称；关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标【专题】平移、旋转与对称；应用意识【分析】利用轴对称的性质构建方程组，求出 m，n，可得结论【解答】解：E（2m，n），F（3n，m+1）关于 y 轴对称，=+12=3，解得，=4=5，（mn）2022（4+5）20221，故选：C【点评】本题考查坐标与图形变化对称，二元一次方程组等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型 10（3 分）如图，点 E 在等边ABC 的边 BC 上，BE4，射线 CDBC，垂足为点 C，点P 是射线 CD 上一动点，点 F 是线段 AB 上一动点，当 EP+FP 的值最小时，BF5，则AB 的长为（）A7 B8 C9 D10【考点】轴对称最短路线问题；等边三角形的性质【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力【分析】作 E 点关于 CD 的对称点 E，过 E作 EFAB 交于点 F，交 CD 于点 P，连接PE，此时 EP+FP 的值最小，由题意可得FEB30，则 BE2BF，再由 BF5，BE4，可得 102CE+4，解得 CE3，可求 BC7【解答】解：作 E 点关于 CD 的对称点 E，过 E作 EFAB 交于点 F，交 CD 于点 P，连接 PE，PEPE，EP+FPPE+PFEF，此时 EP+FP 的值最小，ABC 是正三角形，B60，EFAB，FEB30，BE2BF，BF5，BE4，EB10，CECE，102CE+BE2CE+4，CE3，BC7，故选：A 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）.11（3 分）要使分式23有意义，则 x 的取值应满足的条件是 x3 【考点】分式有意义的条件【专题】计算题；分式；符号意识【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解【解答】解：由题意可得：x30，解得：x3，故答案为：x3【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键 12（3 分）计算(3 )0+22=54 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂【专题】实数；运算能力【分析】先化简各数，然后再进行计算即可【解答】解：(3)0+22 1+14=54，故答案为：54【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的运算，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关键 13（3 分）如图，已知12，要判定ABDACD，请你添加一个条件，是 ABAC 或BC 或ADBADC （写出一个条件即可）【考点】全等三角形的判定【专题】开放型【分析】判断ABDACD，已知的条件是：12，ADAD，根据全等三角形的判定定理即可确定【解答】解：判断ABDACD，已知的条件是：12，ADAD，因而根据 SAS，可以添加条件：ABAC；根据 AAS，可以添加条件：BC；根据 ASA 可以添加ADBADC 故答案是：ABAC 或BC 或ADBADC【点评】本题考查了全等三角形的判定，正确理解判定方法是关键 14（3 分）如图，在ABC 中，AD、AE 分别是 BC 边上的中线和高，AE6，SABD15，则 CD 5 【考点】三角形的面积【专题】三角形；推理能力【分析】由利用三角形的面积公式可求得 BD 的长，再由中线的定义可得 CDBD，从而得解【解答】解：SABD15，AE 是 BC 边上的高，12BDAE15，则126BD15，解得：BD5，AD 是 BC 边上的中线，CDBD5 故答案为：5【点评】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是由三角形的面积公式求得 BD 的长 15（3 分）已知一个等腰三角形一腰与另一腰上高的夹角为 20，则这个等腰三角形的顶角为 70 或 110 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行分析，画出图形分两种情况讨论即可解决问题【解答】解：ABAC，ABD20，BDAC，BACBDCABD902070；ABAC，ABD20，BDAC，BACABD+ADB20+90110 故答案为：70 或 110 【点评】此题主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，熟练掌握这两个定理是解决问题的关键 16（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”筝形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O 已知ADC120，ABC60，小婵同学得到如下结论：ABC 是等边三角形；BD2AD；S四边形ABCDACBD；点 M、N 分别在线段 AB、BC 上，且MDN60，则 MNAM+CN，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）【考点】三角形综合题【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力【分析】由“筝形”的性质可得 ABBC，ADCD，可证ABC 是等边三角形，故正确；由“SSS”可证ABDCBD，可得ABDCBD30，ADBBDC60，由直角三角形的性质可得 BD2AD，故正确；由面积关系可求 S四边形ABCD=12ACBD，故错误；延长 BC 到 E，使 CEAM，连接 DE，由“SAS”可证MDNEDN，可得 MNEN，由线段和差关系可得 MNAM+CN，故正确，即可求解【解答】解：四边形 ABCD 是“筝形”四边形，ABBC，ADCD，ABC60，ABC 是等边三角形，故正确；BACBCA60，ADCD，ADC120，DACDCA30，DAB90，ADCD，ABBC，BDBD，ABDCBD（SSS），ABDCBD30，ADBBDC60，BD2AD，故正确；DOCDAC+ADB60+3090，ACBD，S四边形ABCDSACD+SACB，S四边形ABCD=12ACOD+12ACOB=12ACBD，故错误；延长 BC 到 E，使 CEAM，连接 DE，如图所示：DABDCB90，DABDCE90，又AMCE，ADCD，ADMCDE（SAS），ADMCDE，DMDE，ADC120，MDN60，ADM+CDNADCMDN60，CDE+CDNEDN60，EDNMDN，又DNDN，MDNEDN（SAS），MNEN，ENCE+CNAM+CN，AM+CNMN，故正确；故答案为：【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键 三、解答题（本题有 9 个小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17（4 分）解方程：33=2【考点】解分式方程【专题】分式方程及应用；运算能力【分析】解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论【解答】解：33=2，3x2（x3），3x2x6，3x2x6，x6，经检验，x6 是方程的根，原方程的解为 x6【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键 18（4 分）因式分解：ab24a【考点】提公因式法与公式法的综合运用【专题】整式；运算能力【分析】先提公因式，然后再利用平分差公式继续分解即可【解答】解：ab24a a（b24）a（b+2）（b2）【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式 19（6 分）如图，ABAC，CDBD，ABDC，AC 与 BD 交于点 O 求证：OBOC 【考点】全等三角形的判定与性质【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力【分析】由“HL”可证 RtABCRtDCB，可得DBCACB，可得 OBOC【解答】证明：在 RtABC 和 RtDCB 中，=，RtABCRtDCB（HL），DBCACB，OBOC【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键 20（6 分）如图，在 RtABC 中，BAC60，AD、BE 分别是BAC 与ABC 的平分线，并交于点 H（1）若 DC2，则 AD 4；（2）AHB 的度数 【考点】直角三角形的性质；含 30 度角的直角三角形【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力【分析】（1）根据角平分线的定义得到CAD30，根据含 30角的直角三角形的性质计算即可；（2）根据角平分线的定义分别求出DAB、EBA，根据三角形内角和定理计算，得到答案【解答】解：（1）AD 平分BAC，BAC60，CAD=12BAC30，在 RtACD 中，C90，CAD30，DC2，AD2CD224，故答案为：4；（2）在 RtABC 中，C90，BAC60，则ABC30，AD、BE 分别是BAC 与ABC 的平分线，DAB=12CAB30，EBA=12ABC15，AHB180DABEBA1803015135【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握含 30角的直角三角形的性质是解题的关键 21（8 分）已知：=2+2+1211（1）化简 A；（2）当 a38 时，求 A 的值【考点】分式的化简求值；有理数的乘方；立方根【专题】计算题；分式；运算能力【分析】（1）原式中被减式的分子分母进行因式分解后约分化简，然后再按照同分母分式减法运算法则进行计算；（2）利用立方根的概念求得 a 的值，然后代入求值即可【解答】解：原式=(+1)2(+1)(1)1=+111 =+11 =11，即化简 A 的结果为11；（2）a38，a=83=2，原式=121=1，即 A 的值为 1【点评】本题考查分式的化简求值，理解立方根的概念，掌握利用公式法进行因式分解是解题关键 22（10 分）我们定义：顶角等于 36的等腰三角形为黄金三角形如图，ABC 中，ABAC 且A36，则ABC 为黄金三角形（1）尺规作图：作B 的角平分线，交 AC 于点 D（保留作图痕迹，不写作法）（2）请判断BDC 是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由 【考点】黄金分割；等腰三角形的性质；作图基本作图【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；尺规作图；运算能力；推理能力【分析】（1）作ABC 的角平分线，交 AC 于点 D；（2）由角平分线的定义得ABDCBD36，再由等腰三角形的性质得ABCC72，然后证证BDCC，则 BDBC，即可得出结论【解答】解：（1）如图所示，BD 即为所求；（2）BDC 是黄金三角形，理由如下：BD 是ABC 的平分线，ABDCBD36，A36，ABAC，ABCC=12（18036）72，又BDCA+ABD72，BDCC，BDBC，BDC 是黄金三角形 【点评】本题考查了黄金三角形的判定、等腰三角形的判定与性质以及尺规作图等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键 23（10 分）某校推行“新时代好少年红心向党”主题教育读书工程建设活动，原计划投资 10000 元建设几间青少年党史“读书吧”，为了保证“读书吧”的建设的质量，实际每间“读书吧”的建设费用增加了 10%，实际总投资为 15400 元，并比原计划多建设了 2间党史“读书吧”（1）原计划每间党史“读书吧”的建设费用是多少元？（2）该校实际共建设了多少间青少年党史“读书吧”？【考点】分式方程的应用【专题】分式方程及应用；运算能力【分析】（1）设原计划每间党史“读书吧”的建设费用是 x 元，则实际每间党史“读书吧”的建设费用是（1+10%）x 元，根据题意列出方程求解即可；（2）根据总价单价=间数，可得结论【解答】解：（1）设原计划每间党史“读书吧”的建设费用是 x 元，则实际每间党史“读书吧”的建设费用为（1+10%）x 元，根据题意得：15400(1+10%)10000=2，解得：x2000，经检验：x2000 是原方程的解，答：原计划每间党史“读书吧”的建设费用是 2000 元；（2）15400(1+10%)2000=7，答：该校实际共建设了 7 间青少年党史“读书吧”【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大 24（12 分）如图 1，有 A 型、B 型、C 型三种不同形状的纸板，A 型是边长为 a 的正方形，B 型是边长为 b 的正方形，C 型是长为 b，宽为 a 的长方形现用 A 型纸板一张，B 型纸板一张，C 型纸板两张拼成如图 2 的大正方形 （1）观察图 2，请你用两种方法表示出图 2 的总面积 方法 1：（a+b）2；方法 2：a2+2ab+b2；请利用图 2 的面积表示方法，写出一个关于 a，b 的等式：（a+b）2a2+2ab+b2 （2）已知图 2 的总面积为 49，一张 A 型纸板和一张 B 型纸板的面积之和为 25，求 ab的值（3）用一张 A 型纸板和一张 B 型纸板，拼成图 3 所示的图形，若 a+b8，ab15，求图 3 中阴影部分的面积 【考点】完全平方公式的几何背景【专题】数形结合；整式；运算能力【分析】（1）由观察图 2 可得两种方法表示出图 2 的总面积为（a+b）2和 a2+2ab+b2，关于 a，b 的等式（a+b）2a2+2ab+b2；（2）由题意得，a2+2ab+b249，a2+b225，两个等式作差可求得此题结果；（3）由题意得22+a2(+)2=(+)232，从而可解得此题结果【解答】解：（1）用两种方法表示出图 2 的总面积为（a+b）2和 a2+2ab+b2，关于 a，b 的等式（a+b）2a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2a2+2ab+b2；（2）由题意得，（a+b）2a2+2ab+b249，a2+b225，ab=(+)2(2+2)2=49252=242=12；（3）由题意得图 3 中阴影部分的面积为：22+a2(+)2=2+2222=(+)232，当 a+b8，ab15 时，图 3 中阴影部分的面积为：823152=64452=192【点评】此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式，并灵活运用完全平方公式进行变式应用 25（12 分）如图，ACD 是等边ABC 的一个外角，点 E 是ACD 内部任意一点，作直线 CE（1）当 CE 平分ACD 时，证明：ABCE（2）已知点 A 关于直线 CE 的对称点为 F，连接 AF、BF、CF，其中 AF、BF 分别交直线 CE 于 P、Q 两点记ACE，当 060时，求BFC，（用含 的式子表示）（3）若（2）中的 满足 0120时，AFB 30；探究线段 QB、QC、QP 之间的数量关系，并证明 【考点】几何变换综合题【专题】几何综合题；推理能力【分析】（1）由 CE 平分ACD，得ACE60，从而证明BACACE，则 ABCE；（2）首先利用 SAS 证明ACPFCP，得 ACCF，从而有 BCCF，BFCCBF=12(180 )=12(180 )，代入即可得出答案；（3）根据角之间的转化可得AFBAFCBFCCAPBFC，代入化简即可；过 C 作 CNBF 于 N，得NCQAFB30，从而有 QC2QN，QF2QP，由BNFN，得 QBQF+2QN，从而解决问题【解答】（1）证明：ABC 是等边三角形，BAC60，ACBC，CE 平分ACD，ACD120，ACE60，BACACE，ABCE；（2）解：如图，点 A 关于直线 CE 的对称点为 F，CEAF，APPF，APCFPC90，又CPCP，ACPFCP（SAS），ACCF，ACEECF，CAPCFP，BCCF，BFCCBF=12(180 )=12(180 )，ABC 为等边三角形，ACB60，BFC=12(180 )=60；（3）AFBAFCBFC CAPBFC 180CPAACEBFC 90BFC 90（60）30，故答案为：30；QB2QP+QC，理由如下：过 C 作 CNBF 于 N，NCQAFB30，QC2QN，QF2QP，BCCF，BNFN，QBQF+2QN，QB2QP+QC【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，平行线判定与性质，全等三角形的判定与性质，含 30角的直角三角形的性质，利用角之间的转化是解题的关键