四川省达州市2021-2022学年高三上学期2022届第一次诊断性测试理科数学试题及答案3409.pdf

一诊数学（理）试卷第1页（共 4 页）达州市普通高中 2022 届第一次诊断性测试 数学试题（理科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合|3Ax x 0，|25Bxx，则AB A(2 3)，B(3 5，C(2 3，D(3 5)，2复数z满足2i(1 i)z，则|z A2 B2 2 C3 D3 3随着消费者环保意识的增强，新能源汽车得到了消费者的青睐.右图是某品牌的新能源汽车在今年的前8 个月的销量（单位：辆）情况，以下描述错误的是 A这 8 个月销量的极差是3258 B这 8 个月销量的中位数是3194 C 这 8 个月中 2 月份的销量最低 D这 8 个月中销量比前一个月增长最多的是4 月份 4设0 x，0y，则“14xy”是“1xy”的 A充要条件 B充分条件但不是必要条件 C既不是充分条件也不是必要条件 D必要条件但不是充分条件 5 双曲线22221(00)xyabab，的左顶点为A，右焦点(0)F c ，.若直线xc与该双曲线交于BC，两点，ABC为等腰直角三角形，则该双曲线离心率为 A2 B2 C3 D3 6住在同一个小区的两位同学在暑假里报名参加小区的志愿者服务，该小区共有三个志愿者服务点，若随机分配，则两位同学刚好分到同一个志愿者服务点的概率是 A12 B13 C 14 D16 一诊数学（理）试卷第2页（共 4 页）7若二项式31()nxx展开式中第 4 项为常数项，则n A6 B5 C4 D3 8天文学中，用视星等表示观测者用肉眼所看到的星体亮度，用绝对星等反映星体的真实亮度星体的视星等m，绝对星等M，距地球的距离d有关系式005lg(dMmdd为常数)若甲星体视星等为1.25，绝对星等为6.93，距地球距离1d；乙星体视星等为1.15，绝对星等为1.72，距地球距离2d，则12dd A1.7510 B1.7210 C1.6510 D1.6210 9ABC中，1cos4A，2AB，4BC，则BC边上的高为 A153 B154 C 152 D155 10已知某简谐振动的振动方程是()sin()(00)f xAxB A，该方程的部分图象如图 经测量，振幅为3 图中的最高点D与最低点EF，为等腰三角形的顶点，则振动的频率是 A0.125 Hz B0.25 Hz C0.4 Hz D0.5 Hz 11某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为 1 的球，则该四棱锥的表面积最小值是 A16 B8 C32 D24 12已知函数()ln(ln)ln()lnf xxxxkxx恒有零点，则实数k的取值范围是 A1(0 e，B11ee 1)，C11e1e e，D11e(0e，二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若实数x，y满足112.xyxyy，则2zxy的最大值是_ 14 两个非零向量a，b，定义|sin，ababa b.若(1 0 1)，a，(0 2 2)，b，则|ab_ 一诊数学（理）试卷第3页（共 4 页）15设直线()ykx kR 交椭圆221164xy于A，B两点，将x轴下方半平面沿着x轴翻折与x轴上方半平面成直二面角，则|AB的取值范围是_ 16已知定义在R上的函数()f x满足(1)2()1f xf x，当0 1)x，时，32()1612247f xxxx.设()f x在,1)()n nn N上最小值为na，若(1)27nan恒成立，则最小值为 _ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17(12 分)某跨国企业，在国内和国外分别建立生产基地生产同一种产品，现对库存的产品根据产地按分层抽样随机抽取 100 件产品作为样本进行检测，所抽取样本中有 55 件产自国内，其中 33 件为优品，其余为良品；所抽取样本中国外的产品有35 件为优品，其余为良品已知国内库存有产品 660 件(1)国外库存一共有多少件产品？(2)完成下面的2 2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为产品的优良与产地有关？18(12 分)如图，ABAC，ABAC，1BB 平面ABC，111B BC CA A，111AACC，12BCBB(1)证明：11ABBC；(2)求二面角11BABC的正弦值 国内 国外 合计 优品 良品 合计 附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd 20()P Kk 0.050 0.0100.001 0k 3.841 6.635 10.828 一诊数学（理）试卷第4页（共 4 页）19(12 分)数列na和 nb满足111ab，11nnnbaa，12nnbb(1)求数列na，nb的通项公式；(2)若2(1)log(1)nnncba，求数列 nc的前n项和nS 20(12 分)已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，A，B是该抛物线上不重合的两个动点，O为坐标原点，当A点的横坐标为4时，3cos5OFA.(1)求抛物线C的方程；(2)以AB为直径的圆经过点(1 2)P，点A，B都不与点P重合，求|AFBF的最小值 21(12 分)已知函数()sineln(1)xf xxax(1)当2a 时，求函数()f x在(1 0，上的最小值；(2)若()1f x 恒成立，求实数a的值 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分)直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cos12sin2xy，(为参数)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C的极坐标方程为1sincosba()abR，(1)求1C的普通方程和2C的直角坐标方程；(2)若2C平分曲线1C，求ab的取值范围 23选修 4-5：不等式选讲(10 分)已知函数()|2|2|1|f xxx的最小值为n(1)求n的值；(2)设abc，均为正实数，22abcn，求222abc的最小值 理科数学答案 第 1 页(共 4 页)达州市普通高中 2022 届第一次诊断性测试 理科数学参考答案 一、选择题：1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.A 9.C 10.B 11.C 12.D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 131 142 3 15(2 2 8，16332 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17解：(1)根据分层抽样，国外库存产品有660(10055)54055（件）(2)所求列联表为：2155 4100(33 1035 22)355 3.2.593 4688k 没有95%的把握认为产品的优良与产地有关 18解：(1)取D为线段BC中点，连接AD与1DB，1B B 平面ABC，1B B 平面11B BCC，平面11B BCC 平面ABC，平面11B BCC平面ABCBC 又ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，ADBC，AD 平面11B BCC 1BC 平面11B BCC，1ADBC 11B BC C，1B B 平面ABC，1C C 平面ABC，BC 平面ABC，1C CBC，1B BBC，1BCC与1B BD都为直角三角形，又1BCBB，1BDCC 1BCC1B BD，11B DBBC C，112CBCBC C，112CBCB DB，11BCB D AD 平面1ADB，1B D 平面1ADB，1ADDBD，1BC 平面1ADB，1AB 平面1ADB，11ABBC(2)11B BA A，1B B 平面ABC，1AAAB，1AAAC，又ABAC 以A为原点，AB，AC，1AA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则(2)B，0，0，1(2)B，0，2，1(0)A，0，1，(0 2)C，0 国内 国外 合计 优品 33 35 68 良品 22 10 32 合计 55 45 100 理科数学答案 第 2 页(共 4 页)y轴平面11BA B，取平面11BA B一个法向量(0 1 0)，m 设平面11CA B一个法向量为()xyz，n，1(0 2 1)AC，11(2 0 1)AB，由111n0n0ACAB，2020yzxz，可得(1 12)，n 11cos|211 12，m nmnmn 二面角11BA BC的正弦值为32 19解：(1)12nnbb，11b，数列 nb是首项是1，公比为2的等比数列，12nnb 11nnnaab，112211()()()nnnnnaaaaaaaa，1211211222212112nnnnnnnabbba，21nna 所以数列 nnab，的通项公式分别为21nna，12nnb(2)11122(1)log(1)(21)log(2)(21)2nnnnnnncbannn，0121(1 22 23 22)(123)nnSnn ，0121(1)(1 22 23 22)2nn nn 设01211 22 23 22nnTn ，则12321 22 23 22nnTn 作差得(1 21nnTn）(1)1 212nnn nSn（）20.解：(1)设0(4)Ay，cos0OFA，42p，|42pAF，|42pFC 由3cos5OFA 得，432542pp，解得2p 所以，所求抛物线的方程为24yx(2)设AB，所在直线:l xmyn，11(,)A x y，22(,)B xy 由方程组2,4.xmynyx 得2440ymyn 理科数学答案 第 3 页(共 4 页)2(4)160mn ，即20mn，且124yym，124y yn 2121212()()()242xxmynmynm yynmn，222121244yyx xn 因为以AB为直径的圆经过点(1,2)P，所以PAPB，0PA PB，1122(1,2)(1,2)0 xyxy，即1212(1)(1)(2)(2)0 xxyy，12121212()2()50 x xxxy yyy，22(42)4850nmnnm，22(3)(22)nm，25nm，或21nm，若21nm，直线:21l xmym过P点，不合题意，舍所以25nm 2212424410 xxmnmm 则|AF 22121|244124()112BFxxmmm，所以，当12m 时，|AFBF最小，且最小值为11 21.解：(1)(1)2a ，()sineln(1)xf xxax，()sine2ln(1)xf xxx，2()cose1xfxxx，(1 0 x ，时，cose2xx，221x，(1 0 x ，时，2()cose01xfxxx，()f x在(10，上是单调减函数，当0 x 时，()f x最小，又(0)1f()f x在(10，上的最小值是1 (2)()sineln(1)xf xxax，1x ，且()cose1xafxxx，令()cose1xah xxx，()h x2esin(1)xaxx 若2a ，由(1)知，则min()(0)1f xf，()1f x 在区间(1,)恒成立 若2a ，(1 0 x ，esin0 xx，0 +)x，esin0 xx，20(1)ax，则()0h x，()fx是增函数当11xa 时，1xa ，101ax，()(1)ecos101afxfx又(0)20fa，存在正数1x，使得1()0fx，当10 xx时，()0f x，()f x是减函数，1()(0)1f xf，不合题意，舍 若20a，(1 0 x ，esin0 xx，0 +)x，esin0 xx，20(1)ax，则()0h x，()fx是增函数当1102ax 时，21ax，()(0)1 101afxfx 又(0)20fa，存在正数2(1,0)x ，使得2()0fx，理科数学答案 第 4 页(共 4 页)当20 xx时，()0f x，()f x是增函数，2()(0)1f xf，不合题意，舍 若0a，(1 0 x ，cose0 xx，0 +)x，cose0 xx，01ax，则()cose01xafxxx，()f x是增函数(0)1f，当10 x 时，()(0)1f xf，不合题意，舍 综上所述，实数a的值为2 22.解：(1)因为1C：2cos12sin2.xy，所以1C普通方程为22(1)(2)4xy 因为2C：(cossin)10 ab，所以cossin10 ab，又因为cossinxy，所以2C的直角坐标方程为10axby (2)由(1)知1C为圆心是(1 2)，半径是2的圆，直线2C始终平分该圆 所以圆心(1 2)，在直线2C上，即21ab，所以1 2ab，所以2111(1 2)2()488abbbb，即ab的取值范围为1(8，23.解：(1)当2x时，()3f xx，()6 )f x，当21x 时，()4f xx，()3 6)f x ，当1x 时，()3f xx，()(3 )f x，()f x的最小值为3，即3n (2)3n，223abc 由柯西不等式得，2222222()(221)(22)abcabc，222219nabc，当且仅当22abc，即2133abc，时取等号 222abc最小值为1