2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国卷12797.pdf

梦想不会辜负每一个努力的人 1 绝密启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷）注意事项：1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设复数z满足i，则|z|【A】(A)1 (B)(C)(D)2(2)sin20cos10con160sin10【D】(A)(B)(C)(D)(3)设命题P：nN，则P为【C】(A)nN，(B)nN，(C)nN，(D)nN，(4)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为【A】(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 (5)已知M(x0，y0)是双曲线C：上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若0，则y0的取值范围是【A】1+z1z23323212122n2n2n2n2n2n2n2n2n2n2212xy12MFMF 梦想不会辜负每一个努力的人 2 (A)(，)(B)(，)(C)(，)(D)(，)(6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有【B】(A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛 (7)设D为ABC所在平面内一点，则【A】(A)(B)(C)(D)(8)函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为【D】(A)()，k (b)()，k(C)()，k (D)()，k 333336362 232 232 332 333BCCD1433ADABAC 1433ADABAC4133ADABAC4133ADABAC高考真题 梦想不会辜负每一个努力的人 3 (9)执行右面的程序框图，如果输入的t0.01，则输出的n【C】(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 （10）的展开式中，的系数为【C】(A)10 (B)20 (C)30 (D)60 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为 16 20，则r【B】(A)1(B)2(C)4(D)8 12.设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的 整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是【D】25()xxy52x y2r r 正视图俯视图 r 2r 梦想不会辜负每一个努力的人 4 A.，1)B.)C.)D.，1)第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题未选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分(13)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a 1 .(14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为.(15)若x，y满足约束条件，则的最大值为 3 .(16)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分 12 分)Sn为数列an的前n项和.已知an0，()求an的通项公式：()设，求数列的前n项和 解：（I）由，可知 可得 即 由于可得 又，解得 32e33,24e33,24e32e2ax22325()24xy10040 xxyxy yx2243nnnaaS2111243.nnnaaS221112()4nnnnaaaaa2211112()()()nnnnnnaaaaaa aa0na 12.nnaa2111243aaa111()3aa 舍去，高考真题 梦想不会辜负每一个努力的人 5 所以是首相为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为（II）由 设数列的前 n 项和为，则 (18)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值 解：（I）连结 BD，设 BDAC=G，连结 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中不妨设 GB=1.由ABC=120，可得 AG=GC=.由 BE平面 ABCD,AB=BC 可知 AE=EC.又 AEEC，所以 EG=，且 EGAC.在 RtEBG 中，可得 BE=故 DF=.在 RtFDG 中，可得 FG=.在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE=，DF=，na21.nan21nan111111().(21)(23)2 2123nnba annnn nbnT12nnTbbb1111111()()()()235572123.3(23)nnnn3322262222A B C F E D 梦想不会辜负每一个努力的人 6 可得 FE=.从而 又因为 所以平面 （I）如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB，GC 的方向为 x 轴，y 轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标系 G-xyz.由（I）可得所以 故 所以直线 AE 与直线 CF 所成直角的余弦值为.(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1，2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.3 22222,EGFGEFEGFG所以,.ACFGGEGAFC可得平面EGAEC 平面AECAFC 平面GB2(03,0),(102),(10),(03,0)2AEFC，2(13 2),(13,).2AECF，3cos,.3AE CFAE CFAE CF 33 梦想不会辜负每一个努力的人 7 (xi)2(wi)2(xi)(yi)(wi)(yi)46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中wi，()根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)()根据()的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；()以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z0.2yx.根据()的结果回答下列问题：（i）年宣传费x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2).(un vn)，其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：解：（I）由散点图可以判断，适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型。（II）令，先建立 y 关于 w 的线性回归方程。由于 。所以 y 关于 w 的线性回归方程为，因此 y 关于 x 的回归方程为。xyw8i=1x8i=1w8i=1xy8i=1wyixw188i=1iwx121()(),()niiiniiuu vvvuuuycdxwx121()()108.8681.6()niiiniiww yydww563686.8100.6cydw100.668yw100.668yx 梦想不会辜负每一个努力的人 8 （III）（i）由（II）知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值 年利润 z 的预报值。（ii）根据（II）的结果知，年利润 z 的预报值 所以当，即 x=46.24 时，取得最大值 故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大。(20)(本小题满分 12 分)在直角坐标系xoy中，曲线C：y与直线 l:ykxa(a0)交于M，N两点，()当k0 时，分别求C在点M和N处的切线方程；()y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.解：（I）有题设可得又 处 的 导 数 值 为，C在 点出 的 切 线 方 程 为，即.股所求切线方程为（I）存在符合题意的点，证明如下：设 P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线 PM，PN 的斜率分别为 100.668 49576.6y 576.60.24966.32z 0.2(100.668)13.620.12zxxxx 13.66.82x z24x(2,),(2,),Ma aNa aMa或（-2,a）.2=y224xxyxa，故在a(2,)a aa(2),0ya xaaxya即224xyxa 在0axya0a0axyaxya和12,k k2440.ykxaCxkxa代入 的方程得 梦想不会辜负每一个努力的人 9 故 从而 当 b=-a 时，有 (21)(本小题满分 12 分)已知函数f(x)()当a为何值时，x轴为曲线 的切线；()用 表示m，n中的最小值，设函数，讨论h(x)零点的个数 解：（I）设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 因此，当（II）当 12124,4.xxk x xa 2440.kxaCkxa代入 的方程得x12124,4.xxk x xa 故12112121212b22()()yybkkxxkx xab xxx x从而()k aba120,=kkPM则直线的倾角与直线PN的倾角互补，故OPMOPN，所以点P(0,-a)符合题意31,()ln4xaxg xx()yf xmin,m n()min(),()(0)h xf x g xx000300200(,0)()0,()01043013,24xf xf xxaxxaa 则即解得x3xy()4af x 时，轴为曲线的切线 梦想不会辜负每一个努力的人 10 是的零点 综上，当 x(1,)()10,(),()()0,h()(1,)g xnxf x g xg xx 时，从而h(x)=min故在无零点55x1(1)0,(1)min(1),(1)(1)0,x44afahfgg 当时，若则故5()a,(1),(1)(1)0,1(4h xfgfxh x 的零点；若则f(1)0,h(1)=min故不是x(0,1)g()10.fxnx 当时，所以只需考虑(x)在（0,1）的零点个数2iaaf（）若-3或0,则（x）=3x+a在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调15f(0),(1),faf44fa所以当a-3时，(x)在（0,1）有一个零点；当0 时(x)在（1,0）没有零点aa()30,f()0),133iiax若则在（，单调递减，在（）单调递增，故在（0,1）中321()f()3334aaaaxf x当时，取得最小值，最小值为3()0.0,()343faf()(0,1)343153()0,3,(0),(1)34444afaf xaxafaffaa 若即在（0,1）无零点；若()=0,即=-则在有唯一零点若即由于5()f()(0,1).4f xx时，在（0,1）有两个零点；当-3a-时，在有一个零点3535aa0.()当a1 时，求不等式f(x)1 的解集；()若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于 6，求a的取值范围 解：（I）当时，化为，当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得。所以的解集为。1C2C3C4R2C3CMNcosxsiny1Ccos2 2C22cos4 sin40422cos4 sin4023 24012 2221222MN 2C2C MN121a 1f x 12110 xx 1x 40 x11x 320 x213x1x20 x 12x 1f x 223xx 梦想不会辜负每一个努力的人 13 （II）由题设可得，所以函数的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为，的面积为。由题设得，故。所以 a 的取值范围为.1 2,1,31 2,1,12,xa xf xxaxaxa xa f x21,03aA21,0Ba,1C a aABC2213a22163a2a 2,