甘肃省武威第六中学2020届高三数学下学期第二次诊断考试试题理42515.pdf

-1-甘肃省武威第六中学 2020 届高三数学下学期第二次诊断考试试题 理 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1集合220Ax xx，10Bx x，则ABU=().A.1x x B.11xx C.2x x D.21xx 2纯虚数z满足izz421，则z的共轭复数为（）A.2i B.2i C.4i D.4i 3各项均为正数的等比数列 na中，12a，数列 na的前n项和为3,23 2nS S.则7a（）A8 2 B7 2 C8 D15 214 4在ABC中，2CMMBuuuu ruuu r，0ANCNuuu ruuu ru r，则（）A.2136MNABACuuuu ruuuruuu r B.2736MNABACuuuu ruuuruuu r C.1263MNACABuuuu ruuu ruuur D.7263MNACABuuuu ruuu ruuur 5把不超过实数x的最大整数记为 x，则函数()f xx称作取整函数，又叫高斯函数，在 1,4 上任取x，则 2xx的概率为（）A 14 B.13 C.12 D.23 6函数11lgxy的大致图象为()7设向量1,1,3,3ba，若 baba，则实数（）A3 B1 C1 D3 8已知实数a，b满足11122ab，则（）-2-A.11ab B.22loglogab C.ab D.sinsinab 9已知1cos63，则sin 26（）A.89 B.89 C.79 D.79 10已知双曲线22221xyab的左、右焦点分别为1F，2F，过右焦点2F作垂直于x轴的弦MN，交双曲线于M、N两点，若1MF N=2，则双曲线的离心率e=（）A2 B3 C52 D21 11世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中，512BCAC.根据这些信息，可得sin234（）A.12 54 B.358 C.514 D.458 12，2,21log2,2)(2xxxxxxfa的值域为R，则)22(f的取值范围是（）A21,B45,C,45 D21,45 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13将函数 0,0(),2fxAsin wxAw的图象向右平移12个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到 2sing xx的图象，则Aw 14已知数列 na，若数列nna13的前n项和51651nnT，则5a的值为 .15某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种-3-商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网店 这三天售出的商品最少有 种 16在三棱锥ABCD中，,4,ABAC DBDC ABDBABBD，则三棱锥ABCD外接球的体积的最小值为 .三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分 12 分）在公差不为 0 的等差数列 na中，841,aaa成等比数列，数列 na的前 10 项和为 45.（1）求数列 na的通项公式；（2）若11nnnaab，数列 nb的前n项和为nT，求nT.18（本小题满分 12 分）如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长均2，D为棱1BB（不包括端点）上一动点，E是AB的中点（）若1ADAC，求BD的长；（）当D在棱1BB（不包括端点）上运动时，求平面1ADC与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围 19（本小题满分 12 分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450 950之间根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”（1）求a的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在550,650)，750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消-4-费群”与“性别”有关？（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d，其中nabcd ）20（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为2 3（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点0,2P的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足2OM ONuuuu v uuu v（O为坐标原点）若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由 21（本小题满分 12 分）已知函数 21lnf xa xx，aR（1）当2a 时，求函数 yf x在点 1,1Pf处的切线方程；（2）当1a时，令函数 ln21g xf xxxm，若函数 g x在区间1,ee上有两个零点，求实数m的取值范围 选修 4-4：极坐标与参数方程 22（本小题满分 10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,22sinxy（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为2sin232 02.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知为锐角，直线:lR 与曲线C的交点为A（异于极点），l与曲线M的交点为B，若16 2OA OB，求l的直角坐标方程.选修 4-5：不等式选讲 -5-23已知函数 120fxxaxaa.（1）当1a 时，解不等式 1f x ；（2）若不等式 3f x 恒成立，求实数a的取值范围.高三理科数学第二次诊断考试参考答案 一、选择题（共12小题，每小题5分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A C B C D B C D C D 二、填空题（共4小题，每小题5分）13、46 14、16 15、16，29 16、8 23 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解：设等差数列 na的公差为d，由841,aaa成等比数列可得，8124aaa，即daada731121，daaddaa1212121796，0d，da91 -3分（1）由数列 na的前10项和为45，得454510110daS，即454590dd，故3,311ad，-5分 故数列 na的通项公式为38nan；-6分（2）9181998911nnnnaabnnn-8分 9181121111111101101919nnTn -10分 999191919nnnn -12-6-分 18.证明：（），由AC=BC，AE=BE，知CEAB，又平面ABC平面ABB1A1，所以CE平面ABB1A1 而AD 平面ABB1A1，ADCE，又ADA1C所以AD平面A1CE，所以ADA1E易知此时D为BB1的中点，故BD=1-5分 （）以 E 为原点，EB 为 x 轴，EC 为 y 轴，过 E 作垂直于平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 BD=t，则 A（-1，0，0），D（1，0，t），C1（0，3，2），ADuuu v=（2，0，t），1ACuuuu v=（1，3，2），设平面 ADC1的法向量nv=（x，y，z），则120320n ADxtzn ACxyzuuu vvuuuu vv，取 x=1，得4121,33nttv，平面 ABC 的法向量mv=（0，0，1），-9 分 设平面 ADC1与平面 ABC 的夹角为，cos=mnm nv vv v=222414133ttt=2327tt=2316t 由于 t（02）,故 cos（217，22 即平面 ADC1与平面 ABC 的夹角的余弦值的取值范围为（217，22-12 分 19.（1）由题意知，100(0.00150.00250.00150.001)1a，解得0.0035a，样本的平均数为：500 0.15600 0.35700 0.25800 0.15900 0.10670 x（元），-7-所以估计该校学生月消费金额的平均数为670元-4 分（2）由题意，从550,650)中抽取7人，从750,850)中抽取3人 随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3，337310kkC CP XkC（0,1,2,3k），所以，随机变量X的分布列为 随机变量X的数学期望35632119()012312012012012010E X -8 分（3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下22列联表：222()100(10 25 15 50)505.5565.024()()()()40 60 25 759n adbcKab cd ac bd，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关-12 分 20.【解析】（1）由题意得：22222 32 bacabc，2 分 解得23ab，椭圆C的标准方程是22143xy4 分（2）当直线l的斜率不存在时，0,3M，0,3N -8-3OM ON uuuu v uuu v，不符合题意5 分 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为2ykx，11,M x y，22,N xy 由221 432xyykx消y整理得：22341640kxkx，221616 340kk，解得12k 或12k，6 分 1221634kxxk，122434x xk，7 分 1 212OM ONx xy yuuuu v uuu v21212124kx xk xx 2222224 13216 124343434kkkkkk，9 分 2OM ONuuuu v uuu v，2216 12234kk，10 分 解得22k ，满足0，11 分 所以存在符合题意的直线，其方程为222yx 12 分 21.【答案】（1）切线方程为1yx；（2）实数m的取值范围是211,2e【解析】（1）当2a 时，221lnf xxx224ln2xxx 当1x时，10f，所以点 1,1Pf为1,0P，1 分 又 144fxxx，因此 11kf 2 分 因此所求切线方程为0111yxyx 4 分（2）当1a 时，22lng xxxm，则 21122xxgxxxx6 分 -9-因为1,eex，所以当 0g x时，1x，7 分 且当11ex时，0gx；当1ex时，0gx；故 g x在1x 处取得极大值也即最大值 11gm8 分 又2112eegm，2e2egm，2211e2e2eeggmm24e210e，则 1eegg，所以 g x在区间1,ee上的最小值为 eg，10 分 故 g x在区间1,ee上有两个零点的条件是 2110 1120eegmgm 2112em，所以实数m的取值范围是211,2e12 分 22.【详解】解：（1）由题意知曲线C的直角坐标方程为2224xy，即224xyy，所以24sin，即4sin，故曲线C的极坐标方程为4sin.-5 分（2）因为曲线M的极坐标方程为2sin232 02，所以32sin2，将代入，得4 2sin2OB 因为曲线C的极坐标方程为4sin，所以4sinOA 所以2sin16 216 tan16 2sin2OA OB，-10-则tan2，故l的直角坐标方程为2yx-10 分 23.【详解】（1）Q 120fxxaxaa 当1a，1fx 可得|2|1|1xx 若2x则2(1)1xx ，即31 ，显然成立 若21x，2(1)1,xx 可得22x ，故1x 若1x，2(1)1,xx 可得31，显然不成立.综上所述，(,1x （2）Q 3f x 111|2|22xaxxaxaaaa 1112|2|2axaxaaaa 要保证不等式 3f x 恒成立，只需保证123aa，解得112a 综上所述，1,12a