2021-2022学年广东省广州市越秀区高一(下)期末数学试卷(含解析)14050.pdf

2021-2022 学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（5 分）不等式232 0 xx的解集是()A2|13xx B2|13xx C2|13x xx或 D2|13x xx或 2（5 分）设0.70.80.712,(),log22abc，则a，b，c的大小关系为()Aabc Bbac Cbca Dcba 3（5 分）复数z满足(1)1zii，则z的虚部等于()Ai B1 C0 D1 4（5 分），是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是()A若mn，m，n，则m B若/，m，n，则/mn C若，n，则n D若m，n，则mn 5（5 分）已知ABC中，点M是线段BC的中点，14ANAM，则(BN )A7188ABAC B21312ABAC C7144ABAC D51612ABAC 6（5 分）已知向量,a b满足|1,(1,3)ab，且1a b，则a与ab夹角的余弦值为()A77 B2 77 C55 D2 55 7（5 分）如图：已知正四面体ABCD中E在棱CD上，2ECDE，G为ABC的重心，则异面直线EG与BD所成角为()A30 B45 C60 D90 8（5 分）平面四边形PABC中，2,2,2 3,3APCABACACAB，则AP AB最小值()A2 B1 C2 3 D3 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9（5 分）下列结论正确的是()A某班有男生 30 人，女生 20 人，现用分层抽样的方法从其中抽 10 名同学进行体有健康测试，则应抽取男生 6 人 B某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了 10 次，正面朝上的情形出现了 6 次，则正面朝上的概率为 0.6 C一组数 6，5，4，3，3，3，2，2，2，1 的80%分位数为 2 D某学员射击 10 次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则命中环数的标准差为 2 10（5 分）下列结论正确的是()A已知向量(3,4)a，则与a垂直的单位向量为4 3(,)5 5或43(,)55 B已知单位向量,a b满足|1ab，则a在b方向上的投影向量为12b C 已知i为虚数单位，若1i是实系数一元二次方程20 xpxq的一个根，则4p q D已知aR，i为虚数单位，若复数21(1)zaai 为纯虚数，则1a 11（5 分）已知函数()sin 23cos2f xxx，则下列结论中正确的是()A函数()f x的图象关于点(,0)6对称 B若,3 2x，则函数()f x的最大值为3 C若()1f，则21cos()124 D若12()()4f xf x，12xx，则12|xx的最小值为 12（5 分）如图，四棱锥SABCD的底面为菱形，3ABSD，60DAB，SD 底面ABCD，P是SC上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是()A若/SA平面PBD，则/SAPO BB到平面SAC的距离为3 55 C当P为SC中点时，过P、A、B的截面为直角梯形 D当P为SC中点时，DPPB有最小值 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13（5 分）已知(4,4),(3,2),(1,)ABBCADm ，若A、C、D三点共线，则m 14（5 分）某同学从篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个球类项目中任选两项报名参加比赛，则篮球被选中的概率为 15（5 分）已知S为圆锥的顶点，O为底面圆心，2 3SO 若该圆锥的侧面展开图为半圆，则圆锥的体积为 16（5 分）某校高一级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体1111ABCDA BC D挖去正四棱台ABCDEFGH后所得的几何体，其中22ABEFBF，6ABBCcm，14AAcm，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属2mg，不考虑损耗，所需金属膜的质量为 mg 四、解答题：本题共6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10分）在 sin3 cosbAaB，()sin()(sinsin)acCabAB，23ABCSBA BC这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题 在ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c且_（1）求角B的大小；（2）若3b，ABC的面积为32，求ABC周长 18（12 分）为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取 100 名，将其成绩整理后分为 6 组，画出频率分布直方图如图所示，但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的 2 倍 （1）求第一组、第二组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图；（2）现划定成绩大于或等于上四分位数即第 75 百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留 1 位小数）；（3）现知道直方图中成绩在130，140)内的平均数为 136，方差为 8，在140，150内的平均数为 144，方差为 4，求成绩在130，150内的平均数和方差 19（12 分）如图，在正三棱柱111ABCA B C中，已知13ABAA，且D为11AC的中点（1）求证：1/A B平面1BCD；（2）求1A B与平面11BCC B所成角的余弦值 20（12 分）2021 年 12 月 8 日召开的中央经济工作会议，总结了 2021 年经济工作，分析了当前经济形势，并对 2022 年经济工作做出部署，其中强调加大对科技创新等领域的支持 现国家支持甲、乙、丙三家公司同时对某一科技产品进行攻坚研发，已知每一轮研发中满足：甲公司研发成功的概率为23，甲、乙两公可都研发成功的概率为25，乙、丙两家公司都研发不成功的概率为15，各公司是否研发成功互不影响（1）求乙、丙两家公司各自研发成功的概率；（2）若至少有一家公司研发成功，则称作实现了“取得重大突破”的目标，如果没有实现目标，则三家公司都进行第二轮研发，求不超过两轮研发就能实现“取得重大突破”目标的概率 21（12 分）如图，在平面四边形ABCD中，2,1,23BCDABABC（1）若2,7BCCD，求ACD的面积；（2）若,26ADCAD，求cosACD 22（12 分）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，122ABBCAD，90BADABC，O是AD的中点（1）求证：平面PAC 平面POB；（2）点M在棱PC上，满足(01)PMPC，且三棱锥PABM的体积为33，求的值及二面角MABD的正切值 2021-2022 学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（5 分）不等式232 0 xx的解集是()A2|13xx B2|13xx C2|13x xx或 D2|13x xx或【考点】一元二次不等式及其应用【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】根据题意，由一元二次不等式的解法分析的答案【解答】解：根据题意，232 0 xx即(32)(1)0 xx，解可得：1x或23x，即不等式的解集为2|3x x或1x，故选：C【点评】本题考查一元二次不等式的解法，涉及二次函数的性质，属于基础题 2（5 分）设0.70.80.712,(),log22abc，则a，b，c的大小关系为()Aabc Bbac Cbca Dcba【考点】对数值大小的比较【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】利用指数函数，对数函数的单调性，即可得出答案【解答】解：0.80.81()22b，因为函数2xy 在(,)上单调递增，且0.80.7，所以0.80.70212，即ba，因为函数0.7logyx在(0,)上单调递减，所以0.7log20c，所以cba，故选：D【点评】本题考查指数函数，对数函数的单调性，属于中档题 3（5 分）复数z满足(1)1zii，则z的虚部等于()Ai B1 C0 D1【考点】复数的运算【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算【分析】推导出21(1)1(1)(1)iiziiii，由此能求出z的虚部【解答】解：复数z满足(1)1zii，2221(1)121(1)(1)1iiiiziiiii，z的虚部为1 故选：B【点评】本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 4（5 分），是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是()A若mn，m，n，则m B若/，m，n，则/mn C若，n，则n D若m，n，则mn【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算【分析】由题意结合线面关系逐一考查所给的命题是否正确即可【解答】解：逐一考查所给的命题：A若mn，m，n，则m或m与斜交或m与平行，该命题错误；B若/，m，n，则/mn或m与n异面，该命题错误；C若，n，则n或n与斜交或n与平行，该命题错误；D若m，n，由线面垂直的定义可知mn，该命题正确；故选：D【点评】本题主要考查空间中的线面关系，空间中的面面关系等知识，属于基础题 5（5 分）已知ABC中，点M是线段BC的中点，14ANAM，则(BN )A7188ABAC B21312ABAC C7144ABAC D51612ABAC【考点】平面向量的基本定理【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算【分析】首先利用中线向量求出1122AMABAC，再利用共线向量的线性运算求出结果【解答】解：由于ABC中，点M是线段BC的中点，所以1122AMABAC，由于14ANAM，所以1188ANABAC，整理得1188BNBAABAC，故7188BNABAC 故选：A【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题 6（5 分）已知向量,a b满足|1,(1,3)ab，且1a b，则a与ab夹角的余弦值为()A77 B2 77 C55 D2 55【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的性质及其运算【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算【分析】根据题意可得|b，|ab，则cosa，2()|aabaababaabaab，即可得出答案【解答】解：因为(1,3)b，所以22|1(3)2b，所以22222|()2122 17abababab，cosa，22()112 77|17aabaababaabaab，故选：B【点评】本题考查向量的数量积，解题中需要理清思路，属于中档题 7（5 分）如图：已知正四面体ABCD中E在棱CD上，2ECDE，G为ABC的重心，则异面直线EG与BD所成角为()A30 B45 C60 D90【考点】棱锥的结构特征；异面直线及其所成的角【专题】计算题；对应思想；分析法；空间角；逻辑推理【分析】由三角形重心特点可知，取AB中点F，则2CGGF，则可以找到直线EG的平行线，按照异面直线所成角定义求解即可【解答】解：取AB中点F，连接FC，FD，如图所示：G为ABC的重心，F为AB中点，2CGGF，又2ECDE，在CDF中，/EGDF，则异面直线EG与BD所成角为DBF或其补角，由题可知，ABD为正三角形，30DBF，异面直线EG与BD所成角为30 故选：A 【点评】本题考查异面直线所成的角，考查学生的推理能力，属于中档题 8（5 分）平面四边形PABC中，2,2,2 3,3APCABACACAB，则AP AB最小值()A2 B1 C2 3 D3【考点】平面向量数量积的性质及其运算【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算【分析】建立平面直角坐标系，结合图形可得点P在以BC为直径的圆劣弧AC上，设(,)P x y，其中 1x，0，(AP ABx，)(2y，0)2x，即可得出答案【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：则(0C，2 3)，(2,0)B，平面四边形ABCD中，2AB，2 3AC，ACAB，23APC，则点P在以BC为直径的圆劣弧AC上，因为BC的中点为(1,3)O，222(2 3)4BC，所以圆O的标准方程为22(1)(3)4xy，设(,)P x y，其中 1x，0，则(,)APx y，(2,0)AB，所以(AP ABx，)(2y，0)2 2x，0，所以AP AB的最小值为2，故选：A 【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算，解题关键是建立坐标系，属于中档题 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9（5 分）下列结论正确的是()A某班有男生 30 人，女生 20 人，现用分层抽样的方法从其中抽 10 名同学进行体有健康测试，则应抽取男生 6 人 B某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了 10 次，正面朝上的情形出现了 6 次，则正面朝上的概率为 0.6 C一组数 6，5，4，3，3，3，2，2，2，1 的80%分位数为 2 D某学员射击 10 次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则命中环数的标准差为 2【考点】极差、方差与标准差；命题的真假判断与应用【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；简易逻辑；数学抽象【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，由分层抽样方法可得：应抽取男生3010650人，A正确；对于B，概率是定值，抛掷一枚质地均匀的硬币，概率为 0.5，B错误；对于C，一组数 6，5，4，3，3，3，2，2，2，1 的80%分位数454.52，C错误；对于D，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4 其平均数1(78795491074)710 x，方差24S，则其标准差2S，D正确；故选：AD【点评】本题考查命题真假的判断，涉及分层抽样、概率、标准差的计算，属于基础题 10（5 分）下列结论正确的是()A已知向量(3,4)a，则与a垂直的单位向量为4 3(,)5 5或43(,)55 B已知单位向量,a b满足|1ab，则a在b方向上的投影向量为12b C 已知i为虚数单位，若1i是实系数一元二次方程20 xpxq的一个根，则4p q D已知aR，i为虚数单位，若复数21(1)zaai 为纯虚数，则1a 【考点】命题的真假判断与应用；虚数单位i、复数；平面向量数量积的性质及其运算；向量的投影【专题】对应思想；综合法；简易逻辑；数学运算【分析】结合向量垂直、投影向量、一元二次方程的根、纯虚数等知识对选项进行分析，从而确定正确选项【解答】解：A选项，因为(3，44)(5，3)05，(3，44)(5，3)05，所以A选项错误；B选项，|1ab，两边平方得2221aa bb，所以12a b，所以a在b方向上的投影向量为12|a bbbbb，B选项正确；C选项，1i是实系数一元二次方程20 xpxq的一个根，则1i是实系数一元二次方程20 xpxq的另一个根，所以112(1)(1)2iipiiq ，则4pq ，C选项正确；D选项，复数21(1)zaai 为纯虚数，所以21010aa ，解得1a，D选项错误 故选：BC【点评】本题考查了向量的垂直、投影向量、韦达定理、纯虚数等相关知识，属于基础题 11（5 分）已知函数()sin 23cos2f xxx，则下列结论中正确的是()A函数()f x的图象关于点(,0)6对称 B若,3 2x，则函数()f x的最大值为3 C若()1f，则21cos()124 D若12()()4f xf x，12xx，则12|xx的最小值为【考点】两角和与差的三角函数；正弦函数的奇偶性和对称性；三角函数的最值【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算【分析】将()f x化简，对于A，结合三角函数的对称性，即可求解，对于B，结合x的取值范围，以及正弦函数的图象，即可求解，对于C，结合二倍角公式，即可求解，对于D，结合正弦函数的周期性，即可求解【解答】解：()sin23cos22sin(2)3f xxxx，()2sin(2)0663f，函数()f x的图象关于点(,0)6对称，故A正确，,3 2x，2(2),333x，3sin(2),132x，()3f x，2，故B错误，()2sin(2)2sin(2)1362f，则1cos(2)62，2cos(2)2()1612cos，21()124cos，故C正确，22T，若12()()4f xf x，12xx，则1x，2x同为最大值点或同为最小值点，12|xx的最小值为()f x的最小正周期22T，故D错误 故选：AC【点评】本题主要考查正弦函数的图象，考查转化能力，属于中档题 12（5 分）如图，四棱锥SABCD的底面为菱形，3ABSD，60DAB，SD 底面ABCD，P是SC上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是()A若/SA平面PBD，则/SAPO BB到平面SAC的距离为3 55 C当P为SC中点时，过P、A、B的截面为直角梯形 D当P为SC中点时，DPPB有最小值【考点】棱锥的结构特征；直线与平面平行；点、线、面间的距离计算【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算【分析】对于A：根据线面平行的性质定理证明判断；对于B，利用等体积法求D到平面SAC的距离，对于C，根据三角形中位线先证/PMAB，则过P，A，B的截面ABPM，再利用长度结合勾股定理可证PMPB；对于D，借助于侧面展开图分析判断即可【解答】解：/SA平面PBD，SA 平面SAC，平面PBD平面SACPO，/SAPO，故A正确；设B到平面SAC的距离为h，则有3 2SASC，3 3AC，B SACSABCVV，113 51133 333 3322322h ，解得3 55h 故B正确；当P为SC中点时，如图，取SD的中点M，连接PM，AM，MB，则/PMCD，12PMCD，/ABCD，则/PMAB，过P、A、B的截面为ABPM，则3PB，3 52BM，32PM，222BMPMPB，则PMPB，即ABPM为直角梯形，故C正确；借助于侧面展开图，如图，连接DB交SC于P，此时DPPB为最小值，若P为SC中点时，SDCD，则DPSC，BCSB，这与题意相矛盾，故D错误 故选：ABC 【点评】本题考查空间几何体的性质，求点面的距离，判断线线线平行，属中档题 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13（5 分）已知(4,4),(3,2),(1,)ABBCADm ，若A、C、D三点共线，则m 2 【考点】平行向量（共线）；平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算【分析】根据题意，求出AC的坐标，由三点共线可得/ACAD，进而可得关于m的方程，解可得答案【解答】解：根据题意，(4,4),(3,2),(1,)ABBCADm ，则(1,2)ACABBC，若A、C、D三点共线，则/ACAD，则有1(1)(2)2m ，即2m；故答案为：2【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及三点共线问题，属于基础题 14（5 分）某同学从篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个球类项目中任选两项报名参加比赛，则篮球被选中的概率为 12 【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算【分析】基本事件总数246nC，篮球被选中包含的基本事件个数11133mC C，由此能求出篮球被选中的概率【解答】解：某同学从篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个球类项目中任选两项报名参加比赛，基本事件总数246nC，篮球被选中包含的基本事件个数11133mC C，则篮球被选中的概率为3162mPn 故答案为：12【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 15（5 分）已知S为圆锥的顶点，O为底面圆心，2 3SO 若该圆锥的侧面展开图为半圆，则圆锥的体积为 8 33 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】方程思想；定义法；空间位置关系与距离；数学运算【分析】设圆锥的镀面半径为r，母线为l，根据底面团长与侧面展开图的弧长相等得到2lr，再由勾股定理求出r，由此能求出圆锥的体积【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，依题意2 rl，即2lr，又222 3SOlr，2r，圆锥的体积为22118 322 3333Vr h 故答案为：8 33【点评】本题考查圆锥的结构特征、圆锥的侧面展开图、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 16（5 分）某校高一级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体1111ABCDA BC D挖去正四棱台ABCDEFGH后所得的几何体，其中22ABEFBF，6ABBCcm，14AAcm，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属2mg，不考虑损耗，所需金属膜的质量为 28254 3 mg 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】数形结合；综合法；立体几何；数学运算【分析】由已知求得模型的表面积，乘以每平方厘米需要金属的质量得答案【解答】解：22ABEFBF，6ABBCcm，14AAcm，几何体的四个侧面与底面积的和为246466132cm，四边形EFGH的面积为23 39cm，梯形ABFE的高为2213 3()42BFABEF，则正四棱台的侧面积为213 34(36)27 322cm 模型的表面积2132927 3(14127 3)Scm 所需金属膜的质量为2(14127 3)28254 3()mg 故答案为：28254 3【点评】本题考查多面体表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10分）在 sin3 cosbAaB，()sin()(sinsin)acCabAB，23ABCSBA BC这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题 在ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c且_（1）求角B的大小；（2）若3b，ABC的面积为32，求ABC周长【考点】解三角形；正弦定理【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算【分析】（1）若选：sin3 cosbAaB，由正弦定理可得sinsin3sincosBAAB，求解可得B，若选，由已知可得可得()()()ac cab ab，可求cos B的值，可求B；若选：23ABCSBA BC，结合三角形面积公式及向量数量积定义可求tan B，进而可求B；（2）由ABC的面积为32，可得2ac，再利作余弦定理可得ac，可求周长【解答】解：（1）若选：sin3 cosbAaB，由正弦定理可得sinsin3sincosBAAB，因为sin0A，所以sin3cosBB，即tan3B，又0B，3B；若选：在ABC中()sin()(sinsin)acCabAB，可得()sin()(sinsin)acCabAB，由正弦定理得()()()ac cab ab，整理得222122cabac，1cos2B，又0B，3B；若选：23ABCSBA BC，所以12sin3cos2acBacB，所以sin3cosBB，即tan3B，又0B，3B；（2）因为ABC的面积为32，所以13sin232ac，解得2ac，在ABC中，因为3b，由余弦定理有22222cos()33bacacBacac，所以3ac，当且仅当ac时取等号，所以ABC周长的33【点评】本题考查正余弦定理，和差角公式以及三角恒等变换，属中档题 18（12 分）为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取 100 名，将其成绩整理后分为 6 组，画出频率分布直方图如图所示，但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的 2 倍 （1）求第一组、第二组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图；（2）现划定成绩大于或等于上四分位数即第 75 百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留 1 位小数）；（3）现知道直方图中成绩在130，140)内的平均数为 136，方差为 8，在140，150内的平均数为 144，方差为 4，求成绩在130，150内的平均数和方差【考点】频率分布直方图【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算【分析】（1）根据题意，设第一组的频率为x，则第二组的频率为2x，分析可得关于x的方程，解可得答案；（2）设数据的第75百分位数为x，分析第75百分位数所在的组，可得0.03(120)0.29x，解可得x的值，分析可得答案；（3）根据题意，由平均数、方差的计算公式计算可得答案【解答】解：（1）根据题意，设第一组的频率为x，则第二组的频率为2x，则有20.034100.03100.018100.006101xx，解可得0.04x，则第一组的频率为 0.04，则第二组的频率为 0.08，（2）根据题意，0.040.080.340.30.760.75，设数据的第 75 百分位数为x，则有0.03(120)0.29x，解可得：129.7x，故全市“良好”以上等级的成绩范围为129.7，150；（3）根据题意，成绩在130，140)内人数为1000.1818，在140，150内人数为1000.066，又由成绩在130，140)内的平均数为 136，方差为 8，在140，150内的平均数为 144，方差为 4，则成绩在130，150内的平均数186136144138186186x，其方差2221868(136138)4(144138)19186186S，故成绩在130，150内的平均数为 138，方差为 19【点评】本题考查频率分布直方图的性质以及应用，涉及平均数、方差的计算，属于基础题 19（12 分）如图，在正三棱柱111ABCA B C中，已知13ABAA，且D为11AC的中点（1）求证：1/A B平面1BCD；（2）求1A B与平面11BCC B所成角的余弦值 【考点】直线与平面平行；直线与平面所成的角【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；直观想象；数学运算【分析】（1）连接1BC，设11BCB CE，连接DE，即可得到1/DEAB，从而得证；（2）取11BC的中点F，连接1A F、BF，即可证明1A F 平面11BCC B，则1ABF为直线1A B与平面11BCC B所成角，再由勾股定理求出BF、1A B，再由锐角三角函数计算可得1A B与平面11BCC B所成角的余弦值【解答】（1）证明：连接1BC，设11BCB CE，连接DE，在正三棱柱111ABCA B C中，四边形11BCC B为矩形，则E为1BC的中点，又D为11AC的中点，所以1/DEA B，1A B 平面1BCD，DE 平面1BCD，所以1/A B平面1BCD （2）解：取11BC的中点F，连接1A F、BF，在正三棱柱111ABCA B C中，1BB 平面111A B C，1A F 平面111A B C，所以11BBA F，又111A BC为等边三角形，所以111C BA F，1111C BBBB，1BB 平面11BCC B，11C B 平面11BCC B，所以1A F 平面11BCC B，所以1ABF为直线1A B与平面11BCC B所成角，因为13ABAA，所以22221133 53()22BFBBFB，2211113 2ABBBAB，所以113 5102cos43 2BFABFAB，所以直线1A B与平面11BCC B所成角的余弦值为104【点评】本题主要考查线面平行的证明，线面角的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题 20（12 分）2021 年 12 月 8 日召开的中央经济工作会议，总结了 2021 年经济工作，分析了当前经济形势，并对 2022 年经济工作做出部署，其中强调加大对科技创新等领域的支持 现国家支持甲、乙、丙三家公司同时对某一科技产品进行攻坚研发，已知每一轮研发中满足：甲公司研发成功的概率为23，甲、乙两公可都研发成功的概率为25，乙、丙两家公司都研发不成功的概率为15，各公司是否研发成功互不影响（1）求乙、丙两家公司各自研发成功的概率；（2）若至少有一家公司研发成功，则称作实现了“取得重大突破”的目标，如果没有实现目标，则三家公司都进行第二轮研发，求不超过两轮研发就能实现“取得重大突破”目标的概率【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；数学运算【分析】（1）利用相互独立事件概率的乘法公式计算即可；（2）利用对立事件的定义计算一轮研发“取得重大突破”的事件概率，再结合互斥事件与相互独立事件的概率公式求解即可【解答】解：（1）设甲、乙、丙公司研发成功分别为事件A，B，C，则P（A）23，2()5P AB，1()5P BC，由于各公司是否研发成功互不影响，事件A，B，C相互独立，()P ABP（A）P（B）25，()()()1P BCP B P CP（B）1P（C）15，P（B）35，P（C）12，故乙、丙两家公司各自研发成功的概率分别为35，12（2）设一轮研发“取得重大突破”的目标为事件M，2314()1()13525P MP ABC ，设实现“取得重大突破”目标为事件N，41424()()()()55525P NP MP M P M，所以实现“取得重大突破”目标的概率为：2425【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用 21（12 分）如图，在平面四边形ABCD中，2,1,23BCDABABC（1）若2,7BCCD，求ACD的面积；（2）若,26ADCAD，求cosACD 【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；逻辑推理；数学运算【分析】（1）根据所给条件，可得AC的值，由余弦定理，可得cosACB，进而可得sinACD的值，代入面积公式，即可得答案（2）在ADC中，根据正弦定理，可得21sin2ACACD，在ABC中，可得1cos32ACACD，两式联立，结合同角三角函数关系，即可得答案【解答】解：（1）因为21,23ABABCBC，由余弦定理得22222cos73ACABBCAB AC，即7AC，由余弦定理得2225 7cos214ACBCABACBACBC，所以5 7sinsin()cos214ACDACBACB，所以ACD的面积15 7sin24SACCDACD（2）在ADC中，由正弦定理得sinsinADACACDADC，即21sin2ACACD，在ABC中，由正弦定理得sinsinABACACBABC，即11cos3sin()22ACACDACD，联立可得sin2 3tancos3ACDACDACD，因为(0,)2ACD，所以21cos7ACD【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式等知识，属于中等题 22（12 分）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，122ABBCAD，90BADABC，O是AD的中点（1）求证：平面PAC 平面POB；（2）点M在棱PC上，满足(01)PMPC，且三棱锥PABM的体积为33，求的值及二面角MABD的正切值 【考点】平面与平面垂直；二面角的平面角及求法【专题】转化思想；综合法；空间角；数学运算【分析】（1）连接OC，则可得四边形AOCB为正方形，得ACOB，由已知条件结合面面垂直的性质可得PO平面ABCD，则POAC，则由线面垂直的判定可得AC平面POB，再由面面垂直的判定可得结论；（2）设点C、M到平面PAB的距离分别为1d、2d，由CPABPABCVV可求出1d，由三棱锥PABM的体积为33，可求出2d，再由12dPMPCd可求出的值，取OC靠近点O的四等份点E，连接ME，过点E作EFAB于，连接MF，可得MFE为二面角MABD的平面角，然后在Rt MEF中可求得结果【解答】解：（1）证明：连接OC，因为底面ABCD中，122ABBCAD，90BADABC，所以四边形四边形AOCB为正方形，得ACOB，因为侧面PAD为等边三角形，O是AD的中点，所以POAD，因为平面PAD垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO平面ABCD，因为AC 平面ABCD，所以POAC，因为POOBO，所以AC 平面POB，因为AC 平面PAC，所以平面PAC 平面POB；（2）因为底面ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，122ABBCAD，90BADABC，O是AD的中点 所以2AOODABBCOC，4PAADPD，2 3PO，2 2OBAC，因为PO平面ABCD，OB，OC 平面ABCD，所以POOB，POOC，以22220PBPOOB，因为2220ABPA，所以222PBABPA，所以2PAB，设点C、M到平面PAB的距离分别为1d、2d，由CPABPABCVV，即11133ABCPABSPOSd，11111222 3243232d ，解得13d 因为三棱锥PABM的体积为33，所以21333PABSd，即211324323d，可得234d，又1214dPMPCd，所以14PMPC，因为(01)PMPC，所以14，取OC靠近点O的四等份点E，连接ME，则/MEPO，因为PO 平面ABCD，所以ME 平面ABCD，因为AB 平面ABCD，所以MEAB，过点E作EFAB于F，连接MF，因为MEEFE，所以AB 平MEF，因为MF 平面MEF，所以ABMF，则MFE为二面角MABD的平面角，因为34MEMCPOCP，所以33342MEPO，因为90BADAFEAOC ，所以四边形AOEF为矩形，所以2AOEF，所以在Rt MEF中，3 3tan4MEMFEEF，所以二面角MABD的正切值为3 34 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题