焦点三角形面积公式14784.pdf
椭圆焦点三角形面积公式的应用 定理 在椭圆12222byax（ab0）中，焦点分别为1F、2F，点 P 是椭圆上任意一点，21PFF，则2tan221bSPFF.证明：记2211|,|rPFrPF，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121arrarr 在21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr 配方得：.4cos22)(22121221crrrrrr 即.4)cos1(242212crra.cos12cos1)(222221bcarr 由任意三角形的面积公式得：2tan2cos22cos2sin2cos1sinsin2122222121bbbrrSPFF.2tan221bSPFF 同理可证，在椭圆12222bxay（ab0）中，公式仍然成立.典题妙解 例 1 若 P 是椭圆16410022yx上的一点，1F、2F是其焦点，且6021PFF，求 21PFF的面积.解法一：在椭圆16410022yx中，,6,8,10cba而.60记.|,|2211rPFrPF 点 P 在椭圆上，由椭圆的第一定义得：.20221arr P y F1 O F2 x P 在21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr 配方，得：.1443)(21221rrrr.144340021rr从而.325621rr.336423325621sin212121rrSPFF 解法二：在椭圆16410022yx中，642b，而.60.336430tan642tan221bSPFF 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已知 P 是椭圆192522yx上的点，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，若21|2121PFPFPFPF，则21PFF的面积为（）A.33 B.32 C.3 D.33 解：设21PFF，则21|cos2121PFPFPFPF，.60.3330tan92tan221bSPFF 故选答案 A.例 3（04 湖北）已知椭圆191622yx的左、右焦点分别是1F、2F，点 P 在椭圆上.若 P、1F、2F是一个直角三角形的三个顶点，则点 P 到x轴的距离为（）A.59 B.779 C.49 D.49或779 解：若1F或2F是直角顶点，则点 P 到x轴的距离为半通径的长492ab；若 P 是直角顶点，设点 P 到x轴的距离为 h，则945tan92tan221bSPFF，又,7)2(2121hhcSPFF 97h，.779h故答案选 D.金指点睛 1.椭圆1244922xy上一点 P 与椭圆两个焦点1F、2F的连线互相垂直，则21PFF的面积为（）A.20 B.22 C.28 D.24 2.椭圆1422 yx的左右焦点为1F、2F，P 是椭圆上一点，当21PFF的面积为 1 时，21PFPF 的值为（）A.0 B.1 C.3 D.6 3.椭圆1422 yx的左右焦点为1F、2F，P 是椭圆上一点，当21PFF的面积最大时，21PFPF 的值为（）A.0 B.2 C.4 D.2 4已知椭圆1222 yax（a1）的两个焦点为1F、2F，P 为椭圆上一点，且6021PFF，则|21PFPF的值为（）A1 B31 C34 D32 5.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F、2F为焦点，点 P 在椭圆上，直线1PF与2PF倾斜角的差为90，21PFF的面积是 20，离心率为35，求椭圆的标准方程.6 已知椭圆的中心在原点，1F、2F为左右焦点，P 为椭圆上一点，且21|2121PFPFPFPF，21PFF 的面积是3，准线方程为334x，求椭圆的标准方程.答案 1.解：24,90221bPFF，2445tan242tan221bSPFF.故答案选 D.2.解：设21PFF，12tan2tan221bSPFF，90,452，021PFPF.故答案选 A.3.解：3,1,2cba，设21PFF，2tan2tan221bSPFF，当21PFF的面积最大时，为最大，这时点 P 为椭圆短轴的端点，120，2120coscos|22121aPFPFPFPF.故答案选 D.4 解：6021PFF，1b，3330tan2tan221bSPFF，又|43sin|21212121PFPFPFPFSPFF，33|4321 PFPF，从而34|21 PFPF.故答案选C.5.解：设21PFF，则90.2045tan2tan22221bbbSPFF，又3522abaace，95122ab，即952012a.解得：452a.所求椭圆的标准方程为1204522yx或1204522xy.6解：设21PFF，120,21|cos2121PFPFPFPF.3360tan2tan22221bbbSPFF，1b.又3342ca，即33333411222cccccbc.3c或33c.当3c时，222cba，这时椭圆的标准方程为1422 yx；当33c时，33222cba，这时椭圆的标准方程为13422 yx；但是，此时点 P 为椭圆短轴的端点时，为最大，60，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422 yx.
