2021-2022学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一(上)期末数学试卷(含解析)14032.pdf

2021-2022 学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期末数学试卷 一、选择题，本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1（5 分）设集合1U，2，3，4，5，1A，3，5，2B，3，5，则图中阴影部分表示的集合的真子集有()个 A3 B4 C7 D8 2（5 分）函数1()22f xlnxx的零点所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)3（5 分）若命题“22310 xx”是命题“xa”的充分不必要条件，则a的取值范围是()A1a B12a C12a D1a 4（5 分）函数2cos1xyx，(3x，)3的图象大致是()A B C D 5（5 分）设132loga，0.41()2b，0.51()3c，则()Acba Bacb Cabc Dbac 6（5 分）已知定义在1a，2 a上的偶函数()f x，且当0 x，2 a时，()f x单调递减，则关于x的不等式(1)(23)f xfxa的解集是()A2(0,)3 B16，56 C1(3，2)3 D2(3，56 7（5 分）已知tan，tan是方程23 340 xx的两根，且,(,)2 2 ，则()A3 B3或23 C3或23 D23 8（5 分）对于定义域为I的函数，如果存在区间m，nI，同时满足下列两个条件：()f x在区间m，n上是单调的；当定义域是m，n时，()f x的值域也是m，n，则称m，n是函数()yf x的一个“黄金区间”如果m，n可是函数22()1(0)aa xyaa x的一个“黄金区间”，则nm的最大值为()A33 B1 C2 33 D2 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 9（5 分）下列函数是奇函数且在区间(0,1)上单调递增的是()A3()f xx B|()2xf x C()sinf xxx D1()f xxx 10（5 分）下列说法中正确的是()A命题“xR，220 xx”的否定是“xR，220 xx”B函数3()(0 xf xax a且1)a 的图象经过定点(3,4)A C幂函数2231()(69)mmf xmmx在(0,)上单调递增，则m的值为 4 D函数25()log(23)f xxx的单调递增区间是1，)11（5 分）函数()sin()(0f xAxA，0，|)2的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A()f x的最小正周期为2 B(6，0)是()yf x图象的一个对称中心 C()f x在区间2，1112上单调递减 D把()yf x图象上所有点向右平移12个单位长度后得到函数()2cos2g xx的图象 12（5 分）设0a，0b，称2ab为a，b的算术平均数，ab为a，b的几何平均数，2abab为a，b的调和平均数，称222ab为a，b的加权平均数如图，C为线段AB上的点，且|ACa，|CBb，O为AB中点，以AB为直径作半圆过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E取弧AB的中点为F，连接FC，则在图中能体现出的不等式有()A2abab B2222abab C2ababab D2222ababab 三、填空题：本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13（5 分）若弧度是 2 的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所夹扇形的面积是 14（5 分）已知3sin()65，则sin(2)6 15（5 分）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有 1000 多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为 3米的筒车按逆时针方向做每 6 分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为 1.5 米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面距离为()sin()(0Hf tAtb A，0，|2，0)t，则()Hf t 16（5 分）已知函数2(1)1,1()|1|,logxxkf xx xk x a，若存在实数k使得函数()f x的值域为0，2，则实数a的取值范围是 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知角的终边过点(P x，1)(0)x，且5cos5x（1）求3sin()2sin()23sin()2sin()2的值；（2）求1cos22cos()sin()4的值 18现有三个条件：对任意的xR都有(1)()22f xf xx；不等式()0f x 的解集为|12xx；函数()yf x的图象过点(3,2)请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解（请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置）已知二次函数2()f xaxbxc，且满足_（填所选条件的序号）（1）求函数()f x的解析式；（2）设()()g xf xmx，若函数()g x在区间1，2上的最小值为 3，求实数m的值 192020 年 12 月 17 日凌晨，经过 23 天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔 40 多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0Mvvlnm计算火箭的最大速度/vm s，其中0/v m s是喷流相对速度，mkg是火箭（除推进剂外）的质量，Mkg是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为1000/m s（1）当总质比为 200 时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的32倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度至少增加500/m s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值 参考数据：2005.3ln，2.7182.719e 20已知函数tyxx有如下性质：如果常数0t，那么该函数在(0，t上是减函数，在 t，)上是增函数（1）已知24123()21xxf xx，0 x，1，利用上述性质，求函数()f x的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数()f x和函数()2g xxa ，若对任意10 x，1，总存在20 x，1，使得21()()g xf x成立，求实数a的值 21 设函数()sin()2cos()(03)36f xxx，将该函数的图象向左平移6个单位长度后得到函数()g x的图象，函数()g x的图象关于y轴对称 （1）求的值，并在给定的坐标系内，用“五点法”列表并画出函数()f x在一个周期内的图象；（2）求函数()f x的单调递增区间；（3）设关于x的方程()()3(1)026xmfg xm在区间76，0上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围 22已知函数1()2f xxx（1）存在 1x，1，使得不等式(2)20 xxfk成立，求实数k的取值范围；（2）方程2(|21|)(3)0|21|xxfk有负实数解，求实数k的取值范围 2021-2022 学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题，本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1（5 分）设集合1U，2，3，4，5，1A，3，5，2B，3，5，则图中阴影部分表示的集合的真子集有()个 A3 B4 C7 D8【考点】1:J Venn图表达集合的关系及运算【专题】11：计算题；31：数形结合；4O：定义法；5J：集合【分析】先求出3AB，5，再求出图中阴影部分表示的集合为：()1UAB，2，4，由此能求出图中阴影部分表示的集合的真子集的个数【解答】解：集合1U，2，3，4，5，1A，3，5，2B，3，5，3AB，5，图中阴影部分表示的集合为：()1UAB，2，4，图中阴影部分表示的集合的真子集有：321817 故选：C【点评】本题考查集合的真子集的个数的求法，考查交集定义、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2（5 分）函数1()22f xlnxx的零点所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】首先判断函数的定义域和单调性，然后计算区间端点处函数值，由零点存在性定理可得结果【解答】解：因为函数1()22f xlnxx的定义域为(0,)，是单调递增，f（2）210ln，f（3）1302ln，所以f（2）f（3）0，故零点所在区间为(2,3)，故选：C【点评】本题考查了函数的零点存在性定理，属于基础题 3（5 分）若命题“22310 xx”是命题“xa”的充分不必要条件，则a的取值范围是()A1a B12a C12a D1a【考点】充分条件、必要条件、充要条件【专题】集合思想；转化法；简易逻辑；逻辑推理【分析】求解一元二次不等式，结合命题“22310 xx”是命题“xa”的充分不必要条件，转化为两集合间的关系求解【解答】解：由22310 xx，得112x，命题“22310 xx”是命题“xa”的充分不必要条件，1(2，1)(a，)，则12a，故选：C【点评】本题考查充分必要条件的判定及应用，考查一元二次不等式的解法，考查化归与转化思想，是基础题 4（5 分）函数2cos1xyx，(3x，)3的图象大致是()A B C D【考点】函数的图象与图象的变换【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用；数学抽象【分析】判断函数的奇偶性和对称性，以及函数在03x上的符号，利用排除法进行判断即可【解答】解：函数()()fxf x，则函数()f x是奇函数，排除D，当03x时，2cos10 x ，则()0f x，排除B，C，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性以及函数值的对应性，结合排除法是解决本题的关键难度不大 5（5 分）设132loga，0.41()2b，0.51()3c，则()Acba Bacb Cabc Dbac【考点】对数值大小的比较【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解【解答】解：221103loglog，0a，0.40.50.5111()()()0223，0bc，acb，故选：B【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用 6（5 分）已知定义在1a，2 a上的偶函数()f x，且当0 x，2 a时，()f x单调递减，则关于x的不等式(1)(23)f xfxa的解集是()A2(0,)3 B16，56 C1(3，2)3 D2(3，56【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据函数奇偶性的对称性求出a的值，然后利用函数单调性进行转化求解即可【解答】解：()f x是偶函数，则120aa，得13a，即函数的定义域为23，23，当0 x，23时，()f x单调递减，则不等式(1)(21)f xfx等价为不等式(|1|)(|21|)fxfx，则|1|21|xx，平方得2221441xxxx，得2320 xx，得23x 或0 x，又22133222133203xxxx或，得15331566203xxxx或，得，2536x，即不等式的解集为2(3，56，故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据进行和单调性的性质进行转化是解决本题的关键，是中档题 7（5 分）已知tan，tan是方程23 340 xx的两根，且,(,)2 2 ，则()A3 B3或23 C3或23 D23【考点】GP：两角和与差的三角函数【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得tantan3 3 且tantan4，由此利用两角和的正切公式，算出tan()3再根据特殊角的三角函数值与、的范围加以计算，可得的大小【解答】解：tan、tan是方程23 340 xx的两根，由根与系数的关系，可得tantan3 3，tantan4，因此，tantan3 3tan()31tantan14 tantan0，tantan0，tan0，tan0，结合,(,)2 2 ，可得、(2，0)，(,0)，结合tan()3，可得23 故选：D【点评】本题给出tan、tan是一元二次方程的两根，求的值着重考查了一元二次方程根与系数的关系、两角和的正切公式、特殊角的三角函数值与任意角的三角函数的定义等知识，属于中档题 8（5 分）对于定义域为I的函数，如果存在区间m，nI，同时满足下列两个条件：()f x在区间m，n上是单调的；当定义域是m，n时，()f x的值域也是m，n，则称m，n是函数()yf x的一个“黄金区间”如果m，n可是函数22()1(0)aa xyaa x的一个“黄金区间”，则nm的最大值为()A33 B1 C2 33 D2【考点】函数单调性的性质与判断；函数最值的应用【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】由题意得到m，(,0)n 或m，(0,)n，从而得到m，n为方程211axaa x的两个同号实数根，然后利用根的分布，得到3a 或1a，利用韦达定理化简nm，结合二次函数的性质求解最值即可【解答】解：由222()111aa xaya xaa x在(,0)，(0,)上均为增函数，已知()f x在区间m，n上是单调的 所以m，(,0)n 或m，(0,)n，则()()f mmf nn，故m，n为方程211axaa x的两个同号实数根，即方程222()10a xaa x 有两个同号的实数根，因为210mna，则只需要222()40aaa，解得3a 或1a，由韦达定理可得，22211,aaamnmnaaa，所以222214114()4()3()33anmmnmnaaa，其中3a 或1a，故当3a 时，nm取得最大值2 33 故选：C【点评】本题考查了函数的新定义问题，函数与方程的综合应用，解决新定义问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 9（5 分）下列函数是奇函数且在区间(0,1)上单调递增的是()A3()f xx B|()2xf x C()sinf xxx D1()f xxx【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】由函数的性质逐一判断即可【解答】解：对于A，3()f xx 是奇函数，在区间(0,1)上单调递减，不符合题意；对于B，|()2xf x 是偶函数，在区间(0,1)上单调递增，不符合题意；对于C，sinyxx是奇函数，在区间(0,1)上单调递增，符合题意；对于D，1()f xxx是奇函数，在区间(0,1)上单调递增，符合题意；故选：CD【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题 10（5 分）下列说法中正确的是()A命题“xR，220 xx”的否定是“xR，220 xx”B函数3()(0 xf xax a且1)a 的图象经过定点(3,4)A C幂函数2231()(69)mmf xmmx在(0,)上单调递增，则m的值为 4 D函数25()log(23)f xxx的单调递增区间是1，)【考点】复合函数的单调性；命题的否定；命题的真假判断与应用【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑；逻辑推理；数学运算【分析】利用命题的否定判断A；指数函数的性质判断B；幂函数的性质判断C；复合函数的单调性判断D即可【解答】解：命题“xR，220 xx”是特称命题，它的否定是“xR，220 xx”，所以A正确；函数xya恒过(0,1)点，函数3()(0 xf xax a且1)a 的图象经过定点(3,4)A，所以B正确；幂函数2231()(69)mmf xmmx，可得2691mm，解得2m 或4m，当2m 时，函数为：1yx，在(0,)上是减函数，4m 时，函数为2yx，在(0,)上单调递增，则m的值为 4，所以C正确；函数2255()log(23)log(1)4f xxxx的单调递增区间是(3,)，所以D不正确 故选：ABC【点评】本题考查命题的直接的判断，命题的否定，幂函数以及指数函数的性质的应用，复合函数的单调性的判断，是中档题 11（5 分）函数()sin()(0f xAxA，0，|)2的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A()f x的最小正周期为2 B(6，0)是()yf x图象的一个对称中心 C()f x在区间2，1112上单调递减 D把()yf x图象上所有点向右平移12个单位长度后得到函数()2cos2g xx的图象【考点】由sin()yAx的部分图象确定其解析式【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；逻辑推理【分析】根据函数()f x的部分图象求出A、T和、的值，写出函数()f x的解析式，再判断选项中的命题是否正确【解答】解：根据函数()sin()f xAx的部分图象知，2A，353()41234T，解得T，选项A错误；因为22T，且55()2sin(2)21212f，5262k，kZ，23k，kZ，|2，3，()2sin(2)3f xx，kZ，()2sin(2)0663f，(6，0)是()yf x图象的一个对称中心，选项B正确；2x，1112时，2233x，32，()2sin(2)3f xx在区间2，1112上单调递减，选项C正确；把()yf x图 象 上 所 有 点 向 右 平 移12个 单 位 长 度 后，得()2sin2()2sin(2)2cos2121232yf xxxx ，即函数()2cos2g xx 的图象，选项D错误 故选：BC【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题 12（5 分）设0a，0b，称2ab为a，b的算术平均数，ab为a，b的几何平均数，2abab为a，b的调和平均数，称222ab为a，b的加权平均数如图，C为线段AB上的点，且|ACa，|CBb，O为AB中点，以AB为直径作半圆过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E取弧AB的中点为F，连接FC，则在图中能体现出的不等式有()A2abab B2222abab C2ababab D2222ababab【考点】基本不等式及其应用【专题】探究型；转化思想；综合法；不等式；逻辑推理；数学运算【分析】根据题意及圆的性质、勾股定理用a，b分别表示CF，OD，CD，DE，由直角三角形三边大小关系判断即可【解答】解：由题意可得：2abOC，CDab，2abOD，在Rt OCD中，由射影定理可得：222CDababDEabODab，在Rt OCF中，由勾股定理可得：222222()()222abababCFOFOC，利用直角三角形的边的关系，可得CFODCDDE 当O和C重合时，CFODCDDE，所以22222ababababab，结合选项可知ABD正确 故选：ABD【点评】本题主要考查了圆的性质、射影定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、填空题：本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13（5分）若弧度是2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是 211sin 【考点】扇形面积公式【专题】规律型【分析】根据扇形的面积公式直接计算即可【解答】解：弧度是 2 的圆心角所对的弦长为 2，半径1sin1OB 扇形的面积公式2211221SOBsin，故答案为：211sin 【点评】本题主要考查扇形的半径的求法、面积的求法，考查计算能力，注意扇形面积公式的应用比较基础 14（5 分）已知3sin()65，则sin(2)6 725 【考点】GP：两角和与差的三角函数【专题】11：计算题；56：三角函数的求值【分析】根据三角函数的诱导公式结合二倍角公式进行化简即可【解答】解：sin(2)sin2()662aa cos2()6a 212sin()6a 91225 725 故答案为：725【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键，属于基础题 15（5 分）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有 1000 多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为 3米的筒车按逆时针方向做每 6 分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为 1.5 米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面距离为()sin()(0Hf tAtb A，0，|2，0)t，则()Hf t 3sin()1.5(0)36tt 【考点】三角函数模型的应用【专题】函数思想；数学模型法；三角函数的图象与性质；数学建模【分析】根据题意求出A、T、和的值，即可写出三角函数的解析式【解答】解：因为()sin()f tAxb，由于半径为 3 米的筒车按逆时针方向做每 6 分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为 1.5 米，所以3A，6T，所以23T，当0t 时，0y，即3sin1.50，解得1sin2，又因为|2，所以6，所以()3sin()1.536f tt，即()3sin()1.5(0)36Hf ttt 故答案为：3sin()1.5(0)36tt【点评】本题考查了正弦型函数的解析式求法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题 16（5 分）已知函数2(1)1,1()|1|,logxxkf xx xk x a，若存在实数k使得函数()f x的值域为0，2，则实数a的取值范围是 1，2 【考点】5B：分段函数的应用【分析】当1 x k时，函数2()log(1)1f xx为减函数，且在区间左端点处有(1)2f，当k x a时，()f x在k，12，1，a上单调递增，在12，1上单调递减 从而当1x 时，函数有最小值，即为f（1）0，函数在右端点的函数值为f（2）2，结合图象即可求出a的取值范围【解答】解：当1 x k时，函数2()log(1)1f xx为减函数，且在区间左端点处有(1)2f，令()0f x，解得12x，令()|1|2f xx x，解得2x，()f x的值域为0，2，12k，当k x a时，22,1()|1|,1xxx af xx xxx kx，()f x在k，12，1，a上单调递增，在12，1上单调递减，从而当1x 时，函数有最小值，即为f（1）0 函数在右端点的函数值为f（2）2，()f x的值域为0，2，12a 故答案为：1，2 【点评】本题考查分段函数的问题，根据函数的单调性求出函数的值域是关键，属于中档题 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知角的终边过点(P x，1)(0)x，且5cos5x（1）求3sin()2sin()23sin()2sin()2的值；（2）求1cos22cos()sin()4的值【考点】GO：运用诱导公式化简求值【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值【分析】（1）任意角的三角函数的定义求得x的值，可得sin和tan的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值（2）利用两角和差的三角公式、二倍角公式，化简所给的式子，可得结果【解答】解：（1）由条件知25cos51xxx，解得2x ，故(2,1)P 故5sin5，11tan22 原式12sin2costan2323cos2sin32tan318 （2）原式222sin2sin52sintancos5222(cossin)sin22 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题 18现有三个条件：对任意的xR都有(1)()22f xf xx；不等式()0f x 的解集为|12xx；函数()yf x的图象过点(3,2)请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解（请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置）已知二次函数2()f xaxbxc，且满足_（填所选条件的序号）（1）求函数()f x的解析式；（2）设()()g xf xmx，若函数()g x在区间1，2上的最小值为 3，求实数m的值【考点】二次函数的性质与图象【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】（1）分别求出每个条件下a，b，c满足的关系，再任选 2 个条件求出a，b，c的值，得到函数()f x的解析式（2）对函数()g x的对称轴位置分 3 种情况讨论，分别求出()g x的最小值，从而求出m的值，注意检验是否符合每种情况的取值范围【解答】解：（1）条件：因为2()(0)f xaxbxc a，所以22(1)()(1)(1)()222f xf xa xb xcaxbxcaxabx，即2(1)20axab对任意的x恒成立，所以1020aab，解得13ab，条件：因为不等式()0f x 的解集为|12xx，所以121 20bacaabc，解得32baca，且0a，条件：函数()yf x的图象过点(3,2)，所以932abc，若选择条件：则1a，3b ，2c，此时2()32f xxx；若选择条件：则1a，3b ，2c，此时2()32f xxx；若选择条件：则1a，3b ，2c，此时2()32f xxx（2）由（1）知2()(3)2g xxmx，其对称轴为32mx，当312m，即1m时，()ming xg（1）3(3)3mm，解得3m ，当322m，即1m时，()ming xg（2）6(26)23mm，解得32m （舍)，当3122m，即11m 时，23(3)()()2324minmmg xg，无解 综上所述，所求实数m的值为3【点评】本题主要考查了二次函数的性质，考查了学生的计算能力，是基础题 192020 年 12 月 17 日凌晨，经过 23 天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔 40 多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0Mvvlnm计算火箭的最大速度/vm s，其中0/v m s是喷流相对速度，mkg是火箭（除推进剂外）的质量，Mkg是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为1000/m s（1）当总质比为 200 时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的32倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度至少增加500/m s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值 参考数据：2005.3ln，2.7182.719e【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学建模；数学运算【分析】（1）当总质比为 200 时，1000200vln，结合已知数据求解得答案；（2）由题意，经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为1500/m s，总质比变为3Mm，要使火箭的最大速度至少增加500/m s，则需150010005003MMlnlnmm，求出Mm的范围，即可求得在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值【解答】解：（1）当总质比为 200 时，1000200vln，由参考数据得10005.35300/vm s，当总质比为 200 时，A型火箭的最大速度约为5300/m s；（2）由题意，经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为1500/m s，总质比变为3Mm，要使火箭的最大速度至少增加500/m s，则需150010005003MMlnlnmm，化简，得3213MMlnlnmm，32()()13MMlnlnmm，整理得127Mlnm，27Mem，则27Mem，由参考数据，知2.7182.719e，73.3862773.413e，材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为 74【点评】本题主要考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，是中档题 20已知函数tyxx有如下性质：如果常数0t，那么该函数在(0，t上是减函数，在 t，)上是增函数（1）已知24123()21xxf xx，0 x，1，利用上述性质，求函数()f x的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数()f x和函数()2g xxa ，若对任意10 x，1，总存在20 x，1，使得21()()g xf x成立，求实数a的值【考点】函数恒成立问题；函数单调性的性质与判断【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算【分析】（1）令21tx，1t，3，将()f x化为4()8h ttt，由对勾函数的单调性可得()f x的单调区间和值域；（2）由题意可得()f x的值域是()g x的值域的子集，结合（1）的值域和一次函数的单调性可得()g x的值域，可得a的不等式，解不等式可得所求范围【解答】解：（1）224123(21)8(21)44()(21)8212121xxxxf xxxxx，可设21tx，因为0 x，1，所以1t，3，则4()8h ttt，可得()h t在1，2递减，(2，3递增，可得()h t的值域为 4，3，所以()f x的减区间为1(0,)2，增区间为1(2，1)，值域为 4，3；（2）若对任意10 x，1，总存在20 x，1，使得21()()g xf x成立，等价为()f x的值域是()g x的值域的子集，由（1）可得()f x的值域为 4，3，函数()2g xxa 在0，1递减，可得()g x的值域为 12a，2 a，所以124a，且23a，解得32a，且32a，则32a 【点评】本题考查对勾函数的单调性和运用，以及函数恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题 21 设函数()sin()2cos()(03)36f xxx，将该函数的图象向左平移6个单位长度后得到函数()g x的图象，函数()g x的图象关于y轴对称 （1）求的值，并在给定的坐标系内，用“五点法”列表并画出函数()f x在一个周期内的图象；（2）求函数()f x的单调递增区间；（3）设关于x的方程()()3(1)026xmfg xm在区间76，0上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围【考点】五点法作函数sin()yAx的图象；函数sin()yAx的图象变换【专题】计算题；函数思想；分析法；三角函数的图象与性质；数学运算【分析】（1）化简()f x解析式，通过三角函数图象变换求得()g x，结合()g x关于y 轴对称求得，利用五点法作图即可；（2）利用整体代入法求得()f x 的单调递增区间（3）化简方程()()3(1)026xmfg xm，利用换元法，结合一元二次方程根的分布求得m的取值范围【解答】解：（1）()sin()2cos()36f xxx sincoscoscoxsin2(coscossinsin)3366xxx 33sincos3sin()226xxx 所以()3sin()6f xx，将该函数的图象向左平移6个单位后得到函数()g x，则()3sin()3sin()6666g xxx，所以()3sin()6f xx，将该函数的图象向左平移6 个单位后得到函数()g x，则()3sin()3sin()6666g xxx，该函数的图象关于y 轴对称，可知该函数为偶函数，故,662kkZ，解得(26k，kZ 因为03，所以得到(2 所以函数()3sin(2)6f xx，列表：x 12 6 512 23 1112 26x 0 2 32 2 y 0 3 0 3 0 作图如下：（2）由函数()3sin(2)6f xx，令222,262kxkkZ，解得,36kxkkZ，所以函数()f x 的单调递增区间为,()36kkkZ（3）由（1）得到3sin()3cos(2)3(1)063mxxm，化简得，2sin()12sin()1066mxxm 令7sin(),066txx，则 1t，12 关于t的方程2220tmtm，即(1)(22)0ttm，解得1221,2mtt 当11t 时，由7sin()1,066xx 可得23x；要使原方程在7,06上有两个不相等的实数根，则21022m，解得21m 故实数m 的取值范围为(2，1【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于难题 22已知函数1()2f xxx（1）存在 1x，1，使得不等式(2)20 xxfk成立，求实数k的取值范围；（2）方程2(|21|)(3)0|21|xxfk有负实数解，求实数k的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算【分析】（1）令12,22xt，然后分离参数k，求出函数的最大值即可得答案；（2）由题意，令|21|xt，则01t，原问题等价于：12230ktktt在(0,1)上有解，即2(23)210tk tk 在(0,1)上有解，利用一元二次方程根的分布即可求解【解答】解：（1）由题意，令12,22xt，则原不等式等价于：存在1,22t，使120tktt成立，即存在1,22t，使221211(1)kttt 成立，由二次函数的性质知，当12t，即12t 时，2121tt取得最大值 1，所以1k，所以k的取值范围为：(，1；（2）由题意，因为方程有负实数根，则令|21|xt，有01t，原问题等价于：12230ktktt在(0,1)上有解，即2(23)210tk tk 在(0,1)上有解，令2()(23)21g ttk tk，01t，则2(23)4(21)023012kkk 或(1)1(23)210(0)00gkkg 或(1)1(23)21 0(0)00gkkg 或2(23)4(21)023012(1)1(23)210(0)0kkkgkkg ，解得49k 或12k或0k 或1429k，即实数k的取值范围为(，4(0,)9【点评】本题考查了求函数中参数的范围及一元二次方程根的分布，难点在于根据二次函数根的分布准确找出成立的条件，属于中档题