2019年高考数学总复习第29讲正弦定理、余弦定理的综合应用5423.pdf

第 29 讲 正弦定理、余弦定理的综合应用 1在ABC中，若 sin2Asin2Bc)，则bc2，cos A35，则 sin A45，所以SABC12bcsin A25bc14，所以bc35.所以b7，c5.3如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度BC等于(C)A240(31)m B180(21)m C120(31)m D30(31)m 如图，ACD30，ABD75，AD60 m，在 RtACD中，CDADtan ACD60tan 3060 3 m，在 RtABD中，BDADtan ABD60tan 75602 3 60(2 3)m，所以BCCDBD60 360(2 3)120(31)m.4(2016山东卷)ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知bc，a22b2(1sin A)，则A(C)A.34 B.3 C.4 D.6 因为bc，所以BC.又由ABC 得B2A2.由正弦定理及a22b2(1sin A)得 sin2A2sin2B(1sin A)，即 sin2A2sin2(2A2)(1sin A)，即 sin2A2cos2A2(1sin A)，即 4sin2A2cos2A22cos2A2(1sin A)，整理得 cos2A2(1sin A2sin2A2)0，即 cos2A2(cos Asin A)0.因为 0A，所以 0A22，所以 cosA20，所以 cos Asin A又 0A，所以A4.5在相距 2 千米的A、B两点处测量目标C，若CAB75，CBA60，则A、C两点间的距离是 6 千米 在ABC中，ACB180607545.由正弦定理得ACsin 602sin 45，解得AC 6.6(2017浙江卷)已知ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是 152，cosBDC 104.依题意作出图形，如图所示，则 sinDBCsinABC.由题意知ABAC4，BCBD2，则 cosABC14，sinABC154.所以SBDC12BCBDsinDBC 1222154152.因为 cosDBCcosABC14，所以CDBD2BC22BDBCcos DBC 10.由余弦定理，得 cosBDC410422 10104.7(2018华大新高考联盟教学质量测评)已知ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且 2cos B(ccos Aacos C)b.(1)证明：A，B，C成等差数列；(2)若ABC的面积为3 32，求b的最小值 (1)证明：因为 2cos B(ccos Aacos C)b，所以由正弦定理得 2cos B(sin Ccos Asin Acos C)sin B，即 2cos Bsin(AC)sin B，在ABC中，sin(AC)sin B，且 sin B0，所以 cos B12，因为B(0，)，所以B3.又因为ABC，所以AC232B，所以A，B，C成等差数列(2)因为SABC12acsin B3 32，所以ac6.所以b2a2c22accos Ba2c2acac6.当且仅当ac时，取等号 所以b的最小值为 6.8在ABC中，AB12，C的平分线CD把三角形面积分成 32 的两部分，则cos A(C)A.13 B.12 C.34 D0 因为C的平分线CD把三角形面积分成 32 的两部分，所以ACBC32，BCsin AACsin BACsin 2A，所以2sin A32sin Acos A，所以 cos A34.9已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为 3.因为asin Absin Bcsin C2R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，可化为(ab)(ab)(cb)c，所以a2b2c2bc，所以b2c2a2bc.所以b2c2a22bcbc2bc12cos A，所以A60.在ABC中，4a2b2c22bccos 60 b2c2bc2bcbcbc，(当且仅当bc时取得“”)所以SABC12bcsin A12432 3.10(2017山东卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b3，ABAC6，SABC3，求A和a.因为ABAC6，所以bccos A6.又SABC3，所以bcsin A6.因此 tan A1.又 0A，所以A34.又b3，所以c2 2.由余弦定理a2b2c22bccos A，得a298232 2(22)29，所以a 29.