相似三角形综合题专项练习46875.pdf
相似三角形综合题专项练习类型一 相似三角形中动点问题例 1：如图正方形 ABCD的边长为 2，AE=EB，线段 MN 的两端点分别在CB、CD 上滑动，且 MN=1，当 CM 为何值时AED 与以 M、N、C 为顶点的三角形相似？变式：如图，在ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点 P 从 A 沿 AB 移动到 B，移动速度为 2 单位/秒，有一动点 Q 从 C 沿 CA 移动到 A，移动速度为 1 单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，PQA 与BCA 相似.ABDCENM例 2：如图，已知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形,动点 P、Q 同时从 A、B两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s），解答下列问题：（1）当 t2 时，判断BPQ的形状，并说明理由；（2）设BPQ 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式；（3）作 QR/BA交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，APRPRQ？变式：如图，在矩形 ABCD中，AB=12cm，BC=8cm点 E、F、G 分别从点A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动点 E、G 的速度均为2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个点随之停止移动设移动开始后第 t 秒时，EFG 的面积为 S（cm2）（1）当 t=1 秒时，S 的值是多少？（2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围.（3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点E、B、F 为顶点的三角形与以点 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由DNCMBA例 3：如图，在梯形 ABCD中，ADBC，AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高为 4动点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动 N 同时从 C 点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动设运动的时间为t（秒）（1）当 MN/AB时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC 为直角三角形变 式：如 图，在 直 角 梯 形 ABCD 中，AB DC，D=90o，AC BC，AB=10cm,BC=6cm，F 点以 2cm/秒的速度在线段 AB 上由 A 向 B 匀速运动，E点同时以 1cm/秒的速度在线段 BC 上由 B 向 C 匀速运动，设运动时间为 t 秒(0t5)（1）求证：ACDBAC；（2）求：DC 的长；（3）试探究：BEF 可以为等腰三角形吗？若能，求 t 的值；若不能，请说明理由例 4：如图，在ABC 中，ABBC5，AC=6.ECD 是ABC 沿 BC 方向平移得到的，连接 AE.AC 和 BE 相交于点 O.（1）判断四边形 ABCE 是怎样的四边形，说明理由；（2）如图，P 是线段 BC 上一动点（不与点 B、C 重合），连接 PO 并延长交线段 AB 于点 Q，QRBD，垂足为点 R.四边形 PQED的面积是否随点 P 的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形 PQED 的面积；当线段 BP 的长为何值时，PQR 与BOC 相似？变式：如图，在 RtABC 中，A=90，AB=6，AC=8，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQBC 于 Q，过点Q 作 QRBA 交 AC 于 R，当点 Q 与点 C 重合时，点 P 停止运动设 BQ=x，QR=y（1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长；（2）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由ABCDERPHQ类型二 结合坐标系的解析几何例 1：如图，在平面直角坐标系中，已知 A（0，6），B（8，0），P 从 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向 O 移，同时 Q 从 B 开始在线段 BA上以每秒 2 个单位长度的速度向 A 移，设 P，Q 移的时间为 t（s）当 t 为何值时，APQ 与AOB？并求出此时 P 与 Q 的坐标 变式：如图，已知直线 的函数表达式为，且 与 轴，轴分别交于l483yx lxy两点，动点从点开始在线段上以每秒 2 个单位长度的速度向点移AB，QBBAA动，同时动点从点开始在线段上以每秒 1 个单位长度的速度向点移PAAOO动，设点移动的时间为 秒QP，t（1）求出点的坐标；AB，（2）当 为何值时，与相似？tAPQAOB（3）求出（2）中当与相似时，线段所APQAOBPQ在直线的函数表达式OPAQByx例 2：已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形，ACB=90，点 A、C 的坐标分别为 A(-3,0)，C(1,0)，,43ACBC（1）求过点 A、B 的直线的函数表达式；（2）在 X 轴上找一点 D,连接 DB，使得ADB 与ABC 相似（不包括全等），并求点 D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如 P、Q 分别是 AB 和 AD 上的动点，连接 PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m 使得APQ与ADB相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由ACOBxy变式：如图，在平面直角坐标系中，点(3 0)C ，点AB，分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足2310OBOA（1）求点A，点B的坐标（2）若点P从C点出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线CB运动，连结AP设ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点ABP，为顶点的三角形与AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 yxAOCB例 3：如图直线 y=-x+10与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两，P 从 A 开始在线段AO 上以每秒 2 个长度单位的速度向原 O 运动直线 EF 从 x 轴开始以每秒 1个长度单位的速度向上平行移动（即 EFx 轴），并且分别与 y 轴、线段 AB交于 E、F（当 A 运动到 O 时，直线 EF 随之停止运动）连接 FP，设 P 与直线 EF 同时出发，运时间为t 秒（1）当 t=1秒时，求APF 的面积；（2）设 t 的值分别取 t1、t2时（t1t2），所对应的三角形分别为AF1P1和AF2P2试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断；变式：如图，A 的坐标为（1，1），点 C 是线段 OA 上的一个动点（不运动至O，A 两点），过 C 作 CDx 轴，垂足为 D，以 CD 为边在右侧作正方形CDEF连接 AF 并延长交 x 轴的正半轴于 B，连接 OF，若以 B，E，F 为顶的三角形与OFE 相似，则 B 的坐标是类型三 动态几何中的相似例 1、在图 1 至图 3 中，直线 MN 与线段 AB 相交于点 O，1=2=45（1）如图 1，若 AO=OB，请写出 AO 与 BD 的数量关系和位置关系；（2）将图 1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到图 2，其中 AO=OB求证：AC=BD，ACBD；（3）将图 2 中的 OB 拉长为 AO的 k 倍得到图3，求的值图 2ADOBC21MN图 1ADBMN12图 3ADOBC21MNOACBD变式：已知在 RtABC中，ABC90，A30，点 P 在 AC上，且MPN90.当点 P 为线段 AC 的中点，点 M、N 分别在线段 AB、BC 上时（如图 1），过点 P 作 PEAB 于点 E，PFBC 于点 F，可证 tPMEtPNF，得出 PN 3PM（不需证明）当 PCPA，点 M、N 分别在线段 AB、BC 或其延长线上，如图 2、图 3 这2两种情况时，请写出线段PN、PM 之间的数量关系，并任选取一给予证明例 2：等腰ABC，AB=AC=8，BAC=120，P 为 BC的中点，小慧拿着含30角的透明三角板，使 30角的顶点落在点P，三角板绕P 点旋转（1）如图 a，当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时求证：BPECFP；（2）操作：将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边AC 于点 E、F探究1：BPE 与CFP 还相似吗？（只需写出结论）探究 2：连接 EF，BPE 与PFE 是否相似？请说明理由；设 EF=m，EPF 的面积为 S，试用 m 的代数式表示 S作业练习：1.如图，四边形 ABCD 中，ADCD，DABACB90，过点 D 作 DEAC，垂足为 F，DE 与 AB 相交于点 E.（1）求证：ABAFCBCD（2）已知 AB15cm，BC9cm，P 是射线 DE上的动点.设 DPxcm（x0），四边形 BCDP 的面积为 ycm2.DPAEFCB求 y 关于 x 的函数关系式；当 x 为何值时，PBC 的周长最小，并求出此时 y 的值.2.如 图 所 示，在 ABC 中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点 P 从 A 点出发，沿着 AB以每秒4cm的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A 点运动，设运动时间为 x.（1）当x 为何值时，PQBC？（2）当，求的值；31ABCBCQSSABCBPQSS（3）APQ能否与CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由。3.已知直角坐标系中菱形 ABCD 的位置如图，C，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点 P，Q 分别从 A,C 同时出发，点 P 沿线段 AD 向终点 D 运动，点 Q 沿折线 CBA 向终点 A 运动，设运动时间为 t 秒.(1)填空：菱形 ABCD 的边长是 ，面积是 ，高 BE 的长是 ；(2)探究下列问题：若点 P 的速度为每秒 1 个单位，点 Q 的速度为每秒 2 个单位.当点 Q 在线段BA 上时，求APQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式，以及S 的最大值.若点 P 的速度为每秒 1 个单位，点 Q 的速度变为每秒 k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的 k 值，使得APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当 t=4 秒时的情形，并求出 k 的值.OxyABCDE4将两块大小一样含 30角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边 AB重合，直角边不重合，已知 AB=8，BC=AD=4，AC 与 BD 相交于点 E，连结CD(1)填空：如图 1，AC=，BD=；四边形 ABCD是 梯形.(2)请写出图1 中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图 2，若以 AB 所在直线为x轴，过点 A 垂直于 AB 的直线为 y 轴建立如图 2 的平面直角坐标系，保持 ABD不动，将 ABC向 x 轴的正方向平移到FGH的位置，FH 与 BD 相交于点 P，设 AF=t，FBP面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围.DCBAE图 1EDCHFGBAPyx图24在直角坐标系中，点 A(5，0)关于原点 O 的对称点为 C（1）请直接写出点 C 坐标；（2）若点 B 在第一象限内，OAB=OBA，并且点 B 关于原点 O 的对称点为 D：试判断四边形ABCD 的形状；并说明理由；现有一动点 P 从 B 出发，沿路线 BAAD以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动，另一动点 Q 从 A 点同时出发，沿 AC 方向以每秒 0.4 个单位长度的速度向终点 C 运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动已知 AB=6，设点 P、Q 运动时间为 t，在运动过程中，当 t 为何值时，PQAC？Oxy
