江苏省扬中市第二高级中学2021-2022第一学期高三数学周练4试题3970.pdf

1 江苏省扬中市第二高级中学 2021-2022第一学期高三数学周练 4 姓名 一、选择题请把答案直接填涂在答题卡相应位置上 1若集合01,013axxBxxxA，若AB，则实数a的取值范围是 （A ）A、1,31 B、1,31 C、,01,D、1,00,31 2“1x”是“2230 x”的 （B ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 32020 年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组现有四个医疗小组和 4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且 4 个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有（C ）A64 种 B48 种 C24 种 D12 种 4612xx的展开式中常数项为 （A ）A160 B160 C80 D80 5已知如图为函数 xf的图象，则 xf的解析式可能是 （B ）A、1sin2xxxf B、1222xxfxx C、13xxxf D、1lnxxxf 6设12,F F分别为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，过B的直线l与222:O xya相切，l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若2PFx轴，则双曲线C的离心率为 (A )A.B.2 C.D.4 7如图，水平桌面上放置一个棱长为 4 的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDDC上有一个小孔E，E点到CD的距离为 3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDDC与桌面所成角的正切值为（D ）A55 B12 C2 55 D2 2 8如图直角坐标系中，角02、角02的终边 分别交单位圆于 A，B 两点，若 B 点的纵坐标为513，且满足34AOBS，则1sin3cossin2222的值为 （B ）A513 B1213 C3121 D513 二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）9 若0,0ba，且4ba，则 下 列 不 等 式 恒 成 立 的 是 （CD ）A、4110ab B、2ab C、111ba D、81122 ba 10从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是 （ABC）A2 个球都是红球的概率为16 B2 个球中恰有 1 个红球的概率为12 C至少有 1 个红球的概率为23 D2 个球不都是红球的概率为13 11已知函数()sincosf xxx，()g x是()f x的导函数，则下列结论中正确的是 （CD）A函数()f x的值域与()g x的值域不相同 B把函数()f x的图象向右平移2个单位长度，就可以得到函数()g x的图象 C函数()f x和()g x在区间(4，4)上都是增函数 D若0 x是函数()f x的极值点，则0 x是函数()g x的零点 12关于函数2()lnf xxx，下列判断正确的是 (BD )Ax2 是()f x的极大值点 B函数()yf xx有且只有 1 个零点 C存在正实数 k，使得()f xkx成立 D对任意两个正实数1x，2x，且1x2x，若12()()f xf x，则124xx 三、填空题请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13 设随机变量服从正态分布21,N，若20.8P，则02P_0.6_ 14已知函数,0()|1|,0 x xf xxx，则(5)ff _ 2 _；若实数 a 满足()ff aa，则 a 的取值范围是_,1_ 15如图，在 P 地正西方向8km的 A 处和正东方向1km的 B 处各有一条正北方向3 的公路 AC 和 BD，现计划在 AC 和 BD 路边各修建一个物流中心 E 和 F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路 PE 和 PF，设02EPA，为了节省建设成本，要使得PEPF的值最小，则当PEPF的值最小时，AE _ 4 _km 16 在平面直角坐标系xOy内，已知(1,0),(1,0)AB,若点P满足2PAPO,则PAB面积的最大值为 2 .若点P还同时满足3PBPO，则点P的横坐标等于 16 .四、解答题请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在cossincAAb，sincos2cBbCb，sintancos2sinBCBA.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，已知_，2c，3cos5B.（1）求cos A的值；（2）求ABC的面积.17解：若选：cossincAAb，由正弦定理得sincossinsinsinCACAB，sinsinBA C，sincossinsinsincoscossinCACAACAC，sinsinsincosCAAC，sin0A，sincosCC，tan1C，0,C，4C，（1）3cos5B，0,B，4sin5B，42322coscossinsincoscos525210ABCBCBC.（2）0,A，7 2sin10A，由 正 弦 定 理 得sinsinacAC，sin7 2sin5cAaC，117 2428sin2225525ABCSacB，若选：sincos2cBbCb，由正弦定理得sinsinsincos2sinCBBCB，sin0B，sincos2CC，2sin24C，即sin14C，0,C，4C，下面步骤同.若选：sintancos2sinBCBA，则sincossincos2sincosBCCBAC，4 sin2sincosBCAC，sin2sincosAAC，sin0A，2cos2C，0,C，4C，下面步骤同.18设在正项等比数列 na中，112a，前n项和为nS，且10103020102(21)0SSS.（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列nnS的前n项和nT.18解：（1）设数列 na的公比为q，由题意得101030202010220SSSS，1010201030202010103020112(),0,22SSSSSSqqqSS，1111()222nnna；（2）由（1）得111()1221()1212nnnS，1()2nnnSnn，121111()22()()222nnTnn 1212111(1)111123()2()()()2()()2222222nnn nnnn 令1211111()2()(1)()()2222nntnn，23111111()2()(1)()()22222nntnn，两式相减得：2111111111()()()1()()2222222nnnntnn，1112()()22nntn，21112()().2222nnnnnTn 19在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22,点(2,1)在椭圆 C 上。(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线l与圆22:2O xy相切，与椭圆 C 相交于,P Q两点，求证：POQ是定值.19.解：（1）由题得2222211,222cecabaa，5 再将点(2,1)带入方程得2222221,6,312xyabaa，则椭圆C的方程为22163xy；（2）当直线PQ斜率不存在时,则直线PQ的方程为2-2xx或，当2x 时,P(,),Q(,),此时0OP OQ,所以OPOQ,即090POQ，当2x 时,同理可得OPOQ,即090POQ；当直线PQ斜率存在时，不妨设直线PQ的方程为,0ykxmkxym即，因为直线与圆相切,所以2222,221mmkk即，联立22222,(1 2)4260163ykxmkxkmxmxy，设21122121222426(,),(,),1 21 2kmmP x yQ x yxxx xkk，此时221 2121 2121 212()()(1)()OP OQx xy yx xkxm kxmkx xkm xxm 22222264(1)()01 21 2mkmkkmmkk 所以OPOQ,即090POQ；综上：POQ是定值为090.20今年 4 月 23 日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的语文、数学、外语三门学科，“1”是指在物理和历史中必选一科，“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科。为了解我校高一学生在物理和历史中的选科意愿情况，进行了一次模拟选科。已知我校高一参与物理和历史选科的有 1800 名学生，其中男生 1000 人，女生 800 人。按分层抽样的方法从中抽取了 36 个样本，统计知其中有 17 个男生选物理，6 个女生选历史。()根据所抽取的样本数据,填写答题卷中的列联表。并根据2K统计量判断能否有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关?()在样本里选历史的人中任选 4 人,记选出 4 人中男生有X人,女生有Y人,求随机变量XY的分布列和数学期望.(2K的计算公式见下)临界值表 P()0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 20解：()由条件知,按分层抽样法抽取的 36 个样本数据中有36=20 个男生，6 16 个女生，结合题目数据可得列联表如下；物理 历史 合计 男生 17 10 27 女生 3 6 9 合计 20 16 36 根据表中数据,计算2236(17 6 10 3)2.42.70627 9 20 16K ，而22(2.4)(2.706)0.10P KP K，所以没有 90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关；()由(I)知在样本里选历史的有 9 人，其中男生 3 人，女生 6 人；所以可能的取值有 2，0，2，4；且3136496(2)(31)126C CPP XYC且，22364945(0)(22)126C CPP XYC且，13364960(2)(13)126C CPP XYC 且，06364915(4)(04)126C CPP XYC 且；所以的分布列为：2 0 2 4 P 所以的期望为64560154()20(2)(4)1261261261263E 21在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，/BC AD，90ADC，112BCCDAD，E为线段AD的中点，过BE的平面与线段PD，PC分别交于点G，F（1）求证：GFPA；（2）若2PAPD，是否存在点G，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为105，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由 21证明：（1）因为12BCAD，且E为线段AD的中点，所以BCDE，又因为/BC AD，所以四边形BCDE为平行四边形，所以/BE CD，又因为CD 平面PCD，BE 平面PCD，所以/BE平面PCD，又平面BEGF 平面PCDGF，所以/BE GF，7 又BEAD，且平面PAD 平面ABCD，平面PAD 平面ABCDAD，所以BE 平面PAD，所以GF 平面PAD，又PA 平面PAD，所以GFPA；（2）因为PAPD，E为线段AD的中点，所以PEAD，又因为平面PAD 平面ABCD，所以PE 平面ABCD，以E为坐标原点，EA的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系Exyz；则0,0,1P，0,1,0B，0,0,0E，1,0,0D，则0,1,1PB，0,1,0BE，1,0,1DP，设DGDP，得1,0,G，所以1,0,EG，设平面BEGF的法向量为,nx y z，则00BE nEG n，即010yxz，不妨令x，可得,0,1n为平面BEGF的一个法向量，设直线PB与平面BEGF所成角为，于是有22110sincos,521n PBn PBnPB；得13或1（舍），所以存在点21,0,33G，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为105 22设a，bR，函数()lnxf xeaxa，其中e是自然对数的底数，曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为(1)0exyb.（）求实数a、b的值；（）求证：函数()yf x存在极小值；（）若1,2x，使得不等式ln0 xemxxx成立，求实数m的取值范围.22解：（）/xafxex，/1fea，由题设得 110eaeeeab，10ab；8（）由（）得 1xf xelnx，/1xfxex(0)x，/210 xfxex，函数/fx 在0,是增函数，/1202fe，/110fe ，且函数/fx图像在0,上不间断，01,12x，使得 00fx，结合函数 fx在0,是增函数有：x 00,x 0 x 0,x）/fx -0 f x 递减 极小值 0f x 递增 函数 f x存在极小值 0f x；（），使得不等式0 xemlnxxx成立，即，使得不等式xmexlnx 成立（*），令 xh xexlnx，1,2x，则 /1xhxelnxf x，结合（）得 0001xminhxfxelnx，其中01,12x，满足 00fx，即0010 xex，001xex，00 xlnx，000000111121 10 xminh xelnxxxxx ，1,2x，0h x，h x在1,2内单调递增，1122111122222minh xhelneln，结合（*）有121ln22me，即实数m的取值范围为121ln2,)2e