2020年5月江西省南昌市2020届高三第二次模拟考试数学(理科)试题及答案3805.pdf

第二次模拟测试卷 理科数学 本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分。考试时间 120 分钟 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案 3非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效 4考生必须保证答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数121213,3,zizizzz，则|z等于（）A2 B4 C3 D2 3 2集合22|4,|4Ay yxxNBxNxN，则AB（）A0,2 B0,1,2 C0,3,2 D 3已知,a b c是三条不重合的直线，平面,相交于直线 c，,ab，则“,a b相交”是“,a c相交”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知1,1()ln,1xxf xx x，则不等式()1f x 的解集是（）A(1,)e B(2,)C(2,)e D(,)e 5已知ABCV中角,A B C所对的边分别为,a b c，若2,sin2cos2acAC，则角 A 等于（）A6 B2 C23 D56 6已知,a brr为不共线的两个单位向量，且ar在br上的投影为12，则|2|abrr（）A3 B5 C6 D7 7函数ln()xxxf xe的图象大致为（）A B C D 8直线2sin0 xy被圆222 520 xyy截得最大弦长为（）A2 5 B2 3 C3 D2 2 9函数()sin()(0)f xAx 的部分图象如图所示，则(0)f（）A6 B3 C2 D62 10春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆桔槔，后发展成辘轳19 世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件 图形所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在 A 处测得 B 处的仰角为 37 度，在 A 处测得 C 处的仰角为 45 度，在 B 处测得 C 处的仰角为 53 度，A 点所在等高线值为 20 米，若 BC 管道长为 50 米，则 B 点所在等高线值为（参考数据3sin375）A30 米 B50 米 C60 米 D70 米 11已知 F 是双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点，直线3yx交双曲线于 A，B 两点，若23AFB，则双曲线的离心率为（）A5 B6 C1022 D522 12已知函数3()sincos(0)4f xxxa xa有且只有三个零点123123,x x xxxx，则32tan xx属于（）A0,2 B,2 C3,2 D3,2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若变量 x，y 满足约束条件|1310yxxy，则目标函数zxy的最小值为_ 14 已 知 梯 形ABCD中，/,3,4,60,45ADBC ADABABCACB，则DC _ 15已知6270127(1)(21)xxaa xa xa xL，则2a等于_ 16已知正四棱椎PABCD中，PACV是边长为 3 的等边三角形，点 M 是PACV的重心，过点 M 作与平面 PAC 垂直的平面，平面与截面 PAC 交线段的长度为 2，则平面与正四棱椎PABCD表面交线所围成的封闭图形的面积可能为_（请将可能的结果序号填到横线上）2；2 2；3；2 3 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17（12 分）已知等差数列 na的公差为(0)d d，前 n 项和为nS，且满足_（从101051Sa）；126,a a a成等比数列；535S，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）（I）求na；（）若12nnb，求数列nna b的前 n 项和nT 18（12 分）如图所示，四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD是以,AB CD为底边的等腰梯形，且124,60,ABADDABADD D （I）求证：平面11D DBB 平面ABCD；（）若112D DD B，求直线 AB 与平面11BCC B所成角的正弦值 19（12 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab上任意一点（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为19（I）求双曲线渐近线的方程；（）过椭圆22221(0)xymnmn上任意一点 P（P 不在 C 的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于,M N两点，且22|5PMPN，是否存在,m n使得该椭圆的离心率为2 23，若存在，求出椭圆方程：若不存在，说明理由 20（12 分）已知函数2()ln()f xxaxe（aR，且0a，e 为自然对数的底）（I）求函数()f x的单调区间（）若函数()()eag xf x在(0,)有两个不同零点，求 a 的取值范围 21（12 分）某班级共有 50 名同学（男女各占一半），为弘扬传统文化，班委组织了“古诗词男女对抗赛”，将同学随机分成 25 组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个不同问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分 5 分为满分。最后 25 组同学得分如下表：组别号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 男同学得分 5 4 5 5 4 5 5 4 4 4 5 5 4 女同学得分 4 3 4 5 5 5 4 5 5 5 5 3 5 分差 1 1 1 0-1 0 1-1 -1 -1 0 2-1 组别号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 男同学得分 4 3 4 4 4 4 5 5 5 4 3 3 女同学得分 5 3 4 5 4 3 5 5 3 4 5 5 分差-1 0 0-1 0 1 0 0 2 0-2 -2 （I）完成2 2列联表，并判断是否有 90%的把握认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关；（）某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布2,N，首先根据前 20 组男女同学的分差确定和，然后根据后面 5 组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面 5 组男女同学分差与的差的绝对值分别为(1,2,3,4,5)ix i，若出现下列两种情况之一，则不接受该模型，否则接受该模型 存在3ix；记满足23ix的 i 的个数为 k，在服从正态分布2,N 的总体（个体数无穷大）中任意取 5 个个体，其中落在区间(3,2)(2,3)内的个体数大于或等于 k 的概率为 P，0.003P 试问该课题研究小组是否会接受该模型 2P Kk 0.10 0.05 0.010 k 2.706 3.841 6.635 参考公式和数据：22()()()()()n adbcKab cdac bd 540.80.894,0.90.949,0.9570.803,43 0.95736，3343 43 0.9571.62 10；若2,XN，有(22)0.9544PX，(33)0.9974PX（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 E 顶点在坐标原点，焦点为1,0以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系（）求抛物线 E 的极坐标方程；（）过点3,2A倾斜角为的直线 l 交 E 于 M，N 两点，若2ANAM，求tan 23（10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 1afxaxxxx，22g xxaxaR（）当1a 时，求不等式 3f xg x的解集；（）求证：f xg x NCS20200707 项目第二次模拟测试卷 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A A D B D C D B B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 131 1415 1572 16 三。解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 题-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答。17【解析】（I）由101051Sa，得1110 9105912adad，即11a；由1a，2a，6a成等比数列，得2216aa a，222111125aa ddaa d，即13da 由535S，得15355352aaa，即3127aad；（每个条件转化 1.5 分）选择、条件组合，均得13a、3d，即32nan 6 分（）234147103222222nnnTL，2345111471035322222222nnnnnTL，两式相减得：23411111113232222222nnnnTL，9 分 得2311111132132341 31 3 1422222222nnnnnnnnnT L 12 分 18【解析】（）ABDV中，4AB，2AD，60DAB，得2 3BD，2 分 则222ADBDAB，即ADBD，4 分 而11,ADD DBDD DD，故AD 平面11D DBB，又AD 面 ABCD，所以平面11D DBB 平面 ABCD 6 分 （）取 BD 的中点 O，由于11D DD B，所以1DOBD，由（）可知平面11D DBB 面 ABCD，故1DO 面 ABCD 由等腰梯形知识可得DCCB，则COBD.8 分 以 O 为原点，分别以1,OB OC OD为,x y z的非负半轴建立空间直角坐标系，则1(3,2,0),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,0,1)ABCDD，则11(2 3,2,0),(3,0,1),(3,1,0)ABBBDDBC uuu ruuuruuuu ruuu r 设平面1B BC的法向量为(,)nx y zr，则111030030n BBxzn BCxyur uuurur uuu r，令1x，则3,3yz，有(1,3,3)n r，所以，|2 32 3021sin|cos,|7|74n ABn ABnABuuu rruuu rruuu rr，即直线 AB 与平面11AD DA所成角的正弦值为217 12 分 19【解析】（1）设1200(,0),(,0),AaA aM xy，由2200221xyab，知2222002byxaa，所以，1220002200019MAMAyyykkxa xaxa，得2219ba，即13ba，即双曲线渐近线方程为13yx；5 分 （）由22222 23139xyemnnn，6 分 设00,P x y，则 PM 方程为0013yxxy，由00133yxxyxy，得0032Myxx；由00133yxxyxy，得0032Myxx 7 分 由渐近线性质，得310MxOM，0010310332MxyxOM，同理可得，0010310332NxyxON，9 分 由OMPN是平行四边形，知2222PMPNOMON，所以，2222220091092yxPMPNOMON222200595599xnxn，即21n 所以，存在符合题意的椭圆，其方程为2219xy.12 分 20【解析】（I）由2()lnf xxaxe，知()ln1ln()fxaxaex 1 分 当0a 时，定义域为(0,),()0fx得1xae，()0fx得10 xae；当0a 时，定义域为(,0),()0fx得1xae，()0fx得10 xae 所以，当0a 时，增区间为1,ae，减区间为10,ae；当0a 时，增区间为1,ae，减区间为1,0ae；（每类讨论 2 分）5 分（）因为2()lnag xxaxee有两个正零点，则0a 6 分 由（I）知()g x在10,ae上单调递减，在1,ae上单调递增.设,ln,ttxe xxte t 时，指数函数是爆炸增长，|e0etttt，当20,()eeaxg x，当,()0 xg x，min112()eeeeag xgaa 7 分 因为()g x有两个正零点，所以有20120aaeeeaee，9 分 由得1 ln2a ，对于，令=12()xh xeexe，21()0 xh xeex，()h x在(0,)上单调递增，且(1)0h，由()0h x 知(0,1)x，由120aeaee得(0,1)a 综上所述，(1 ln2,1)a 12 分 21【解析】（I）由表可得 男同学 女同学 总计 该次大赛得满分 10 14 24 该次大赛未得满分 15 11 26 总计 25 25 50 2 分 所以，2250(10 11 14 15)1.2822.70624 26 25 25K 所以没有 90%的把握说“该次大赛是否得满分”与“同学性别”有关；4 分（）可得20,0.8；6 分 由题知123450,2,0,2,2xxxxx，而21.788,32.682，故不存在3ix 7 分 知满足23ix的 i 的个数为 3，即3k 当2,XN(32)(23)PXPX0.99740.95440.043 9 分 设 从 服 从 正 态 分 布2,N 的 总 体（个 体 数 无 穷 大）中 任 意 取 5 个 个 体，其 中 值 属 于(3,2)(2,3)的个体数为Y，则(5,0.043)YB，所以，51422355(3)10.9570.0430.9570.0430.9570.00080.003P YCC，综上，第种情况出现，所以该小组不会接受该模型.12 分 22【解析】（）由题意抛物线 E 的焦点为1,0，所以标准方程为24yx，故极坐标方程为2sin4cos0（）设过点 A 的直线 l 参数方程为3cos2sinxtyt（t 为参数），代入24yx，化简得22sin4sin4cos80tt，1224sin4cossintt，1228sintt，且224sin4cos32sin0 6 分 由2ANAM，A 在 E 内部，知212tt，2121282sinttt 得122sin2sintt 或122sin4sintt，所以，当1224sin4cos2sinsintt 时，解得tan2，所以，当1224sin4cos2sinsintt时，解得2tan3 （每个结果 1.5 分）所以tan2或2tan3 10 分 23【解析】（）当1a 时，不等式为123xx，平方得224489xx，则4241740 xx，得2144x，即122x 或122x，所以，所求不等式的解集112,222U；5 分（）因为 1111aaf xaxxaxxaxxxxxx 1121axax，8 分 又 222221g xxaxxaxa，所以，不等式 f xg x得证 10 分